2013-2015年福建省數學中考壓軸題分類評析

王冰冰 蘇圣奎 陳清華

為響應《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》號召，落實《中共中央關于制定國民經濟和社會發展第十三個五年規劃的建議》的要求，提高教育質量，推動義務教育均衡發展，普及高中階段教育，2016年《福建省“十三五”教育發展專項規劃》提出“2017年起全省統一組織實施語文、數學、英語等科目中考”，這是“促進入學機會公平，完善中小學招生入學辦法”的一大舉措。

《義務教育階段數學課程標準（2011年版）》指出：要使學生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識，目前福建省中考“兩考合一”，即中考既是畢業考、又是升學考，要兼顧學生的基礎性和發展性，具有評價和選拔雙重功能，中考壓軸題試卷的壓軸“主角”，主要目標就是區分和選拔，意在考查學生的綜合素質，尤其是分析問題、解決問題的能力，發現挖掘學生學習的內在潛力，壓軸題通常以初中數學的核心知識與重要的數學基本思想方法為載體，突出對能力、思想及數學核心素養的考查，對學生的閱讀能力、運算能力、數據處理能力、邏輯推理能力、應用能力等有較高的要求，滲透了數形結合、分類與整合，轉化與化歸，特殊與一般、函數與方程、或然與必然等多種數學思想方法，要求學生具備良好的數學核心素養，因此壓軸題是區分度和綜合選拔性的集中體現，彰顯命題者對中考導向的理解，同時也為初中數學教學指明方向，本文擬就2013-

2015年福建省九地市中考數學試卷中的最后一道壓軸題為載體進行分類評析，并闡釋筆者的相關認識。

1 2013-2015福建省九地市中考數學壓軸題分類評析

由表1可知，縱觀2013-2015年福建省九地市中考數學試卷的壓軸題，不難看出函數內容“一枝獨秀”，而二次函數與幾何的綜合考查更是各設區市命題的主要方向，受到命題人員的青睞，凸顯函數（尤其是二次函數）在初中數學的重要地位，按照知識內容，可將2013-2015年的壓軸題的分為三類：函數綜合型、新概念綜合型及幾何綜合型，根據表1統計結果，可以得出以下幾點結論：

（1）數學中考突出對能力型問題的考查，注重思維的過程性生成，關注初高中銜接內容，要求學生具備一定的數學核心素養;

（2）中考數學壓軸題關注函數與幾何圖形的綜合，重點滲透數形結合、分類與整合、轉化與化歸、特殊與一般等數學思想方法，注重研究“數”與“量”的相互轉化;

（3）通過增加小題數、分散難點、降低分值等方式，淡化壓軸題的壓軸形象，如2014年廈門卷的最后一題只有10分。

2 真題評析

2.1 函數綜合型

挑戰滿分本題第（1）小題答題的關鍵在于找出D，A，B三點的坐標，求D點坐標較為容易，是大部分學生的得分點，后面得分的突破點在于合理利用條件求出A，B的坐標，進而求出拋物線的解析式;第（2）小題答題的關鍵在于利用（1）中所得線段長，通過相似或者銳角三角函數進行證明，是中等水平學生的得分點;分類討論及含參運算是第（3）小題的難點，要有所突破，取得高分，挑戰滿分，這里是關鍵。

示例評析本題是函數的綜合題，涉及雙曲線、一次函數、三角函數及二次函數的知識，綜合性較強，試題設計層層遞進，由簡到難，梯度合理，重點考查了數形結合、分類與整合、方程與函數等數學思想，題目要求學生能用動態的觀點來分析函數圖象與幾何圖形之間的相互關系，運用數形結合分析問題的同時，運用分類與整合思想來解決問題，提升學生對數學本質的思考，有效考查了學生數學抽象、數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學素養，具有良好的效度和區分度。

2.2 新概念綜合型

挑戰滿分 本題第（1）小題是簡單運用新概念進行辨析，是大部分學生的得分點;第（2）小題的含參問題使許多學生無從下手，是本題的難點，突破的關鍵在于通過幾個特例找出b，c之間存在的關系進行猜想、驗證，從而達到解決問題的目的，本題若要沖刺滿分，學生要運用數學抽象思維來探尋數量間的特殊關系，這在平時數學學習中要加強滲透，逐步提升學生的數學運算和數學抽象素養。

