一類變指數分數階微分方程的多重解

張 申 貴

(西北民族大學 數學與計算機科學學院, 蘭州 730030)

1 引言與預備知識

目前, 關于帶有變指數算子的分數階微分方程的研究已取得了豐富成果： 文獻[1]研究了變指數分數階微分算子的性質; 文獻[2]建立了分數階變指數Sobolev空間的緊嵌入定理; 文獻[3]利用拓撲度理論和不動點方法, 得到了一類變指數分數階微分方程邊值問題解存在的充分條件； 文獻[4]運用上下解并結合單調迭代的方法, 討論了分數階p(x)-Laplace方程的可解性. 本文利用變分方法研究一類分數階p(x)-Laplace方程的多重解. 記0

當p(x,y)=2時, L退化為經典的分數階Laplace算子, 在物質的相變過程等領域應用廣泛. 文獻[5-11]研究了分數階Laplace方程邊值問題解的存在性. 特別地, 當非線性項f(x,u)滿足Ambrosetti-Rabinowitz型超線性條件(簡記為(AR)條件), 即存在Θ>2,L>0, 使得

本文考慮邊值問題:

(1)

其中Ω是N中具有光滑邊界?Ω的有界開集,為連續函數, 滿足p(x,y)=p(y,x), 且

假設以下條件成立:

(H3) 設f(x,0)=0,f(x,-u)=-f(x,u)對所有的x∈Ω和u∈均成立.

此外, 假設非線性項滿足局部超線性條件：

其中S(Ω)表示可測的實值函數組成的集合, 具有范數

記分數階變指數Sobolev空間

具有范數‖u‖W=[u]s,p(x,y)+|u|q(x), 其中

引理1[1]記

?u∈W0,

則下列性質成立:

1) ‖u‖<(=;>)1?ρ(u)<(=;>)1；

2) ‖u‖>1?‖u‖p-≤ρ(u)≤‖u‖p+;

3) ‖u‖<1?‖u‖p+≤ρ(u)≤‖u‖p-.

引理2[1]記

?u,v∈W0.

則W0緊嵌入Lr(x)(Ω), 其中Ω是N中的有界區域.

引理4(臨界點定理)[18]設E為Banach空間,E=V⊕X, 其中dimV<+∞. 若I∈C1(E,), 滿足I(0)=0,I(-u)=I(u), 且:

1) 泛函I滿足(C)條件, 即對任何點列{un}?E, 當n→+∞時, (1+‖un‖)‖I′(un)‖→0, 且{I(un)}有界, 可推得{un}有收斂子列;

2) 存在正常數ρ和α, 使得I|?Bρ∩X≥α;

則泛函I至少有(dimH-dimV)對非平凡臨界點.

2 主要結果

對?v∈W0, 如果有

則稱u∈W0為問題(1)的弱解. 在W0上定義能量泛函I為

于是u∈W0是問題(1)的(弱)解等價于u是泛函I的臨界點.

定理1設條件(H1)～(H4)成立, 則對?n∈, 問題(1)至少有2n個非平凡解.

證明: 1) 證明泛函I滿足(C)條件. 由條件(H1)知,

(2)

對所有的(x,u)∈Ω×均成立. 結合條件(H2)和式(2)知,

(3)

對所有的(x,u)∈Ω×均成立. 設{un}?W0為泛函I的(C)序列, 則存在常數c3>0, 使得

|I(un)|≤c3, (1+‖un‖)‖I′(un)‖≤c3.

(4)

先證明{un}在W0中有界. 不妨設‖un‖>1, 由式(3),(4), 利用引理1, 有

由于1≤γ

(6)

(7)

記

?u,v∈W0.

對于u∈Zk, ‖u‖=rk>1, 由式(2)和引理1, 有

(8)

若取X=Zk, 則式(8)表明, 當k充分大時, 存在正常數ρ和α, 使得I|?Bρ∩X≥α>0. 因此, 引理4中條件2)成立.

3) 驗證泛函I滿足引理4的條件3). 記B(x,r)表示以r為半徑、 以x為中心的球. 取x0∈Ω0和r0>0, 使得

?Ω.

再取r1>0和x1∈Ω1, 滿足

|Ω0∩supp(vj)|>0,j,i∈{1,2,…,m}; supp(vj)∩supp(vi)=?,j≠i.

則H=span{v1,v2,…,vm}為變指數Sobolev空間W0的m維子空間, 且

?v∈H{0}.

(9)

當‖u‖>1時, 由

(10)

及引理1, 對于u∈W0, 有

從而有

要證明引理4中條件3)成立, 只需證明對v∈H, ‖v‖=1, 有

(11)

由條件(H4)和式(2), 對于?υ>0, 存在c8>0, 使得式(10)對所有的x∈Ω0和u∈均成立. 對t>1,v∈H, ‖v‖=1, 由條件(H4)和式(10), 有

4) 由條件(H3)知, 對?u∈W0, 有I(0)=0,I(-u)=I(u). 令W0=V⊕X,X=Zk,V=Yk, dimV=k. 由m的任意性, 對?n∈, 可取m=n+k, dimH=m, 則

dimH-dimV=m-k=n+k-k=n.

由引理4可知, 泛函I至少有2n個非平凡臨界點. 從而問題(1)至少有2n個非平凡解.

計算表明,F滿足定理1中條件, 但不滿足(AR)條件和文獻[1-11]中定理的條件. 若將(H2)替換為下列條件, 則可得與定理1相同的結果.

(H5) 設存在遞減函數h∈C(+,+), 滿足:

且設f滿足不等式:

0<(p++h(|u|))F(x,u)≤f(x,u)u

定理2設條件(H1),(H3)，(H4),(H5)成立, 則對?n∈, 問題(1)至少有2n個非平凡解.

證明: 根據定理1的證明, 只需證明泛函I滿足(C)條件. 記

由條件(H5), 有

(13)

由條件(H1)和式(2), 對|u|≤L, 有

從而

其中|Ω2|表示有界區域Ω2的測度. 結合式(13)和(14)知,

對所有的(x,u)∈Ω×均成立.

設{un}?W0為泛函I的(C)序列, 則存在常數c3>0, 使得

|I(un)|≤c9, (1+‖un‖)‖I′(un)‖≤c9.

(16)

不妨設‖un‖>1, 由式(15),(16), 有

式(17)表明{un}在W0中有界. 類似定理1的證明, 可知{un}在W0中強收斂于u. 故泛函I滿足(C)條件.

注3對比文獻[16,19-22]中研究的變指數偏微分方程, 由于帶有分數階p(x)-Laplace算子Lu, 問題(1)對應的能量泛函形式和作用空間的選取是不同的. 此外, 本文定理1和定理2中的可解性條件與文獻[16,19-22]中的可解性條件也不同.