一道二元最值問題的“四解、二變”

■河南省鄭州工業應用技術學院 鄭素芳

二元最值問題是多元最值問題中最基本的題型,但是同學們在處理這類問題時常常感到比較棘手,一來思路受阻,二來容易出錯,究其原因是對這類問題的結構特征、變化規律以及解題技巧沒有掌握。對此,本文對一道二元最值問題從四種解法、二個變式的視角加以探究,供同學們學習時參考。

題目已知正實數a,b滿足2a+b=1,則的最小值是

一、四種解法

(一)常規解法

所求式是由兩個分子與分母都是一次的分式組成,所以容易想到用方程思想求解。

解法1：先減元,后用判別式。

去分母后,整理得：

(3t-5)b2+(4t-2)b+t-1=0。

若3t-5=0,即時,由上式可得,與已知條件b是正實數相矛盾,所以3t-5≠0。因此,Δ=(4t-2)2-4(3t-5)·(t-1)≥0,整理得t2+4t-4≥0。由此可得,所以t-,即得,故的最小值是

點評：按照上述方法,如果將b=1-2a代入后,則得到的方程是(3t-5)a2+(6-5t)a+2(t-1)=0。當3t-5=0時,可得a=,此時b=,不符合題意。因此,3t-5≠0,以下解題過程同上。

如果不用判別式法,那么用常用的解題工具——基本不等式,行不行呢?

解法2：先變形后用基本不等式。

點評：在解法2中,由于使用了“1”的代換技巧,使得變形過程中出現了分子與分母都是齊次的分式,為下面的變形得到搭建了平臺,從而使基本不等式的應用水到渠成。

(二)優美解法

解法3：由已知條件及基本不等式,可得：

如果第二項的分母不變,而改變第一項的分母,行不行呢?

解法4：由已知條件及基本不等式,可得：,當且僅當時等號成立。

點評：比較上述四種解法,前兩種解法比較復雜,但是通解通法,屬于基礎層面,后兩種解法十分簡捷,但卻需要抓住問題式的結構特征,對同學們的觀察能力具有較高的要求,因此屬于能力層面。希望同學們在數學解題中,思維不能僅僅停留在通解通法的基礎層面,還要加強對優美解法的能力訓練,不斷提升數學解題素養。

二、二個變式

1.等差換元。由已知條件知,2a,,b成等差數列,由此可設x,則代入原問題整理后,可得：

變式1已知,則的最小值是

解：由已知條件可知,5-6x＞0,3-2x＞0。由基本不等式可得：

點評：變式1是將原來的二元最值問題轉化為一元最值問題,如果按照習慣性思維,采用判別式法求解,則要復雜一些,但利用分子與分母的結構特征,用“添項法”處理卻十分簡捷。

2.適當升冪。將分子中的變a為a2,b變為b2,同時對第二項的分母作“微調”處理,可得：

變式2已知正實數a,b滿足2a+b=1,則的最小值是

解：由已知條件及柯西不等式,可得：

當且僅當2a=b時等號成立。