(z)性 質 的 一 個 注 記

戴 磊

(1. 渭南師范學院 數理學院, 陜西 渭南 714099; 2. 陜西師范大學 計算機科學學院, 西安 710119)

1 引言與預備知識

Weyl[1]在檢查自伴算子T的所有緊攝動譜時, 發現T的所有緊攝動譜集的交恰好等于T的譜集中孤立的有限重特征值的全體, 該結論稱為Weyl定理. 目前, 關于Weyl定理的變形和推廣已取得許多結果[2-9]. 例如: 文獻[2-3]分別給出了a-Weyl定理和(ω)性質; Zariouh[4]定義了Weyl定理新的變化性質----(az)性質和(z)性質. 本文首先利用算子的擬冪零部分給出算子滿足(az)性質的一個刻畫; 然后利用單值擴張性質證明(z)性質與a-Weyl定理、 (ω)性質與Weyl定理的等價性, 并給出算子滿足(z)性質的若干等價刻畫; 最后給出對任意的f∈H(σ(T)),f(T)都滿足(z)性質的條件.

設X表示一個無限維復值Banach空間,L(X)和K(X)分別表示X上的有界線性算子全體和緊算子全體. 對T∈L(X), 記T*為T的伴隨算子,N(T)為T的核,R(T)為T的值域,σ(T)為T的譜集,σa(T)為T的逼近點譜.T的升標和降標分別定義為asc(T)=inf{n≥0:N(Tn)=N(Tn+1)}和des(T)=inf{n≥0:R(Tn)=R(Tn+1)}, 若這樣的整數不存在, 則記為∞. 如果T的升標和降標都有限, 則asc(T)=des(T)=p,X=N(Tp)⊕R(Tp)且R(Tp)為閉集[10]. 若R(T)為閉集且dimN(T)或codimR(T)有限, 則稱T為半Fredholm算子. 若T為一個半Fredholm算子, 則其指標定義為ind(T)=dimN(T)-codimR(T). 如果T的指標有限, 則稱T為Fredholm算子; 如果T是指標為零的Fredholm算子, 則稱T為Weyl算子; 如果T是升標和降標都有限的Fredholm算子, 則稱T為Browder算子. 算子T的本性譜、 Weyl譜、 Browder譜分別定義為:

σe(T)={λ∈:T-λI不為Fredholm算子},

σw(T)={λ∈:T-λI不為Fredholm算子},

σb(T)={λ∈:T-λI不為Browder算子}.

用isoK表示K?的孤立點集, accK=KisoK表示K聚點的全體. 顯然,

σe(T)?σw(T)?σb(T)=σe(T)∪accσ(T).

T的本性逼近點譜為

σea(T)=∩{σa(T+K):K∈K(X)},

Browder本性逼近點譜為

σab(T)=∩{σa(T+K):TK=KT且K∈K(X)}.

記

E0(T)={λ∈isoσ(T): 0

定義1[4]設T∈L(X), 則有:

1) 如果σ(T)σw(T)=E0(T), 則稱T滿足Weyl定理;

3) 如果σa(T)σea(T)=E0(T), 則稱T滿足(ω)性質;

定義2[10]如果對λ0∈的任意開鄰域U, 滿足(T-λI)f(λ)=0的唯一解析函數f:U→X是f恒為0(?λ∈U), 則稱算子T∈L(X)在λ0處有單值擴張性質(簡記為SVEP). 如果T在任一點λ∈處都有SVEP, 則稱T有SVEP(簡記為T∈SVEP).

顯然, 任意算子T和T*在?σ(T)上任一點處都有SVEP, 且根據文獻[10]中定理3.8, 有

asc(T-λI)<∞?T在λ處有SVEP;

(1)

對偶地, 有

des(T-λI)<∞?T*在λ處有SVEP.

(2)

顯然, 對所有的n∈, 均有N(Tn)?H0(T),T(K(T))=K(T),

H0(T-λI)是閉集?T在λ處有SVEP.

(3)

關于H0(T)和K(T)的更多性質可參見文獻[10].

注1[1]若T-λI是半Fredholm算子, 則式(1),(2),(3)等價.

2 主要結果

若R(T)為閉集且N(T)?R∞(T), 則稱T∈L(X)是半正則算子. 由文獻[10]知, 半正則預解集為開集. 用σf(T)表示T的譜集中所有重數有限的點全體, 下面給出(az)性質的一個刻畫.

引理1T∈L(X)為上半Fredholm算子且asc(T)<∞當且僅當R(T)為閉集, 且dimH0(T)<∞.

證明: 假設T為上半Fredholm算子且asc(T)<∞. 易知R(T)為閉集, 下證dimH0(T)<∞. 因為T為上半Fredholm算子, 利用T的Kato分解可知, 存在T的不變子空間X1,X2, 使得X=X1⊕X2, 其中:X1為有限維;T1=T|X1為冪零算子;T2=T|X2為半正則算子. 則

X1?H0(T),H0(T)=X1⊕H0(T)∩X2=X1⊕H0(T2).

引理2設T∈L(X)為上半Fredholm算子, 則H0(T)為非零閉子空間當且僅當0∈isoσa(T).

證明: 假設H0(T)為非零閉子空間, 由引理1的證明可知,T2為半正則算子且H0(T)為閉集. 于是H(T2)={0}, 從而dimH0(T)<∞. 利用引理1可知asc(T)<∞, 因此0∈isoσa(T). 反之, 假設0∈isoσa(T). 由于R(T)為閉集, 則dimN(T)>0, 從而H0(T)為非零子空間. 由0∈isoσa(T)知, 對任意>0, 存在δ>0, 使得當0<|λ|<δ時,T-λI為下有界算子, 從而T2-λI為下有界算子, 且H0(T2-λI)={0}. 根據文獻[11]中引理1.3可知H0(T2)={0}. 因此H0(T)=X1為非零閉子空間.

