核心素養(yǎng)視角下離心率試題的命制與評價

李金聰

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是衡量數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，也是數(shù)學(xué)教育改革的指揮棒，它是指數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面的學(xué)科素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括三個方面、六個關(guān)鍵詞：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，

離心率在橢圓、雙曲線問題中有著重要應(yīng)用，它的變化會直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化，有關(guān)求解橢圓、雙曲線離心率的試題，在歷年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，此類試題體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，本文僅以“圓錐曲線離心率的試題命制與評價”為例，談?wù)劇霸鯓釉谠囶}命制過程中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查”和“怎樣用核心素養(yǎng)的觀點分析評價試題”。

1母題呈現(xiàn)

命題意圖考查雙曲線的定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

小結(jié)求解橢圓或雙曲線的離心率問題，主要有三種方法：

試題評價 試題平和，貼近考生，難度中等，區(qū)分度高，符合《課標(biāo)》和考綱要求，檢測功能強;“教、學(xué)、考”結(jié)合好，充分體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向性，質(zhì)量較高。

2變式命制

命題意圖考查橢圓的定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

試題評價 預(yù)測難度0.60，適應(yīng)學(xué)科成績中等考生，試題通過類比法命制，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和應(yīng)用性，試題設(shè)問及解答過程中涉及類比推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

命題意圖 考查雙曲線定義和離心率的求解，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

試題評價 預(yù)測難度0.65，適應(yīng)學(xué)科成績中等考生或文科考生。試題的解答簡潔，是對于問題的本質(zhì)認識，突出培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和應(yīng)用性。

命題意圖 考查橢圓的定義、范圍、離心率、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程思想，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

小結(jié) 求離心率取值范圍的關(guān)鍵是尋找不等關(guān)系，它涉及到解析幾何、平面幾何、平面向量、不等式等多個知識點，綜合性強，方法靈活，解題關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件（如曲線的范圍、平面幾何性質(zhì)等），構(gòu)造不等式，引領(lǐng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)化的思考，心中有形，以數(shù)解形，心中有數(shù)，以形助數(shù)。

試題評價 預(yù)測難度0.55，適應(yīng)成績中上考生，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，考查基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、焦點三角形的面積、三角函數(shù)或平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程的思想以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

試題評價 預(yù)測難度0.45，適應(yīng)成績優(yōu)秀考生，因為圖形中蘊含著數(shù)量關(guān)系，以數(shù)解形，彰顯數(shù)學(xué)價值，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性，法1聯(lián)想三角形面積，滲透函數(shù)與方程的思想;法2轉(zhuǎn)化為存在交點問題，滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想，開拓學(xué)生的解題思路，體現(xiàn)較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、三角函數(shù)、正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

試題評價 預(yù)測難度0.50，適應(yīng)成績優(yōu)秀考生，運用數(shù)與形結(jié)合的觀點去考慮“形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化，借助正弦定理，化繁為簡，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。

命題意圖 考查雙曲線的定義、離心率、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

試題評價 預(yù)測難度0.40，適應(yīng)選拔高素質(zhì)人才的需要，試題命制融合了解析幾何、平面幾何與均值不等式，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性。

命題意圖 考查雙曲線通徑、離心率的應(yīng)用和三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，考查數(shù)學(xué)探究意識。

試題評價預(yù)測難度0.45，適應(yīng)選拔高素質(zhì)人才的需要，將解析幾何與平面幾何、三角函數(shù)交匯，突出考查數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。

4命制與評價小結(jié)

北京師范大學(xué)林崇德教授說“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分，同時也存在無聲、無形但可感、可知的內(nèi)隱部分，前者能夠在特定的情境下通過一定的方式表現(xiàn)出來，因此能夠有效地對其進行定量的測評……”基于此，筆者在試題的命制過程中進行了嘗試，編制從分析圓錐曲線定義、圓錐曲線性質(zhì)、平面幾何性質(zhì)、三角函數(shù)和均值不等式等基礎(chǔ)知識出發(fā)，以素養(yǎng)立意命題，通過提煉數(shù)學(xué)思想方法，選擇合適的素材，經(jīng)過多稿討論、辨析、修正，形成試題，通過測評后的反思，累積經(jīng)驗，實現(xiàn)試題的命制目標(biāo)。

求橢圓、雙曲線離心率的試題，小而活，體現(xiàn)新課程目標(biāo)的精神，檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達成情況，學(xué)生通過“考”、“評”、“研”，可以獲得進一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，能夠提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，從中不斷學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，逐步養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。