Lyapunov函數在一類隨機擾動的SIS-VS傳染病系統中的應用

夏 蘭, 趙亞男

(1. 吉林大學 計算機科學與技術學院, 長春 130012;2. 吉林交通職業技術學院 基礎部, 長春 130012; 3. 長春大學 理學院, 長春 130022)

目前, 關于布朗運動驅動的隨機傳染病模型的研究已取得許多成果[1-7]. 文獻[1]研究了一類具有疫苗接種效應的隨機SIS傳染病模型:

(1)

其中:Bi(t)(i=1,2,3)表示獨立的布朗運動;σi表示其強度；S(t)表示易感人群在t時刻的數量；I(t)表示感染人群在t時刻的數量；V(t)表示接受疫苗接種且免于感染的人群數量； 參數A表示新生兒輸入；q表示新生兒接種疫苗的概率；β表示S和I的接觸率；μ和γ分別表示自然死亡率和I倉室的恢復率；p表示易感人群中免疫接種的比例系數；ε表示接種人群中喪失免疫力率；α表示感染人群的疾病致死率； 所有參數均為正常數.

在傳染病動力學的研究中, 主要考慮疾病何時滅絕或流行. 在確定性模型中, 該問題通過模型的無病平衡點和地方病平衡點的全局吸引或全局漸近穩定性確定, 通常用R0表示傳染病系統的基本再生數. 文獻[8]研究了系統(1)相應的確定性模型, 表明該模型總存在無病平衡點P0(S0,0,V0). 如果R0≤1, 則P0是唯一的平衡點且全局穩定； 如果R0>1, 則P0不穩定, 且存在一個地方病平衡點P*(S*,I*,V*), 當參數α滿足不等式

(μ+ε)(2μ+α)2>α2(μ+ε+p)

及白噪聲擾動小時, 平穩分布存在且是遍歷的, 即疾病將流行. 但該結果平穩分布存在性的條件冗長, 而且依賴于相應確定性模型的地方病平衡點P*, 并受參數α的限制, 這主要是由于Hasminskii定理要求滿足一致橢圓條件. 因此本文提出一種新的證明方法, 通過尋找一個新的Lyapunov函數, 改進文獻[1]的結果, 獲得了平穩分布存在性和遍歷性的較好條件.

本文令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個完備的概率空間, 具有流{Ft}t≥0滿足通常條件(即右連續和F0包含所有零測集),B(t)是概率空間上定義的一個標量布朗運動.

設X(t)是El(l維歐氏空間)中的一個自治Markov過程, 可表示為隨機微分方程

(2)

引理1[9]設X(t)為El中的正則自治Markov過程, 若X(t)相對于某個有界區域U是常返的, 則其相對于El中的任一非空區域是常返的.

下面考慮具有非退化擴散項隨機系統的平穩分布. 假設：

(H1) 存在具有正則邊界Γ的有界區域U?El, 具有如下性質:

1) 在U及其一些鄰域, 擴散陣Λ(x)的最小特征值是非零的；

定理1[9]若假設條件(H1)成立, 則Markov過程X(t)存在不變分布μ(·). 令f(·)為關于測度μ可積的函數, 則對所有的x∈El, 成立

引理2[9]設X(t)為El中的正則自治Markov過程, 若X(t)相對于某個有界區域U是常返的, 則其相對于El中的任一非空區域是常返的.

下面給出本文的主要結果.

定理2若

其中k1,k2是正常數, 滿足

(3)

函數H(S,I,V)滿足

(4)

由式(4), 有

(5)

將式(5)代入式(4), 有

其中θ∈(0,τ),

(6)

其中:

W2=-logS;W3=-logI;W4=-logV.

則

其中

定義一個閉集

其中δ>0充分小, 滿足

(9)

式中:

定義

注意到δ滿足式(9), 可得

(10)

(11)

綜上, 本文研究了一類具有疫苗接種的隨機SIS傳染病模型, 通過構造新的Lyapunov函數, 給出了平穩分布存在性和遍歷性的充分條件, 改進了文獻[1,8]的結果, 去除了因疾病死亡率對平穩分布的影響.