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定理1設T∈L(X), 若對任意λ∈σf(T),H0(T-λI)都為非零閉子空間, 則T滿足(az)性質.

文獻[9]證明了(z)性質能推出a-Weyl定理和(ω)性質, 從而蘊含Weyl定理, 并舉例說明反之不成立. 下面結論給出了它們之間的一個等價刻畫.

定理2設T∈L(X), 則下列敘述成立:

1) 若T*∈SVEP, 則T有性質(z)?T滿足a-Weyl定理?T有(ω)性質?T滿足Weyl定理;

2) 若T∈SVEP, 則T*有性質(z)?T*滿足a-Weyl定理?T*有(ω)性質?T*滿足Weyl定理.

一般地,T有SVEP并不能推出T滿足(az)性質. 例如, 設T∈ι2(N)定義為T(x1,x2,…)=(0,x1,x2,…), 則T為后移算子, 從而滿足SVEP. 由于σ(T)={λ∈:?, 所以T不滿足(az)性質.

下面用H(σ(T))表示在σ(T)的某鄰域解析的函數全體.

1) 若T*∈SVEP, 則任給f∈H(σ(T)), 都有f(T)滿足(az)性質;

2) 若T∈SVEP, 則任給f∈H(σ(T)), 都有f(T)*滿足(az)性質.

證明: 1) 假設T*∈SVEP. 則由文獻[6]中定理2.9可知, Browder定理對T成立, 即σ(T)σw(T)?E0(T). 由定理2可知σea(T)=σw(T),σ(T)=σa(T). 因此σ(T)σea(T)?E0(T), 即T滿足(az)性質. 任給f∈H(σ(T)), 由文獻[13]中定理3.3.6可知f(T)*∈SVEP, 于是由上述證明過程可知f(T)滿足(az)性質. 2)類似1)的證明. 證畢.

設T∈L(X), 若對任意λ∈, 都存在dλ≥1, 使得H0(T-λI)=N(T-λI)dλ, 則稱T為P(X)類算子. 該類算子范圍較廣, 既包括totally paranormal算子, 又包括subscalar算子, 因此包括每個M-hypornormal算子、 p-hypornormal算子和log-hypornormal算子. 根據定理3, 可得如下推論.

推論1設T∈L(X), 則下列敘述成立:

1) 若T∈P(X), 則任給f∈H(σ(T*)), 都有f(T*)滿足(az)性質;

2) 若T*∈P(X*), 則任給f∈H(σ(T)), 都有f(T)滿足(az)性質.

證明: 1) 假設T∈P(X). 則對任意λ∈C,H0(T-λI)都為閉子空間. 由式(3)可知T∈SVEP， 利用定理3可知任給f∈H(σ(T*)),f(T*)滿足(az)性質. 2)類似于1)的證明. 證畢.

如果算子X∈L(X)是單的并且有稠值域, 則稱X為擬相似的. 如果存在擬相似算子X∈L(X)使得XS=TX, 則稱算子S∈L(X)是T∈L(X)的擬仿射變換(簡記為ST).

推論2設T∈L(X), 假設T∈P(X)且ST. 則對任意的f∈H(σ(S)), 都有f(S*)滿足(az)性質.

證明: 假設T∈P(X)且ST. 則由文獻[6]中定理3.2知,S∈P(X). 因此根據推論1知f(S*)滿足(az)性質. 證畢.

由定理3及文獻[9]中定理2.1可得如下推論:

推論3設T∈L(X), 則下列敘述成立:

一般地, 本性逼近點譜不滿足譜映射定理, 但若T(或T*)有SVEP, 則由文獻[6]中引理2.2及文獻[7]中定理2.1可得如下結論：

引理3設T∈L(X), 若T*(或T)∈SVEP, 則任給f∈H(σ(T)), 都有f(σea(T))=σea(f(T)).

文獻[14]研究了滿足條件K(T)={0}的算子類, 證明了該類算子T的譜集σ(T)是連通的且T∈SVEP.

定理4設T∈L(X), 若存在λ0∈accσa(T), 使得K(T*-λ0I)={0}, 則對任意的f∈H(σ(T)), 都有f(T)滿足(z)性質.

證明: 因為(z)性質具有平移不變性, 不妨設λ0=0. 假設K(T*)={0}, 則由文獻[15]中性質2.1及性質2.6可知,T*∈SVEP, 且σ(T)=σa(T)=σea(T)連通并包含0. 特別地,σa(T)中沒有孤立點. 否則,σa(T)={0}, 與0∈accσa(T)矛盾. 設f∈H(σ(T)), 不失一般性, 假設f為在σ(T)的某鄰域解析的非常值函數, 則f(σa(T))=σa(f(T))為的連通子集且無孤立點. 因此再由引理3可知,

σ(f(T))=f(σ(T))=f(σea(T))=σea(f(T)).

于是f(T)滿足(z)性質.

定理5設T∈L(X), 若對任意λ∈σf(T),H0(T-λI)均為非零閉子空間, 則下列敘述等價:

1)T滿足(z)性質;

|λ-μI|‖x‖=‖(T-μI)x‖≥γ(T-μI)‖x‖.

X=R(T-λI)+N[(T-λ)d].

又由于dimN(T-λI)<∞, 所以dimN[(T-λI)d]<∞. 于是codimR(T-λI)<∞, 從而R(T-λI)為閉集[10]. 再利用定理5中3)可證(z)性質對T成立.