聚焦數列與不等式交匯題型

賀萬一

(安徽省宿州市宿城一中 234000)

知識的交匯點是高考試題命題的熱點，因此立足學科素養，聚焦知識交匯，是至關重要的.本文以數列與不等式的交匯為背景，研究了四種交匯題型，希望能夠給學生們帶來啟示和幫助.

一、恒成立問題

例1 已知數列an的前n項和Sn滿足：Sn=t(Sn-an+1)(t為常數,且t≠0,t≠1)．

(1)求an的通項公式；

解析(1)當n=1時,S1=t(S1-a1+1),得a1=1．當n≥2時,由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t①，得(1-t)Sn-1=-tan-1+t②.

點評求解數列與不等式結合恒成立條件下的參數問題時，可采用分離參數進行求解.通過分離參數后可得m≥f(x)或m≤f(x)恒成立.此時即求m≥f(x)max或m≤f(x)min.

二、證明問題

例2 數列an滿足a1=1，an+1=3an+2n．

(1)求證數列an+2n是等比數列；

解析(1)由an+1=3an+2n，有an+1+2n+1=3(an+2n)，又a1+2=3，所以an+2n是以3為首項，3為公比的等比數列.

點評數列中的不等式證明問題，可采用比較法、分析法與綜合法、放縮法等.在近年的數列考查中，難度一般不大.

三、不等式有解問題

例3 已知等差數列an滿足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數列.

(1)求a2，a5的值；

(2)記Sn為數列an的前n項和，是否存在正整數n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.

解析(1)設數列an的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成等比數列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化簡得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

當d=0時，an=2，a2，a5的值均為2；當d=4時，an=2+(n-1)·4=4n-2，則a2=6，a5=18.

(2)當an=2時，Sn=2n. 顯然2n<60n+800，此時不存在正整數n，使得Sn>60n+800.

綜上，當an=2時，不存在滿足題意的n；當an=4n-2時，存在滿足題意的n，且其最小值為41.

點評不等式有解問題，同函數不等式的有解問題一樣，實質也是最值問題.因此可以利用轉化思想，考慮數列的單調性，即可破解.

四、新定義題型

(1)若數列an的通項公式為an=2n,且具有性質P(t),則t的最大值為____；

故t的最大值為2.

點評高考數學創新題型是通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創設全新的問題情景.解決此類問題弄清楚題目所給的新概念、新運算、新模型的含義至關重要，再根據題目要求,運用所學知識基本可以順利求解.