余純投射維數換環定理

熊 濤, 王芳貴, 喬 磊

(1. 西華師范大學 數學與信息學院, 四川 南充 637002; 2. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 成都 610068)

1 引言與預備知識

設R是給定的環, gl.dim(R)表示R的整體維數, 如無特別說明,R-模均指左模. 設M是R-模, fdRM表示M的左平坦維數. 其他相關符號參見文獻[1-2].

若存在分解的正合列投射模P=…→P1→P0→P0→P1→…, 使得M?Im(P0→P0)和函子HomR(-,Q)對序列P還是正合的, 則稱R-模M為Gorenstein投射模(簡稱G-投射模), 這里Q是投射R-模. 若投射R-模的子模是Gorenstein投射的, 則稱環R為Gorenstein遺傳環. Gorenstein遺傳整環稱為Gorenstein Dedekind整環. 文獻[5]中定理2.6證明了一個Neother整環R是Gorenstein Dedekind整環當且僅當R是CPH環, 即cpD(R)≤1. 文獻[8]中定理3.15證明了整環R是Gorenstein Dedekind整環當且僅當R是CPH整環. 若存在正合列

0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,

則稱模M的Gorenstein投射維數不超過n, 記為GpdRM≤n, 這里每個Pi都是Gorenstein投射模.R的Gorenstein整體維數G-gl.dim(R)定義為sup{GpdRM|M是R-模}. 由文獻[3]中注記4.2和文獻[9]中命題1.3知，R是QF環當且僅當G-gl.dim(R)=0, 當且僅當cpD(R)=0. 更一般地, 文獻[8]中命題3.17證明了對一個滿足G-gl.dim(R)<∞的Noether環R, G-gl.dim(R)=cpD(R)成立. 因此R的余純投射整體維數cpD(R)作為一種較新定義的同調維數, 與G-gl.dim(R)聯系密切.

經典同調理論中的整體維數和弱整體維數都有相應的換環定理. 文獻[10]給出了Gorenstein投射維數的換環定理. 文獻[8]證明了R是QF環當且僅當對任意R上的未定元x, 其多項式環R[x]是CPH環; 一個整環R是CPH環當且僅當對R的任何非零因子非單位u,R/(uR)是QF環, 即給出了關于余純投射維數的換環定理. 但文獻[8]并未給出余純投射維數換環定理的直接表述, 本文給出其直接表述.

2 主要結果

證明: 設N是平坦T-模. 由平坦維數換環定理, 可得fdRN<∞. 因此, 存在內射T-模E及正合列0→N→E→C→0. 從而可得如下行是正合列的交換圖:

設0→K0→F0→M→0是正合列, 這里F0是自由R-模. 由假設可得正合列

?RK0→T?RF0→T?RM→0.

注意到T?RF0是自由T-模, 則對所有的k≥0, 均可得如下同構：

顯然可得下列推論.

推論1設M是強余純投射R-模， 則M[x]是強余純投射R[x]-模.

推論2設R是交換環,S是R的一個乘法封閉集. 如果M是強余純投射R-模, 則MS是強余純投射RS-模.

為方便, 用S (R)表示位于R中心的既不是零因子也不是單位元素的集合.

推論3設a∈S (R),M是強余純投射R-模, 且a不是M的零因子. 則M/(aM)是強余純投射R/(aR)-模.

證明: 記T=R/(aR), 則fdRT≤1. 由定理1和引理2可得結論.

命題1設M是左R-模, 則cpdR[x](M[x])=cpdR(M).

證明: 設m是一個非負整數. 如果cpdR(M)≤m, 則由文獻[3]中命題4.6可知, 存在正合列

0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0,

這里每個Pi都是強余純投射R-模. 從而

0→Pm[x]→Pm-1[x]→…→P1[x]→P0[x]→M[x]→0

也是正合的. 由推論1可得cpdR[x](M[x])≤m.

另一方面, 設cpdR[x](M[x])≤m, 則存在正合列

0→Fm→Fm-1→…→F1→F0→M[x]→0,

這里F0,F1,…,Fm-1是自由R[x]-模, 且Fm是強余純投射R[x]-模. 由于x是M[x]的非零因子, 可得正合列

0→Fm/(xFm)→Fm-1/(xFm-1)→…→F1/(xF1)→F0/(xF0)→M→0.

由推論3可知, 每個Fi/(xFi)都是強余純投射R-模. 故cpdR(M)≤m, 從而cpdR[x](M[x])=cpdR(M)成立.

定理2設a∈S (R), 記T=R/(aR). 則: 1) 設M是非零左T-模, 且cpdT(M)=m<∞, 則cpdR(M)=m+1; 2) 若cpD(T)<∞, 則cpD(R)≥cpD(T)+1.

2) 記m=cpD(T), 則存在T-模M, 滿足cpdT(M)=m. 由1)有 cpdR(M)=m+1. 因此cpD(R)≥m+1.

對交換環R, 可得下列推論.

推論4設a∈S (R), 記T=R/(aR). 如果gl.dim(R)≤m, 則cpD(T)≤m-1. 特別地, 如果R是遺傳環, 則T是QF環.

推論5設R是整環,a∈R非零非單位, 記T=R/(a). 如果cpD(R)≤2, 則T是CPH環.

推論6設R是整環,a∈R非零非單位, 記T=R/(a). 如果gl.dim(R)≤2, 則T是CPH環.

推論7設R是傘環且滿足gl.dim(R)≤2. 對任意的0≠a∈P, 這里P是R的非有限生成極大理想, 記T=R/(a). 則T是凝聚非Noether的CPH環.

一般地, 對于環R的真理想I, cpD(R)≥cpD(R/I)+1未必成立. 下面舉例說明.

例1構造環R=+x2[x], 這里是有理數域,x是上的一個未定元. 則由文獻[12]中例4.1可知,R是Gorenstein Dedekind整環. 由文獻[8]中定理3.1和定理3.15可知, cpD(R)≤1成立. 下面構造R的真分式環注意到是一個以為唯一極大理想的局部Artin環, 且則不是QF環. 再由文獻[3]中注4.2可得,

定理3對任意環R, cpD(R[x])=cpD(R)+1.

證明: 由命題1, 不妨設m∶=cpD(R)<∞. 由定理2, 可得cpD(R[x])≥m+1. 設A是R[x]-模. 考慮經典的R[x]-模正合列 0→A[x]→A[x]→A→0. 由文獻[3]中命題4.10(3)及命題1, 有

cpdR[x](A)≤cpdR[x](A[x])+1=cpdR(A)+1≤m+1.

因此cpD(R[x])≤m+1.

定理4設R是交換環,S是R的乘法封閉集. 則cpD(RS)≤cpD(R).

證明: 不失一般性, 假設m∶=cpD(R)<∞. 對任意RS-模M, 存在正合列

0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0,

其中每個Pi是強余純投射R-模. 則可得正合列

0→(Pm)S→(Pm-1)S→…→(P1)S→(P0)S→M→0.

由推論2知, 每個(Pi)S是強余純投射RS-模. 從而cpD(RS)≤m.

若R是交換的Noether環, 則環R的整體維數有如下性質:

gl.dim(R)=sup{gl.dim(Rm)|m取遍R的全部極大理想}.

對于cpD(R), 有下列推論.

推論8[8]若R是交換的Noether環, 則cpD(R)=sup{cpD(Rm)|m取遍R的全部極大理想}.