一類無窮區間上分數階微分方程邊值問題正解的存在性

廖 秀, 韋煜明, 馮春華

(1. 桂林電子科技大學信息科技學院 公共課程教學部, 廣西 桂林 541004; 2. 廣西師范大學 數學與統計學院, 廣西 桂林 541004)

0 引 言

分數階微分方程在控制系統、 流變學、 黏彈性力學等領域應用廣泛[1-4], 目前已取得了許多研究成果[5-15]. 關于有限區間和無窮區間上具有Riemann-Liouville分數階導數α階微分方程邊值問題正解的存在性研究也得到廣泛關注, 但對于半無窮區間邊值問題正解的存在性及復雜系統的研究文獻報道較少.

文獻[14]利用Schauder不動點定理和Leggett-Williams不動點定理, 得到了分數階邊值問題：

正解的存在性與不存在性, 其中2<α<3. 文獻[11]利用Banach壓縮映像原理和Schauder不動點定理, 得到了分數階邊值問題:

解的存在性與唯一性, 其中1<α≤2.

受上述研究的啟發, 本文考慮下列分數階邊值問題:

(1)

假設如下條件成立:

(H1)f: (0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞),f(t,0)在(0,+∞)的任意子空間內不恒為0;

(H3) 對每個r>0, 存在函數φr∈L1(+),φr(t)≥0, 使得當|u|≤r,t∈+時, 滿足

1 預備知識

定義1[1]函數y: (0, ∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數積分定義為

其中等式右端在(0,∞)上有定義.

定義2[1]函數f: (0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數導數定義為

定義3[1]設(X,ρ)是度量空間,T是X到X中的映射, 如果存在0<α<1, 使得對所有的x,y∈X,ρ(Tx,Ty)≤αρ(x,y)均成立, 則稱T是壓縮映射.

其中Ci∈(i=1,2,…,n)為任意實數,n為大于或等于[δ]的最小整數.

1) ‖Su‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω1, ‖Su‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω2;

2) ‖Su‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω1, ‖Su‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω2.

引理6[1]設X是完備的度量空間,T:X→X, 若存在自然數n, 使得Tn是X上的壓縮映射, 則T有且只有一個不動點.

(2)

(3)

對式(3)兩邊積分, 得

由引理2, 得

又因為

所以有C2=0. 由u(t)的表達式有

于是, 邊值問題(1)的解可表示為

證畢.

引理8若假設條件(H1)～(H3)成立, 則引理7的Green函數具有下列性質：

1) ?(t,s)∈[0,∞)×[0,∞),G(t,s)是連續函數且G(t,s)≥0;

證明: 1) 首先根據G(t,s)的表達式, 當0

當0

(4)

顯然有G(t,s)>0. 因此, 性質1)成立.

2) 根據性質1)的證明可知,

結合式(4), 性質2)顯然成立.

2 主要結果

記

其中：

定義算子A:E→E為

引理10假設條件(H1),(H2)成立, 則算子A:P→P0全連續.

證明: 取k>0, 記Bk={u(t): 00, 使得‖u‖≤k0. 設t∈(0,+∞), 則

所以Au∈C(0,+∞), 且

因此A:P→P，

其中，

因此A(P)?P0, 即A:P→P0.

從而由Lebesgue控制收斂定理, 有

所以A:P→P連續.

設Ω?P是任意一個有界集, 則存在r>0, 使得當u∈Ω時, 有‖u‖≤r. 對任意的u∈Ω, 可得

所以A(Ω)是一致有界的.

定理1假設條件(H1)～(H3)成立, 且f0<Λ1,f∞>Λ2, 則邊值問題(1)至少有一個正解.

證明: 由假設條件f0<Λ1知, 存在常數r1>0, 使得對t∈+及u∈(0,r1], 有f(t,(1+tα-1)u)<Λ1u≤Λ1r1. 令Ω1={u∈P0, ‖u‖≤r1}. 對任意的u∈?Ω1, 有‖u‖=r1, 且

又由于f∞>Λ2, 所以存在R>0, 使得對t∈[1/k,k]和u∈[R,+∞),f(t,(1+tα-1)u)>Λ2u成立. 令r2>max{r1,R/γ(k)}, 且r2,Ω2={u∈P0: ‖u‖

因此, 對t∈[1/k,k], 有u(t)/(1+tα-1)>R, 于是由

有

由引理5知,A在P0∩(Ω2Ω1)中至少存在一個不動點, 即邊值問題(1)至少存在一個正解.

定理2如果定理1的條件成立, 假設對任意的u1,u2∈E,t∈(0,∞), 存在L>0, 使得

證明: 如果定理1的條件成立, 則邊值問題(1)在V中至少有一個正解. 因此只需證算子A在E上是壓縮映射. 事實上, 對任意的u1,u2∈E, 由假設Lipschitz條件, 有

時, 算子A是壓縮映射. 根據Banach壓縮不動點定理, 邊值問題(1)有唯一正解u(t)∈(0,∞).