兩道導數試題的解法對比

■河南省信陽市第六高級中學 余運虎

導數是高考考查的熱點問題,一般通過利用導數研究函數的單調性、極值、最值來研究參數的范圍,對于一些更難求解的問題則需要構造新函數來研究導函數,進而確定函數的相關性質。本文對兩道相關試題的不同解法進行分析,以便從一題多解的比較中給大家呈現問題。

一、題目呈現及解析

例1 已知函數f(x)=xe-x。

(1)求函數f(x)的單調區間和極值;

(2)已知函數g(x)的圖像與f(x)的圖像關于直線x=1對稱,證明:當x＞1時,f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2。

分析：先利用導數求函數的單調區間和極值,然后由對稱性求g(x)的解析式,構造函數h(x)=f(x)-g(x),再由單調性判斷h(x)的正負。第(3)問是第(2)問的延續,這也是此題的巧妙之處。由f(x)的圖像特點判斷x1,x2位于1的兩側,則x2與2-x1位于同一個單調區間內,進而由函數值的大小判斷自變量的大小。也可化x1、x2兩個量為一個量,進而求函數的最值。

解：(1)由題知f'(x)=e-x(1-x),則f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上

(2)由對稱性可知g(x)=f(2-x),構造函數h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2-x),其中x＞1,則h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)(ex-2-e-x),當x＞1時,x-1＞0,ex-2-e-x＞0,所以h'(x)＞0,則h(x)在(1,+∞)上單調遞增,故h(x)＞h(1)=0,即f(x)＞g(x)。

(3)方法一:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。可設x1＜1＜x2,所以f(x2)＞f(2-x2)。又由f(x1)=f(x2)得f(x1)＞f(2-x2),又因為x1＜1,2-x2＜1,f(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x1＞2-x2,即x1+x2＞2。

方法二:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。可設x1＜1＜x2,由f(x1)=f(x2)得x1e-x1=x2e-x2,兩邊同時取對數得l nx1-g(t)＞g(1)=0,得證。

點評:該題由易到難,層層遞進,環環相扣,題面簡潔,思想豐富。本題的亮點在于如何利用第(2)問的結論解決第(3)問,如果沒有第(2)問,方法一是不太好想的,巧妙利用對稱構造新函數,把不在同一個單調區間的x1,x2轉化到同一個單調區間,進而利用單調性比較大小;而在方法二的思路中關鍵是怎樣將兩個量用一個量把x1+x2表示出來,再利用關于這個量的函數求x1+x2的最值與2的大小關系,此種方法的關鍵是合理地代換消元,化兩個變量為一個變量。

二、相似試題比較

例2 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2。

分析：首先,含有兩個零點的連續函數的圖像可能是二次型的(極大值為正或極小值為負)或者三次型的(極大值或極小值同號)。第(Ⅱ)問的結論跨度相對較大,其實通過第(Ⅰ)問判斷了函數的單調減區間為(-∞,1),單調增區間為(1,+∞),可構造函數g x()=f2-x( ),它與f x()關于x=1對稱,進而利用單調性的定義比較大小。

解：(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)若a=0,f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點。

(2)若a＞0,則當x∈(-∞,1)時,f'(x)＜0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0。故f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。又f(1)=-e,f(2)=a,取b個零點。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(Ⅱ)方法一:不妨設x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),則2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調遞減。

構造函數h(x)=f(x)-f(2-x),則h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(exe2-x)。所以當x＞1時,h'(x)＜0,而h(1)=0,故當x＞1時,h(x)＜0。所以h(x1)=h(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

方法二:由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0可得a(x-1)2=(2-x)ex,取對數得l na+2 l n(x-1)=l n(2-x)+x,即l na=l n(2-x)+x-2 l n(x-1)。由f(x1)=f(x2)=0得l na=l n(2-x1)+x1-2 l n(x1-1)=l n(2-x2)+x2-2 l n(x2-1),此時令……

點評:對于第(Ⅱ)問,方法一的對稱構造相對來說較難思考;方法二在化兩個量為一個量時遇到了阻力。我們在找通式通法的時候也不要忘記沒有任何一種方法是萬能的,只有界定好其使用的條件及需要注意的問題,才能更好地應用。多掌握幾種方法,通過一題多解、一題多變來界定各種方法的適用范圍才能更好地解題。

三、小結

學習數學的目的在于解題,用什么方法能順利解決問題是最務實的,更是數學綜合能力的體現。一題多解可以使思維更加靈活,有利于發散思維的培養和知識技能的挖掘,也是能用最巧妙的方法快速解題的前提條件。不同的方法也展示了不同層次的思維水平,這也是高考實現試題選拔功能的策略之一。

但一題多解少了普適性和指導性,平時的做題中我們更應該注意的是總結歸納。注重通式通法、多題一解的對比研究,這樣才能讓我們在題海中游刃有余,事半功倍。因此我們要在利用多種方法尋求解題的通性通法上,同時兼顧化歸和轉換的思想,從變的現象中發現不變的本質,從不變的本質中尋求變的規律。