聯系一些特殊函數的Hilbert型積分不等式及其算子范數表達式

劉 瓊

(邵陽學院 理學院, 湖南 邵陽 422000)

0 引 言

(1)

這里常數因子π是最佳值. 不等式(1)在分析學及偏微分方程理論中應用廣泛[1-2]. 目前, 關于Hilbert型積分不等式及其推廣的研究已取得許多成果[3-13]. 楊必成[14]給出了一個新的具有指數函數核的Hilbert型積分不等式:

(2)

1 預備知識

下面參考文獻[15], 給出一些特殊函數的定義.

1) 設復數s的實部Re(s)>0, Gamma函數Γ(s)和不完全Gamma函數Γ(s,α)分別定義為

(3)

(4)

2) 設u,v>0, Beta函數B(u,v)定義為

(5)

3) 設α,β,z>0, 合流超幾何函數(又稱Kummer函數)1F1(α,β,z)定義為

(6)

這里

由式(6), 當0<λ<4-μ時, 有

(7)

4) Whittaker函數M(k,m,z)定義為

(8)

由式(7),(8), 有

(9)

設0<λ<2-μ, 由式(5),(9), 可得

設0<λ<2-3μ, 令λt=u, 由式(4), 可得

(11)

則

ω(λ,μ,x)=ω(λ,μ,y)=C(λ,μ),

其中

(12)

證明: 令xy=t, 由式(10),(11), 可得

類似可得ω(λ,μ,y)=C(λ,μ).

則有

證明: 易得

2 主要結果及應用

則有

這里常數因子C(λ,μ)(同式(12))是最佳值.

證明: 由帶權H?lder不等式[17]和引理1, 有

如果式(16)中等號成立, 則存在不全為零的常數A和B, 使得

在(0,∞)×(0,∞)內幾乎處處成立, 于是存在常數C≠0, 使得

Axp(λ+μ)/2fp(x)=Byq(λ+μ)/2gq(y)=C

C(λ,μ)(1-o(1))

令ε→0+, 得K≥C(λ,μ), 與K

定理2在與定理1相同的條件下, 有

(17)

這里常數因子Cp(λ,μ)是最佳值, 且不等式(17)和不等式(15)等價.

設

則當n≥n0時, 由式(15), 可得

由式(18)有

令n→∞, 即有

表明應用式(15),(18),(19)取嚴格不等式號的條件均滿足, 因此不等式(17)成立.

另一方面, 設式(17)成立, 由H?lder’s不等式, 有

圖1 λ,μ的取值范圍Fig.1 Value range of λ and μ

即式(15)成立, 所以式(17)與式(15)等價.

如果式(17)的常數因子不是最佳值, 則由式(17)可知, 式(15)的常數因子也不是最佳值, 與定理1的結論矛盾, 所以式(17)的常數因子Cp(λ,μ)是最佳值. 證畢.

下面給出簡單應用. 在式(15),(17)中選取一些合適的參數， 借助MAPLE數學軟件計算C(λ,μ)的值, 可得文獻中的一些結果及一些新的有意義的不等式. 參數值λ,μ的取值范圍如圖1所示.

(20)

這里常數因子π是最佳值.

(22)

例3取λ=1,μ=-1,p=q=2, 計算式(12), 有

C(1,-1)=1+e-1.

3 算子表達式

ψ1-p(y)=y(p/q)[1-q(λ+μ)/2].

定義如下賦范線性空間:

由式(17), 有

(25)

根據式(25), 算子T是有界的, 即

又因為常數因子C(λ,μ)是最佳值, 故‖T‖=C(λ,μ).

定理3由定理1和定理2, 不等式(15),(17)可表示成如下算子范數形式：