β-Laguerre隨機矩陣最大特征值精確漸近性的一般結果

高云峰, 譚希麗

(1. 吉林農業科技學院 文理學院, 吉林 吉林 132101; 2. 北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結果

隨機矩陣特征值在格子氣理論與統計力學等領域應用廣泛.β-Laguerre總體[1]是隨機矩陣特征值的研究熱點之一, 其聯合密度函數為

其中:λi>0;β>0;m+1>n;Zn,β為正則化常數. 其最大特征值記為λmax(Lβ),Lβ表示β-Laguerre總體下的隨機矩陣. 關于隨機矩陣特征值的研究最早主要集中在β=1,2,4的特殊情形下, 其最大特征值收斂到經典的Tracy-Wisdom分布. 之后, 文獻[1-7]得到了任意β>0情形下的結果, 此時最大特征值的極限分布為廣義βTracy-Wisdom(簡稱為TWβ)分布. 由于TWβ的分布函數和密度函數不能用簡單的初等函數表示, 因此, 文獻[7]通過隨機變分原理給出了TWβ的定義：

假設條件:

(H1)g(x)為[n0,∞)上具有非負導數g′(x)的正值可導函數, 且g(x)↑∞,x→∞;

本文主要結果如下:

定理1假設m+1>n,m/n→γ≥1. 如果假設條件(H1),(H2)成立, 則對于s>0,β≥1, 有

(1)

如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 則對于s-1>p≥0,β≥1, 有

(2)

(3)

其中：TWβ為服從廣義βTracy-Wisdom分布的隨機變量;

定理2假設m+1>n,m/n→γ≥1, 如果假設條件(H1),(H3),(H5)成立, 則對于p≥0,β≥1, 有

(4)

注1滿足假設條件(H1)～(H5)的g(x)有很多, 如g(x)=xα, (logx)β, (loglogx)γ等, 其中α>0,β>0,γ>0為適當的參數.

注2廣義βTracy-Wisdom分布的任意階矩存在.

2 定理的證明

引理1[7]假設m+1>n,m/n→γ≥1, 則對于任意的β>0, 有

令Fβ(·)為TWβ的分布函數, 則對于充分大的a, 有

引理2[6]對任意的c1n≤m≤c2n,c2≥c1≥1, 0<ε≤1,β≥1, 有

令a(ε)=[g-1(Mε-1/s)], 其中g-1(x)為g(x)的反函數,M≥1.

類似文獻[14]中命題5.1的證明可得:

命題1在定理1的假設條件下, 如果假設條件(H1),(H2)成立, 則有

如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 則有

命題2在定理1的假設條件下, 如果假設條件(H1),(H2)成立, 則有

證明: 令

(5)

由引理1可知, 當n→∞時,Δn→0. 又由g′(x)的單調性及Toeplitz引理[15]可知, 結論成立.

命題3在定理1的假設條件下, 如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 則對于p>0, 有

(6)

證明: 顯然, 有

其中:

Δn定義如式(5). 根據引理1, 當n→∞時,Δn→0. 首先估計Δn1. 由于n≤a(ε)即εgs(n)≤Ms, 從而有

其次估計Δn3. 由引理1, 可知

最后估計Δn2. 由引理2, 注意到p>0和εgs(n)≤Ms, 有

因此由式(8)～(10), 可得

Δn1+Δn2+Δn3→0,n→∞.

(11)

于是由式(7)、φ(x)的單調性及Toeplitz引理[15], 可知式(6)成立. 證畢.

命題4在定理1的條件下, 如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 則對于p>0, 有

證明: 注意到s-1>p>0, 由引理1和引理2有

類似命題4的證明可得：

命題5在定理1的條件下, 如果假設條件(H1),(H2)成立, 則有

2.1 定理1的證明

由命題1、 命題2和命題5可知式(1)成立， 由命題1、 命題3和命題4可知式(2)成立. 當s-1>p>0時, 由于

故要證明式(3)成立, 只需證明式(1)及

(12)

成立即可, 從而定理1得證.

2.2 定理2的證明

定理2的證明與定理1的證明類似, 故略.