具有指數型二分性離散系統的反周期解

孟 鑫

(吉林師范大學 數學學院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

指數型二分性理論是研究非線性微分方程以及非自治離散動力系統的重要工具， 在微分方程[1-3]和離散動力系統[4-7]中應用廣泛. 動力系統的周期性與反周期性密切相聯, 反周期問題常應用于物理、 偏微分方程和抽象微分方程的研究中. 目前, 反周期系統的反周期解問題已引起人們廣泛關注[8-13]. 但關于離散動力系統反周期解的存在唯一性結果文獻報道較少.

當a,b∈且a

x(n+1)=F(n,x(n)),

(1)

若存在正整數N, 使得對任意n∈,x∈d, 有F(n+N,x)=-F(n,-x), 則稱系統(1)為N-反周期系統. 其中:x:→d;F:×d→d. 若系統(1)的解x(n)滿足x(n+N)=-x(n), 則稱x(n)為系統(1)的N-反周期解.

本文考慮非線性離散N-反周期系統

x(n+1)=A(n)x(n)+g(n,x(n))

(2)

的反周期解, 其中:x:→d;A:→d×d,A(n+N)=A(n)；g:×d→d,g(n+N,x)=-g(n,-x). 借助指數型二分性理論及Banach不動點定理, 給出系統(2)的N-反周期解存在唯一的充分條件, 并給出應用實例.

1 預備知識

對于線性系統

x(n+1)=A(n)x(n),

(3)

設Φ(n)是系統(3)的基本解矩陣, 且滿足Φ(0)=I. 若存在投影P及常數K,α>0, 使得

|Φ(n)PΦ-1(m)|≤Ke-α(n-m),n≥m,

|Φ(n)(I-P)Φ-1(m)|≤Ke-α(m-n),m≥n,

則稱系統(3)具有指數型二分性. 其中:A:→d×d;x:→d.

命題1設N是正整數, 若Φ(n)是系統(3)的基本解矩陣, 且A(n+N)=A(n), 則Φ(n+N)也是系統(3)的基本解矩陣, 且對任意m,n∈, 有

Φ(n+N)PΦ-1(m+N)=Φ(n)PΦ-1(m),

Φ(n+N)(I-P)Φ-1(m+N)=Φ(n)(I-P)Φ-1(m).

證明: 由detΦ(n)≠0,Φ(n+1)=A(n)Φ(n)可知,

detΦ(n+N)≠0,

Φ(n+N+1)=A(n+N)Φ(n+N)=A(n)Φ(n+N),

故Φ(n+N)也是系統(3)的基本解矩陣, 于是存在非奇異常矩陣C0∈d×d, 使得

Φ(n+N)=Φ(n)C0,n∈.

因此,

設N是正整數, 考慮N-反周期系統:

x(n+1)=A(n)x(n)+f(n),

(4)

其中:A:→d×d,A(n+N)=A(n)；f:→d,f(n+N)=-f(n).

命題2設系統(3)具有指數型二分性,A(n+N)=A(n),f(n+N)=-f(n), 則

是系統(4)的一個N-反周期解.

證明: 顯然x(n)是系統(4)的解. 因為f(n+N)=-f(n), 所以根據命題1, 有

因此x(n+N)=-x(n), 表明x(n)是系統(4)的N-反周期解.

2 主要結果

設N是正整數, 考慮非線性離散N-反周期系統(2)反周期解的存在性. 設

X={x(n):x(n+N)=-x(n),n∈},

其中x:→d. 定義X上的范數為則(X,‖·‖)為Banach空間.

定理1設線性系統(3)關于投影P及常數K,α>0具有指數型二分性, 且A(n+N)=A(n). 對任意n∈,x,y∈d, 有g(n+N,x)=-g(n,-x), 并滿足|g(n,x)-g(n,y)|≤L|x-y|, 其中常數L滿足則系統(2)有唯一的N-反周期解.

證明: 考慮N-反周期系統

x(n+1)=A(n)x(n)+g(n,y(n)).

(5)

因為線性系統(3)關于投影P及常數K,α>0具有指數型二分性, 因此根據命題2, 系統(5)存在解

類似命題2, 對任意n∈, 當y(n+N)=-y(n)時,x(n+N)=-x(n).

定義映射T:X→X為

則T的不動點即為系統(2)的N-反周期解. 對任意y1,y2∈X, 有

對任意n∈[0,N-1], 有

另一方面, 有

因此,

從而T是X上的壓縮映射. 根據Banach不動點定理, 映射T有唯一不動點, 從而系統(2)有唯一的N-反周期解.

x(n+1)=Ax(n)+g(n,x(n))

(6)

存在唯一的N-反周期解.

當m≥n時, 有

因此系統x(n+1)=Ax(n)具有指數型二分性.

易見對任意n∈,x,y∈2, 有g(n+N,x)=-g(n,-x), 且

即L=2/15, 故0