弱(下)鞅的最小值不等式

高玉峰, 馮德成

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與預備知識

設本文的隨機變量均定義在概率空間(Ω,A,P)上. 記x+=max{x,0},IA表示集合A的示性函數.

定義1[1]設X1,X2,…,Xn,…是一列L1隨機變量, 如果滿足

Cov(f(X1,…,Xn),g(X1,…,Xn))≥0,

其中f和g是n上任意兩個分量不減的函數且使得上述協方差有意義, 則稱隨機變量{Xi,i≥1}是相協的(positively associated, PA).

定義2[2]設{Sn,n≥1}是一列L1隨機變量, 如果對任意的j≥1, 有

E{(Sj+1-Sj)f(S1,…,Sj)}≥0,

其中f是任意分量不減的函數且使期望有意義, 則稱{Sn,n≥1}是一個弱鞅. 進而, 若f是非負函數, 則稱{Sn,n≥1}是一個弱下鞅.

由相協隨機變量的定義知, 均值為零的相協隨機變量序列的部分和是一個弱鞅. 研究表明, 具有自然σ-域的鞅是弱鞅, 具有自然σ-域的下鞅是弱下鞅. 所以, 弱鞅和弱下鞅是較鞅和下鞅更廣泛的序列. Wood[3]給出了弱鞅的很多經典性質; Christofides[4]構造了PA序列的U-統計量, 并將其推廣到弱鞅序列; Hu等[5]研究了弱鞅的Marshall型不等式; Wang等[6]在凹Young函數的基礎上, 建立了關于弱鞅的一些最大值不等式; Dai等[7]建立了弱鞅的最大值不等式; 張丹丹等[8]和馮德成等[9]分別建立了不同的弱鞅最小值不等式. 受上述結果啟發, 本文利用弱鞅的性質, 結合凸函數及示性函數, 給出一類弱鞅的最小值不等式.

引理1[10]設{Sn,n≥1}是一個弱鞅或弱下鞅, 如果f是一個非降凸函數, 則{f(Sn),n≥1}是一個弱下鞅.

引理2[10]設{Sn,n≥1}是弱鞅,S0=0, 則對任意的ε>0, 有

2 主要結果

設g是上的一個凸函數,g的左導數定義如下:

因此,h是一個不減的函數, 且有g(y)-g(x)≥(y-x)h(x).

定理1設{Sn,n≥1}是非負弱(下)鞅,S0=0,g(·)是上的一個不減凸函數, 且滿足g(0)=0, {cn,n≥1}是一負的、 不增的實數列, 則對任意的ε>0, 有

A1={c1g(S1)≤-ε},Aj={cig(Si)>-ε, 1≤i

當i≠j時,Ai∩Aj=?, 且IA2=IA1∪A2-IA1. 由于{cn,n≥1}不增, 因此有

注意到

E[(g(S2)-g(S1))IA1]≥E[(S2-S1)h(S1)IA1],

因為h(S1)IA1是關于S1的非負不減函數, 因此由弱(下)鞅的定義可知,

E[(S2-S1)h(S1)IA1]≥0,

從而

E[(g(S2)-g(S1))IA1]≥0.

又因為{cn,n≥1}是負值, 因此有

c2E[(g(S2)-g(S1))IA1]≤0.

于是可得

注意到

E[(g(S3)-g(S2))IA1∪A2]≥E[(S3-S2)h(S2)IA1∪A2],

因為

A1∪A2={min{c1g(S1),c2g(S2)}≤-ε},

h(S2)IA1∪A2是非負的, 且關于{S1,S2} 的每個分量均不減的函數, 因此, 有

E[(S3-S2)h(S2)IA1∪A2]≥0,

從而

E[g(S3)-g(S2)IA1∪A2]≥0.

(3)

由式(2)和式(3)及{cn,n≥1}是負值, 有

重復上述步驟, 可得

因為

E[(g(Sn)-g(Sn-1))IA1∪A2∪…∪An-1]≥E[(Sn-Sn-1)h(Sn-1)IA1∪A2∪…∪An-1],

且

A1∪A2∪…∪An-1={min{c1g(S1),c2g(S2),…,cn-1g(Sn-1)}≤-ε},

所以h(Sn-1)IA1∪A2∪…∪An-1是非負的, 且關于{S1,S2,…,Sn-1}的每個分量均不減的函數. 又因為{Sn,n≥1}是非負弱(下)鞅, {cn,n≥1}是一負的、 不增的隨機變量序列, 故

cnE[(Sn-Sn-1)h(Sn-1)IA1∪A2∪…∪An-1]≤0.

(5)

結合式(4)和式(5), 可得εP(A)≤-cnE(g(Sn)IA). 證畢.

在定理1中, 令g(x)=x可得:

推論2設{Sn,n≥1}是非負弱(下)鞅,S0=0, {cn,n≥1}是一負的、 不增的實數列, 則對任意的ε>0, 有

在定理1中, 若取g(x)=x+, 則g(x)是一個非負的凸函數, 從而可得:

推論3設{Sn,n≥1}是非負弱(下)鞅,S0=0, 且{cn,n≥1}是一負的、 不增的實數列, 則對任意的ε>0, 有

定理2設{Sn,n≥1}是非負弱鞅,S0=0, {cn,n≥1}是一負的、 不減的實數列, 則對任意的ε>0, 有

A1={c1S1≤-ε},Aj={ciSi>-ε, 1≤i

因為IA1是關于S1的非負不減函數, 由弱鞅的定義可知,E[(S2-S1)IA1]≥0, 注意到{cn,n≥1}是負值, 則有c2E[(S2-S1)IA1]≤0. 又由弱鞅的定義可知,ES1=ESn(n≥1). 所以, 可得

因為A1∪A2={min{c1S1,c2S2}≤-ε},IA1∪A2是非負的, 且關于{S1,S2}的每個分量均不減的函數, 因此, 有E[(S3-S2)IA1∪A2]≥0. 又{cn,n≥1}是負值, 則有c3E[(S3-S2)IA1∪A2]≤0. 從而

重復上述步驟, 可得

εP(A)≤-c1E(S1)+cnE(SnIAc).

證畢.

類似定理1, 可得下列結論.

定理3設{Sn,n≥1}是非正弱鞅,S0=0, {cn,n≥1}是一正的、 不減的實數列, 則對任意的ε>0, 有

在定理3中, 令ck恒為1,k≥1, 可得:

推論4設{Sn,n≥1}是非正弱鞅,S0=0, 則對任意的ε>0, 有

定理4設{Sn,n≥1}是弱鞅,S0=0, 則對任意的ε>0, 有

所以

從而

證畢.