基于同倫方法構造絕對值方程解存在的條件

姜興武, 姜舶洋, 楊雪瑩, 王秀玉

(1. 吉林工商學院 基礎部, 長春 130507; 2. 北京工業大學 信息學部, 北京 100022;3. 北京郵電大學 國際學院, 北京 100876; 4. 長春工業大學 基礎科學學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

考慮如下形式的絕對值方程：

Ax-|x|=b,

(1)

其中:A∈n×n;b∈n; |x|表示向量x的每個分量取絕對值. 目前, 關于絕對值方程的研究已有很多結果: 文獻[1]獲得了絕對值方程與水平線性互補問題的等價關系; 文獻[2-4]描述了求解絕對值方程的有效算法; 文獻[5-7]研究了絕對值方程解存在的條件. 組合同倫方法是求解優化及互補問題的一個有效方法[8-9]. 本文結合絕對值方程與互補問題的關系, 運用組合同倫方法給出絕對值方程解存在的一個條件, 該條件不同于目前常用的正則性條件. 實例分析表明, 該條件不滿足正則性, 但滿足本文條件的絕對值方程有解且解不唯一. 用xT表示向量x的轉置, (xT,yT,zT)T記為(x,y,z).分別表示向量的分量非負(正)的向量集合. 若也記為x≥0(x>0),I表示單位矩陣.

定義1[2]如果對任意的矩陣B∈[A-I,A+I]均為非奇異的, 則方陣區間[A-I,A+I]稱為正則的; 否則該矩陣區間稱為奇異的.

引理1[1]絕對值方程(1)等價于如下廣義線性互補問題:

y=(A-I)x-b≥0,z=(A+I)x-b≥0,yTz=0.

由引理1知, 求解絕對值方程問題可轉化為求解廣義線性互補問題.

假設:

(H1) 矩陣A可逆, 且有

[(A-I)x]°[(A+I)x]≤0?[(A-I)x]°[(A+I)x]=0,

即矩陣對(A-I,A+I)為列充分矩陣對, 其中:I為單位矩陣; °表示對應分量乘積.

(H2) 絕對值方程Ax-|x|=0只有零解x=0, 即廣義線性互補問題

y=(A-I)x≥0,z=(A+I)x≥0,yTz=0

只有零解.

下面舉例說明條件(H1),(H2)與區間矩陣[A-I,A+I]的正則性不同.

若(A-I)x°(A+I)x≤0, 則有

若x1+x2>0, 由(x1+x2)(3x1+x2)≤0及(x1+x2)(x1+3x2)≤0, 必有3x1+x2≤0和x1+3x2≤0, 這與x1+x2<0矛盾. 若x1+x2<0, 由(x1+x2)(3x1+x2)≤0且(x1+x2)(x1+3x2)≤0, 則有3x1+x2≥0和x1+3x2≥0, 這與x1+x2<0矛盾. 因此x1+x2=0, 即假設(H1)成立.

對于

2 主要結果

(2)

其中Y,Y(0)分別為以向量y,y(0)的元素為對角元素的對角矩陣.

其有唯一解x=x(0),y=y(0),z=z(0). 若μ=0, 則式(2)為

證明: 由于w(0)也可視為變量, 因此H的Jacobi矩陣為

非奇異, 其中μ∈(0,1]. 從而0是H(w,w(0),μ)的正則值, 其余證明與文獻[9]中命題2.1相同, 故略.

(A-I)x(k)-b-y(k)+μk(A+I)x(k)=0;

(3)

由同倫方程(2)的第二個式子得

(1-μk)[(A+I)x(k)-b]-z(k)+μkz(0)=0;

(4)

由同倫方程(2)的第三個式子知, 對任意的i=1,2,…,n, 有

(5)

情形1)μ*≠1. 將式(3),(4)兩邊同乘1/‖x(k)‖, 得

(6)

(7)

(A-I)x(*)-y(*)+μ*(A+I)x(*)=0,

(8)

(1-μ*)(A+I)x(*)-z(*)=0.

(9)

由式(8),(9)得

(10)

(11)

由式(5)可知, 對任意的i=1,2,…,n, 有

(12)

若μ*=0, 則‖x(*)‖=1, 式(10)～(12)與條件(H2)矛盾, 因此μ*≠0. 由式(12), 對任意的i=1,2,…,n, 有

(13)

結合式(10),(11),(13)及條件(H1), 可得z(*)=0. 但z(*)=0, ‖x(*)‖=1, 式(10),(11),(13)與條件(H2)矛盾.

情形2)μ*=1.

① {(1-μk)x(k)}仍無界, 即‖(1-μk)x(k)‖→∞,k→∞. 將式(3)兩邊同乘(1-μk), 得

(1-μk)(A-I)x(k)-(1-μk)b-(1-μk)y(k)+μk(1-μk)(A+I)x(k)=0.

(14)

將式(4),(14)兩邊同乘1/‖(1-μk)x(k)‖, 得

(15)

(16)

(17)

(A-I)x(*)-y(*)+(A+I)x(*)=0.

(18)

由式(17),(18), 得

(19)

由式(5)得

(20)

由式(20)得

(21)

② {(1-μk)x(k)}有界. 注意到{(1-μk)x(k)}有界, 有界序列必有收斂子列, 其收斂子列仍記為{(1-μk)x(k)}. 令

對式(4),(14)兩邊取極限, 并注意到μ*=1,

(22)

由式(5)得

(23)

由式(23), 得

(24)

z(k)→z(0).

(25)

由式(5),(25)及μ*=1得

y(k)→y(0).

(26)

由式(3),(26)條件(H1)和μ*=1, 得

x(k)→x(0).

(27)

式(25)～(27)與{(x(k),y(k),z(k))}無界矛盾. 因此,Γw(0)為有界光滑曲線.

證明: 由定理1和定理2知,Γw(0)為有界光滑曲線. 由一維流形分類定理知,Γw(0)或者微分同胚單位圓周, 或者微分同胚單位區間(0,1]. 而

且

非奇異, 因此Γw(0)只能微分同胚單位區間. 令(w(*),μ*)為Γw(0)的極限點, 則可能出現以下4種情形: