帶線性記憶的弱阻尼吊橋方程拉回吸引子的存在性

王芳平, 馬巧珍

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

非自治系統在自然科學許多領域應用廣泛, 目前已取得許多研究成果. Chepyzhov等[1]提出了一致吸引子的概念. 研究表明, 一致吸引子的存在性依賴于系統解算子的緊性, 但當時間趨于∞時, 一些非自治系統的軌道是無界的, 所以一致吸引子的一些經典理論已不再適用于該系統, 于是又提出了拉回吸引子的概念, 拉回吸引子定義為從-∞遠處吸引解的參數族, 即初始時刻是-∞, 而最終時刻是固定的.

設Ω是2中具有適當光滑邊界?Ω的有界開區域, 考慮如下帶線性記憶的弱阻尼吊橋方程:

(1)

解的漸近行為, 其中:u(x,t)是未知函數, 表示橋面在豎直方向的振動;α是正常數;ku+表示恢復力,k>0是彈性系數;u+=max{u,0}是u的正部,u0:Ω×(-∞,0]→表示u的過去歷史;μ是記憶核;νut表示黏彈性阻尼,ν>0是一個給定的正常數;h(·)∈;L2(Ω))是外力項;τ=[τ,+∞).

首先將方程(1)轉化為一個確定的非自治動力系統. 為此, 需引入表示歷史位移的變量, 即

η=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥τ.

(2)

于是

(3)

(4)

相應的邊界條件為

u=Δu=0, (x,t)∈Γ×+,η=Δη=0,x∈Ω,t≥τ,

(5)

初值條件為

u(x,τ)=u0(x),ut(x,τ)=u1(x),ηt(x,0)=0,ητ(x,s)=η0(x,s),

(6)

其中: 當x∈Ω時，u0(x)=u0(x,τ)，u1(x)=?tu0(x,t)|t=τ； 當(x,τ-s)∈Ω×+時，η0(x,s)=u0(x,τ)-u0(x,τ-s).

根據文獻[3,7], 假設非線性項f∈C2(),f(0)=0, 且滿足下列條件：

記憶核函數μ(·)滿足下列條件:

(H4)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s), ?s∈+;

(H6)μ′(s)+k1μ(s)≤0, ?s∈+, 某些k1>0.

目前, 關于帶記憶項的動力系統已有很多成果[3,12], 但關于方程(1)拉回吸引子的存在性研究尚未見文獻報道, 由于方程(1)中含有線性記憶, 故不能用拉回D-條件(C)考慮該問題. 本文用收縮函數的方法得到與問題(4)-(6)相關過程的拉回D-漸近緊性, 從而證明了方程(1)拉回吸引子的存在性.

1 預備知識

相應的內積和范數分別為

Poincaré不等式:λ1‖v‖2≤‖v‖2, ?v∈H, 其中λ1是-Δ的第一個特征值.

設(X,d)是完備的度量空間, (Q,ρ)為度量空間, 也稱為符號空間. 設θ={θt}t∈是定義在Q上的動力系統, 滿足下列性質: 1) ?q∈Q，θ0(q)=q; 2) ?q∈Q,t,τ∈,θt+τ(q)=θt(θτ(q)); 3) (t,q)→θt(q)連續. 如果映射φ:+×Q×X→X滿足: 1) ?(q,x)∈Q×X,φ(0,q,x)=x; 2) ?s,t∈+, (q,x)∈Q×X,φ(t+s,q,x)=φ(s,θt(q),φ(t,q,x)). 則稱映射φ:+×Q×X→X是由θ誘導出的共圈.

定理1[13]設(θ,φ)為Q×X上的非自治動力系統, 假設集合族D={Dq}q∈Q為φ的拉回吸收集, 且φ是拉回D-漸近緊的. 則φ擁有拉回吸引子A={Aq}q∈Q, 且

(7)

(8)

則稱Φ(·,·)為B×B上的收縮函數, C表示定義于B×B上收縮函數的集合.

(9)

‖φ(t,θ-t(q),x)-φ(t,θ-t(q),y)‖X≤+Φt,q(x,y),

(10)

則φ在X上是拉回D-漸近緊的.

2 拉回吸引子

2.1 解的適定性

定義H中的能量泛函為

令Q=,θt(τ)=t+τ, 并定義

φ(t,τ,y0)=y(t+τ;τ,y0)=(u(t+τ),ut(t+τ),ηt(t+τ)),τ∈,t≥τ,y0∈H.

(11)

由問題(4)-(6)解的存在唯一性可知,

φ(t+s,τ,y0)=φ(t,s+τ,φ(s,τ,y0)),τ∈,s,t≥τ,y0∈H.

且對任意的τ∈,t≥τ, 式(11)定義的映射φ(t,τ,·): H→H是連續的. 因此式(11)定義的映射φ在H上是一個連續共圈. 下面假設(;H)滿足

(12)

其中δ是一個正常數. 令Rδ是所有函數r:→(0,+∞)的集合, 滿足

(13)

2.2 拉回吸收集的存在性

由條件(H1)可知, 存在一個正常數K1, 使得

?u∈V.

(14)

由條件(H3)和Poincaré不等式可知, 存在一個正常數K2, 使得

?u∈V.

(15)

用v=ut+σu與方程組(4)中的第一個方程在H中做內積, 得

結合方程組(4)中的第二個方程、 條件(H5),(H6)以及H?lder不等式, 有

(ν-σ)(ut,v)=(ν-σ)‖v‖2-σ(ν-σ)(u,v),

由式(16)可得

第一，優先發展RAROC較高、風險權重較低的輕資本產品。優先發展結售匯、托管、代理、承銷、咨詢、結算、清算等中間業務發展，提高輕資本非利息收入占比。零售貸款因其較低的風險權重，在政策允許的前提下，優先發展可改善業務結構，提高整體資本使用效率。

(18)

由式(15)可知,

將式(18)～(20)代入式(17), 整理可得

則

(21)

對式(21)從t-τ到t積分可得

2.3 拉回吸引子的存在性

證明： 對任意的t∈, 令為問題(4)-(6)關于初值的解, 再令則w(t)和ξt(s)滿足:

(22)

用eβtwt與方程組(22)的第一個方程在H中做內積, 可得

對式(23)在[s,t]上積分, 有

用eβtw與方程組(22)的第一個方程在H中做內積, 可得

對式(26)在[s,t]上積分, 有

再對式(27)關于s在[t-τ,t]上積分, 有

將式(28)代入式(25), 由β<ν/3, 且k1/2>ν(k0+1)/3, 可得

對式(26), 在[t-τ,t]上積分, 可得

將式(30)代入式(29)可得

另一方面, 對式(23)在[t-τ,t]上積分, 可得

將式(32)代入式(31)可得

綜合上述估計、 結合式(33), 并記

則

(i) 在空間L∞(t-τ0,t;V)中,un→u弱*收斂;

(ii) 在空間L∞(t-τ0,t;H)中,unt→ut弱*收斂;

(iii) 在空間L2(t-τ0,t;H)中,un→u強收斂;

(iv) 在空間L2(Ω),Lr(Ω)中, 有un(t-τ0)→u(t-τ0), 且un(t)→u(t)強收斂, 其中r≤2(p+1).

下面依次處理式(34)中的每一項. 首先, 由假設條件(i),(iii),(iv)易知,

其次, 在空間L2(t-τ0,t;L2)中, 由f(un)→f(u)弱*收斂, 并結合假設條件(ii),(iii)及文獻[14], 有