Fermi氣體光晶格奇攝動模型的漸近解

徐建中, 莫嘉琪

(1. 亳州學院 電子與信息工程系, 安徽 亳州 236800； 2. 安徽師范大學 數學與統計學院, 安徽 蕪湖 241003)

0 引 言

目前, 玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)理論已得到廣泛關注[1]. 對光晶格Fermi氣體及其凝聚體特性的研究也有許多結果, 包括波的演化, 量子的相變情形, 用共振技巧控制光晶格的性態, 超流與絕緣變, 光晶格Fermi氣體常規超導體超導電性的微觀現象(BCS)和BEC間過渡的隧穿性態、 Josephson效應、 Bloch振蕩以及由相平面分析與周期性調制研究BCS[2-15]等. Landau-Zener隧穿效應為Fermi凝聚體量子現象, 是系統相鄰能級間的一種量子隧穿[11]. 文獻[16-27]用解析方法研究了相關的非線性問題. 本文利用奇攝動理論和方法給出一類關于Fermi氣體光晶格擾動系統解的近似表示式.

研究光晶格凝聚時, 當Fermi氣體的光晶格尺度相對較小且溫度較低時, Fermi氣體分子體系在渡越時的動力學行為可用如下Schr?dinger方程描述：

這里:x是空間變量;t是時間變量;φ是波函數;kL,μ,?,m,al,V0的意義可參見文獻[12-13]. 在從BCS區到unitarity區過渡的化學勢Schr?dinger方程可表述為相位s和布局數差r的奇攝動光晶格凝聚Fermi氣體系統：

其中;ε>0為小參數;a,b,c1,c2為相應物理量的無量綱數值.

1 光晶格系統模型軌線的外部解

考慮如下奇攝動Fermi氣體光晶格軌線方程擾動模型：

其中:ε>0為攝動參數;f(ε,r,coss)為充分光滑的有界擾動函數, 且存在正常數δ, 滿足fp(ε,r,p)≤-δ.

首先求奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(3)-(4)軌線的外部解. 設

(5)

將式(5)代入式(3), 合并ε的同次冪, 并令ε各次冪的系數為零. 當ε0的系數為零時, 可得奇攝動Fermi氣體光晶格在退化情形的軌線方程:

(6)

圖1 光晶格退化情形下奇攝動Fermi氣體的軌線Fig.1 Trajectory of a singular perturbation Fermi gases in the case of optical lattices degeneration

選取無量綱參數b=10,c1=c2=1,f=-coss, 則奇攝動Fermi氣體光晶格退化情形軌線的解在相平面r,s上的閉軌線曲線如圖1所示.

將式(5)代入式(3), 合并ε的同次冪, 當ε1的系數為零時, 可得

(7)

將式(5)代入式(3), 合并ε的同次冪, 當εi(i=2,3,…)的系數為零時, 可得

(8)

2 模型軌線的層型校正項

設奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(3)-(4)軌線的層型校正項ψ為

(9)

做伸長變量變換[28-29]

ξ=|r|/ε.

(10)

再設

(13)

將式(13)代入式(10),(11), 按ε的冪展開, 合并εi(i=0,1,…)項的系數并分別取為零, 依次可得:

其中:

由模型(14)-(15)和模型(16)-(17)可依次求出ψi(ξ)(i=0,1,2,…). 再將其代入式(13), 即可得奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(3)-(4)軌線的層型校正項ψ. 最后, 由式(9), 可得奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(3)-(4)軌線的漸近展開式:

(18)

3 漸近展開式的一致有效性

定理1對于奇攝動Fermi氣體光晶格擾動軌線方程模型(3)-(4), 其中ε>0為攝動參數,f(ε,r,coss)為充分光滑的有界擾動函數, 且存在正常數δ, 滿足fp(ε,r,p)≤-δ, 則奇攝動擾動模型(3)-(4)軌線的漸近展開式(18)為在-1

證明: 首先做如下輔助函數:

α(ε,r,s)=Ym-λεm+1,β(ε,r,s)=Ym+λεm+1, -1

(19)

α(ε,r,s)≤β(ε,r,s), -1

(20)

由式(15),(17)易見, 存在足夠大的正常數λ0, 使得

(21)

(22)

下面證明如下不等式成立:

(23)

(24)

事實上, 由假設知, 對于足夠小的ε>0, 存在正常數M, 使得

當選取λ>M/δ時, 不等式(23)成立. 同理可證不等式(24)也成立.

由式(20)～(24)及微分不等式理論[28-29]可知,α(ε,r,s)≤β(ε,r,s)成立; 再由式(19)知, 擾動模型(3)-(4)軌線的漸近展開式(18)為在-1

4 實 例

選取無量綱參數a=c1=c2=1,b=10,s0=2, 擾動函數f(ε,r,coss)=-coss, 此時奇攝動Fermi氣體光晶格擾動軌線方程模型(3)-(4)為

其中ε>0為攝動參數.

先求奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(25)-(26)軌線的外部解. 將式(5)代入式(25), 合并ε的同次冪, 并令ε各次冪的系數為零. 當ε0的系數為零時, 可得

于是有

(27)

(28)

由式(5),(27),(28), 可得奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(25)-(26)軌線外部解的一次漸近展開式:

下面求奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(25)-(26)軌線的層型校正項ψ. 將式(13)代入式(25),(26), 按ε的冪展開, 合并εi(i=0,1,…)項的系數并分別取為零, 依次可得:

由模型(30)-(31)和模型(32)-(33), 可分別得:

從而可得奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(25)-(26)軌線層型校正項的一次漸近展開式:

結合式(29),(36), 可得奇攝動Fermi氣體光晶格擾動模型(25)-(26)軌線在-1