具有Laplace邊際分布的二元自回歸模型的統計推斷

陳 晉, 王德輝

(1. 吉林建筑大學城建學院 基礎科學部, 長春 130114; 2.吉林大學 數學學院, 長春 130012)

目前, 關于隨機系數模型的研究已有很多結果, 例如： NEAR(2)(new exponential autoregressive process of second-order)模型[1], 邊際分布是指數分布, 可用于建模正值和高偏度的數據； 與NEAR(2)模型具有相似結構的NLAR(2)(new Laplace autoregressive process of second-order)模型[2], 可用于建模具有大峰度和長尾特征的數據. 兩類模型目前均已推廣到了p階. 文獻[3]給出了NLAR(p)模型的參數估計方法； 文獻[4-5]研究了一階隨機系數自回歸過程的極限理論和隨機系數的相依性檢驗問題. Dewald等[6]基于TEAR(2)(the exponential autoregressive process of second-order)模型提出了二元時間序列模型BEAR(1)(bivariate autoregressive time series model in exponential variables)模型, 用于建模復雜系統中有相關影響的二元正值序列； 文獻[7]研究了多元隨機系數自回歸模型中參數的一類估計問題. 為了建模具有大峰度和長尾特征的相關二元序列, 本文考慮如下具有Laplace邊際分布的二元自回歸模型:

(1)

1 過程的性質

假設{Xt}={(Xt,Yt)′}的觀測值是可取的, 則模型(1)可寫成如下向量形式的隨機系數模型：

Xt=AtXt-1+Wt,

(2)

(3)

2 參數的估計

若記vech(G)=N+M,Σ=Σ0+Λ, 其中:N=(2,0,2)′;M=(-2σ11-2σ12,0,-2σ21-2σ22)′=Wvec(σ);

Λ=diag{σ11,σ21,σ12,σ22}, vech(Λ)=Lvec(σ),L=(e1,0,0,0,e2,0,0,e3,0,e4)′,

{ei}(1≤i≤4)為4中的第i個單位向量,0為四元零向量. 則有

vec(σ)+gt,

(4)

(5)

下面給出方程(5)估計量的強相合性和極限分布.

?G+U-1[E(UtΣUt)]U-1),

(6)

3 數值模擬及實例分析

對于上述模型, 本文通過數值模擬分析其條件最小二乘估計的性質和效果. 考慮下列兩組參數組合:θ=(α11,α21,α12,α22,β11,β21,β12,β22)=(0.4,0.25,0.5,0.25,0.6,0.5,0.7,0.5),(0.4,0.25,0.5,0.25,-0.6,-0.5,0.7,0.5), 分別記為θ1，θ2. 樣本量的取值分別為n=200,500,1 000,10 000, 重復模擬100次. 表1列出了兩組參數下模型的條件最小二乘估計結果. 當樣本量為n=200,500,1 000時, 參數θ的估計值易超出允許的范圍, 本文對該類估計做了修正. 由表1可見, 隨著樣本量的增大, 均方誤差(MSE)不斷減小, 表明條件最小二乘估計是相合的、 無偏的, 且在大樣本情形, 所有參數估計都有一致好的趨勢.

下面考慮2017-10-11--2018-08-30每天中國聯通股票的收盤價, 原始數據記為Xt(t=1,2,…,215). 用日回報率Zt=100(ln(Xt-lnXt-1))分析{Xt}, {Zt}可用Laplace分布擬合. 用模型(2)和文獻[11]中簡化的新Laplace AR(1)模型擬合序列Zt(t=1,2,…,215), 考慮中國移動股票的收盤價對中國聯通股票收盤價的影響. 采用均方根

表1 不同樣本量下數值模擬的參數估計Table 1 Parameter estimation of numerical simulation under different sample sizes