列談目的性在基本不等式解題中的運用

■安徽省無為縣牛埠中學 朱小扣

通過對基本不等式的學習,同學們大多理解了“一正,二定,三相等”的含義,但做題時仍可能會出錯。遇到不等式題時,有時也可能會手足無措。這主要是忽略了不等式放縮具有目的性的原則,下面我們對放縮的目的性做初步探討,以期給同學們帶來幫助。

一、目的性初探

例1已知正數a,b滿足a b=a+9b+7,則：

(1)a b的最小值是

(2)a+9b的最小值是

解：(1)a b=a+9b+7≥2+7,即a b-67≥0。

(2)a+9b+7=,即(a+9b)2-36(a+9b)-7×36≥0。

分解因式得[(a+9b)-42]·[(a+9b)+6]≥0。

故a+9b≥42,當且僅當a=9b即a=21,b=時取等號。

點評：在(1)中求a b的最小值,需要把不是a b的形式放縮成a b的形式;在(2)中需要把不是a+9b形式的全放縮成a+9b的形式。不等式的放縮必須具有目的性,這樣才能使問題順利解決。

二、目的性在三角形中的應用

例2已知直角三角形的周長為1,求此三角形面積的最大值。

解：設兩直角邊為a,b,則問題轉化為在a+b+=1的條件下,求a b的最大值。

由1=a+b+得。

點評：此題若用三角函數或其他方法求解的話,都比較麻煩,而采用上述解法,則比較簡單。求解本題,一方面可以說明基本不等式的重要性,另一方面從解法上看可以發現放縮必須具有目的性。

三、利用目的性破解二次最值問題

例3已知x,y∈R,且5x2-4x y-y2=5,則2x2+y2的最小值是

解：(5x+y)(x-y)=5,令5x+y=t,則x-y=,聯立得

故2x2+y2=2×,當且僅當時取等號。

點評：對此題,只有有目的地令5x+y=t,才能應用基本不等式去求解。采用類似方法,可以解決“2x2+y2=1,求5x2-4x y-y2的最值”之類的問題。

四、利用目的性整合變量

例4設兩個不相等的正數a,b滿足a3-b3=a2-b2,求證：1＜a+b＜。

解：由a3-b3=a2-b2,得(a-b)(a2+a b+b2)=(a-b)(a+b),a2+a b+b2=a+b。

故(a+b)2-(a+b)=a b∈(a≠b,故取不到等號)。

所以0＜(a+b)2-(a+b)＜。

故1＜a+b＜。

點評：求解此題時,先對凌亂的條件進行化簡,再對所得到的式子有目的地整合變量,即把a+b當成一個整體,從而使得問題順利解決。

五、利用目的性合理配湊

例5已知正數a,b滿足2a2+3b2=4,則的最大值是

解：,當且僅當3b2=2+2a2=3時取等號。

六、利用目的性待定求解

例6(2017年河北廊坊高三測試題)設正數x,y滿足恒成立,則實數a的最小值是

解：由題意知,只需求即可。

因為x+2y=m x+(1-m)x+2y≥m x+2,令m∶2)=1∶1,解得m=-4,于是,x+2y≥()()。

點評：有目的地運用基本不等式,結合待定系數法,能極大地推廣基本不等式的應用范圍。

七、利用目的性合理猜想

例7(數學通訊問題333)已知正數a,b滿足a3b2(a+b)=24,試求P=11a+14b的最小值。

解：P=11a+14b=2(a+b)+3a+3a+3a+6b+6b

上式當且僅當2(a+b)=3a=6b即a=2,b=1時取等號。

點評：上述解法看似讓人摸不著頭腦,但實際過程卻是很簡單：利用a3b2(a+b)=24,可猜想a=2,b=1時取等號。而當a=2,b=1時,a+b=a=3b=3,結合待定系數法,使得問題順利求解,這進一步可以說明目的性的重要性。

總結：思維不僅需要發散,有時更需要聚合。利用基本不等式時必須要有目的性,只有做題有方向性,才能使問題順利求解,才能事半功倍。這就像證明數列不等式時,人們常說的“放縮的目的是為了求和”一樣。希望本文能給同學們帶來幫助。