示例評析本題考查了一元二次方程解法，根的判別式及根與系數的關系的運用，要求學生能運用“偶系二次方程”的定義進行數學抽象、辨析及推理證明，能根據已知條件的特征性建立合適的方程模型，滲透了一般與特殊、數學建模等數學思想，對學生的數學抽象、數學運算及數學抽象素養提出了較高的要求，試題對運算能力及數感具有良好的區分度，具備一定的選拔功能。

2.3 幾何綜合型

挑戰滿分 本題第（1）、（2）小題通過圖形的觀察、測量很容易就能得到答案，通過利用全等三角形的知識來驗證所得答案的準確性也是對學生基本邏輯推理能力的檢驗，因此這兩個小題都是大部分學生的得分點;第（3）小題是（1）、（2）兩小題拓展延伸，對能掌握圖形規律的學生而言是得分點，而對于基礎較弱，對數學規律及圖形特征不敏感的學生而言則是一個難點，挑戰滿分，需要具備良好的直觀想象素養和演繹推理能力。

示例評析本題以正多邊形的性質、三角形全等的判定與性質等核心知識為載體，將一動一靜的兩個正多邊形組合成有一個公共頂點的圖形，引導學生經歷歸納、猜想、驗證等一系列思維活動，突出對特殊與一般、化歸與轉化等重要數學思想的考查，在多邊形邊數改變而對應角的數量關系不變的探索中，揭示了變與不變的辯證關系，且結論簡潔，給人以數學的美感，有效考查了學生直觀想象素養和邏輯推理能力，體現了從特殊到一般的數學思想，本題的價值不僅在于環環相扣、層層推進的精彩設置，更在于其本身突出地展示出“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性。

3 數學中考全省統一命題的啟示

福建省2013-2015年數學中考壓軸題融合新課程的理念，發揮中考選拔功能，加強對探究能力、數學思想方法、數學核心素養，特別是數學思維的靈活性和深刻性的考查，從這三年壓軸題的命制和解題策略來看，可以給我們帶來以下啟示：

（1）立足“四基四能”，發展綜合能力

近三年福建省的中考試卷特別重視“圖形與幾何”領域與“數與代數”領域的融合，尤其是是函數與幾何的綜合成為各設區市中考壓軸題的主要考查方向，要求學生具備扎實的基礎知識和基本技能，能靈活運用基本數學思想來發現問題、分析問題、解決問題，為此，教師要特別重視“圖形與幾何”領域中核心知識的教學，夯實基礎，并逐步讓學生形成知識的網絡結構。

（2）注重思想滲透，引導歸納總結

具備優秀數學能力的學生能領會基本數學思想，熟練掌握基本數學方法，會根據問題的具體情況，合理使用數學思想方法，進行分析問題，解決問題，近年來的壓軸題突出數形結合、分類與整合，轉化與化歸、特殊與一般、函數與方程、或然與必然、類比等基本數學思想方法的考查，教師應從提升學生數學核心素養的角度展開教學實踐研究，注重在知識生成的過程中，充分滲透數學思想方法，引導學生進行歸納總結，使知識內化為能力。

（3）重視過程探究，提升核心素養

近年來，與全國各地中考一樣，福建省九個設區市的中考壓軸題中出現了許多與數學活動相關內容，考查學生在數學活動中能發現問題、提出問題，進而解決問題，這些題目借助歸納和類比，形成猜想，在探究驗證之后，發現并獲得新知識，試題較好地考查了學生通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并借助某種方式證明猜想合理性的數學能力，取得了較好的效果，對于促進課程改革的發展具有積極的推動作用，中考應繼續加強對問題生成過程的考查，對日常教學發揮導向作用，讓學生在教學實踐（如數學實驗）中動口表達、動腦思考、動手實驗，獲得更多自主探究的機會，從而從根本上培養學生數學綜合能力，提升數學核心素養。

參考文獻

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