數(shù)列求和熱點題型“再回首”

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

數(shù)列求和是高考每年必考內(nèi)容,主要涉及等差、等比數(shù)列求和,裂項相消法求和,錯位相減法求和及分組法求和等,考查同學們對基礎知識的掌握及解決問題的能力,難度中等。以下幾類熱點題型同學們應特別關注。

題型一 分組轉(zhuǎn)化法求和

將數(shù)列中的每一項分拆成幾項,然后重新分組,將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題,我們將這種方法稱為分組轉(zhuǎn)化法求和法,運用這種方法的關鍵是通項合理變形。

例1(2018·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和,n∈N*。

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項和。

解析：(1)當n=1時,a1=S1=1;

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-

n=1時,a1也滿足an=n,故數(shù)列{an}的通項公式為an=n。

(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn。

記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)。

記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,則：

A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n。

故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2。

點評：用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：

(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用此法求{an}的前n項和;

(2)數(shù)列通項公式為an=中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用此法求和。

【變式訓練1】(2018·深圳調(diào)研)已知函數(shù)f(n)=且an=fn+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( )。

A.0 B.100

C.-100 D.10200

參考答案：B。

題型二 錯位相減法求和

(1)如果一個數(shù)列的每項都由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項乘積組成,此時可采用錯位相減法求和。

(2)運用錯位相減法求和,一般和式比較復雜,運算量較大,易會不易對,應特別細心,解題時若含參數(shù),要注意分類討論。

例2(2018·阜陽調(diào)研)設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100。

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

(2)當d＞1時,記,求數(shù)列{c}n的前n項和Tn。

解析：(1)由題意得解得

(2)由d＞1,知an=2n-1,bn=2n-1。故,于是：

Tn=。①

點評：用錯位相減法求和時,應注意：

(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形;

(2)在寫“Sn”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-”的表達式;

(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應分公比等于1和不等于1兩種情況求解。

【變式訓練2】(2017·衡水中學調(diào)研卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=6,S5=,則 數(shù) 列的前n項和為( )。

參考答案：B。

題型三 裂項相消法求和

裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項拆成兩項或多項,使這些拆開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消,看有幾項沒有抵消掉,從而達到求和的目的。

例3(2018·梅州質(zhì)檢)已知正項數(shù)列{an},a1=1,點()(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖像上,數(shù)列{bn}的前n項和Sn=2-bn。

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

解析：(1)因為點(,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖像上,所以an+1=an+1,數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列。

因為a1=1,所以an=1+(n-1)×1=n。

因為Sn=2-bn,所以Sn+1=2-bn+1。

兩式相減,得：

bn+1=-bn+1+bn,即。

由S1=2-b1,得b1=2-b1,b1=1。

故數(shù)列{bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列。

(2)l o g2bn+1==-n,因此,cn=。

故Tn=c1+c2+…+cn=

【變式訓練3】(2018·南昌調(diào)研)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,任意n∈N*,2Sn=+an。令設{bn}的前n項和為Tn,則在T1,T2,T3,…,T100中有理數(shù)的個數(shù)為

參考答案：9。