分形集上的廣義調和s-凸函數及Hadamard型不等式

孫 文 兵

(邵陽學院 理學院, 湖南 邵陽 422000)

1 引言與預備知識

很多不等式的研究都與函數凸性有關, 例如Hermite-Hadamard不等式: 令f:I?→是一個凸函數, 其中a,b∈I,a

(1)

如果f是凹的, 則不等式號相反. 目前, 關于Hermite-Hadamard型不等式的研究已取得了許多成果[1-14].

定義1[9]令I?(0,∞)是一個區間. 如果對所有的x,y∈I,t∈[0,1]以及某一固定的s∈(0,1], 均有

(2)

則稱函數f:I→是一個調和s-凸(凹)函數.

定理1[9]令f:I?(0,∞)→是一個調和s-凸函數,a,b∈I,a

(3)

定義2[14]令I?{0}是一個區間. 對所有的x,y∈I,t∈[0,1], 均有

(4)

則稱f:I→α(0<α≤1)是一個分形集上的廣義調和凸函數. 如果不等式反號, 則f是一個分形集上的廣義調和凹函數.

本文基于分形集理論及局部分數階微積分理論[15-16], 給出分形集上廣義調和s-凸函數的定義及其相關性質, 建立廣義調和s-凸函數推廣的Hermite-Hadamard不等式以及分形空間上其他與局部分數階積分有關的Hermite-Hadamard型不等式.

1)aα+bα∈α,aαbα∈α;

2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα;

4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α;

5)aα(bαcα)=(aαbα)cα;

6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα;

7)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα.

定義3[17]若對所有的u,v∈+(+=[0,∞)), 均有

其中λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1, 則稱函數f:+→α為第二種意義下的廣義s-凸函數(0

引理1[15]1) 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

2) 若f(x),g(x)∈Dα[a,b], 且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

引理2[15]

2 主要結果

定義4令函數f:I?(0,∞)→α(0<α≤1). 如果對所有的x,y∈I,t∈[0,1]及某一固定的s∈(0,1], 均有

(5)

則稱f是一個廣義調和s-凸函數. 如果式(5)中不等號反號, 則稱f是廣義調和s-凹函數.

性質1如果f:I?(0,∞)→α是一個廣義s-凸函數且不減的, 則f是一個廣義調和s-凸函數.

證明: 對于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

因為f: (0,∞)→α是一個廣義s-凸函數且不減的, 則

因此f是一個廣義調和s-凸函數.

性質2如果f:I?(0,∞)→α是一個廣義調和s-凸函數且不增的, 則f是一個廣義s-凸函數.

證明: 對于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

因為f: (0,∞)→α是一個廣義調和s-凸函數且不增的, 則

由定義3知,f是廣義s-凸函數.

例1令0

如果bα≥0α且0α≤cα≤aα, 則f是廣義s-凸函數(第二種意義下), 且f在區間(0,∞)上是不減的[17]. 根據性質1,f是廣義調和s-凸函數.

定理2(廣義調和s-凸函數的Hermite-Hadamard不等式) 令f:I?(0,∞)→α是分形空間上的一個廣義調和s-凸函數, 且a,b∈I,a

(6)

證明: 因為f:I?(0,∞)→α是一個廣義調和s-凸函數, 在式(5)中取則對所有的x,y∈I, 均有

(7)

將式(7)兩邊對t在[0,1]上局部分數階積分, 由引理2和引理4, 可得

因此

(8)

另一方面, 注意到f是一個廣義調和s-凸函數, 對t∈[0,1], 有

(9)

(10)

將式(9),(10)相加, 可得

(11)

將式(11)兩邊對t在[0,1]上局部分數階積分, 由引理2可得

(12)

其中

證畢.

注1在定理2中, 取α=1, 則由不等式(6)可得不等式(3).

下面給出分形空間上的兩個特殊函數:

1) Beta函數

2) 超幾何函數

引理5令I?{0}是一個區間,f:I°?{0}→α(I°是I的內部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα(a,b),a,b∈I°,a

證明: 設

由局部分數階分部積分, 可得

換元

可得

證畢.

定理3令I?(0,∞)是一個區間,f:I°→α(I°是I的內部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1, 則對所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

其中:

計算可得

類似地, 有

由式(15)～(19), 可得不等式(14). 證畢.

注2在定理3中, 取α=1, 可得文獻[10]中定理8.

定理4令I?(0,∞)是一個區間,f:I°→α使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1,則對所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

證明: 設At=ta+(1-t)b. 對式(13)兩邊取模, 由引理3可得

計算可得

由引理2, 可得

(25)

因此, 結合式(21)～(25)可得結論. 證畢.

注3在不等式(20)中, 若取α=1, 則通過簡單計算可得文獻[10]中定理9.