知本求源 出奇制勝

郭磊

最近在微信朋友圈看到一篇短文：大爺買西紅柿挑了3個(gè)到秤盤，攤主秤了下：“一斤半3塊7.”大爺：“做湯不用那么多，”去掉了最大的西紅柿.攤主，“一斤二兩，3塊，”正當(dāng)我想提醒大爺注意秤子時(shí)，大爺從容地掏出了七毛錢，拿起剛剛?cè)サ舻哪莻€(gè)大的西紅柿，扭頭就走，攤主當(dāng)場無風(fēng)凌亂，當(dāng)大家都朝著一個(gè)固定的思維方向思考問題時(shí)，而你卻獨(dú)自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維也叫求異思維.

數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維是解題常見方法之一，逆向思維方式對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力以及今后成長過程具有舉足輕重的作用，所以在平時(shí)教學(xué)中要對學(xué)生點(diǎn)點(diǎn)滴滴逐漸滲透，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識、能力，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性學(xué)習(xí)是非常必要的.

1“圍魏救趙”式

圍魏救趙是三十六計(jì)中相當(dāng)精彩的一種智謀，它的精彩之處在于，以逆向思維的方式，繞開問題的表面現(xiàn)象，從事物的本源上去解決問題，從而取得一招致勝的神奇效果.

例1計(jì)算1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10.

該題如果采用正向思維計(jì)算比較繁瑣，但是如果我們繞開問題的表面現(xiàn)象，借助圖形，將面積為1的正方形進(jìn)行分割，第一次將正方形分割成面積相等的兩部分，第二次將其中再分割成面積相等的兩部分，以此類推……每次分割后剩下的空白的面積就是1/2^n（如圖1）.

我們計(jì)算1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10，的值可參照圖1，根據(jù)圖形逆向分析，實(shí)際就是用整個(gè)正方形面積1減去空白部分面積，所以1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10=1-1/2^10

換種思路，逆向思考，問題就變得簡單易懂.

2“曹沖稱象”式

聰明的曹沖知道大象的體重不能直接去稱，就把稱大象的重量轉(zhuǎn)化為稱石頭的重量，轉(zhuǎn)換型逆向思維是指在研究一問題時(shí)，由于解決該問題的手段受阻，而轉(zhuǎn)換成另一種手段，或轉(zhuǎn)換思考角度思考，以使問題順利解決的思維方法.

例2從2，5，6，8這四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，能夠構(gòu)成三角形的有幾組？

解決該問題如果從正面去思考，任選三個(gè)數(shù)情況較為復(fù)雜，于是我們反過來思考，將問題在四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為每次有一個(gè)數(shù)不選，學(xué)生一下反應(yīng)出來只有四種情況，結(jié)果就很清晰明了，如歷史上被傳為佳話的司馬光砸缸救落水兒童的故事，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)用轉(zhuǎn)換型逆向思維法的例子.

3“聲東擊西”式

聲東擊西在現(xiàn)實(shí)生活中被提及的頻率非常高，它以假動作欺敵，掩護(hù)主力在第一時(shí)間擊其要害.聲言出東，其實(shí)擊西，其實(shí)在數(shù)學(xué)解題過程中，同樣是存在聲言出東，其實(shí)擊西的的情況.

比如，甲乙兩人相距22.5km，分別以2.5km/h，Skm/h的速度相向而行，同時(shí)甲所帶的小狗以7.5km/h的速度奔向乙，小狗遇到乙后立即掉頭奔向甲，遇到甲后又奔向乙，小狗遇到乙后立即奔向甲……直到甲，乙相遇，求小狗所走的路程.

在這個(gè)問題中小狗來回的跑，如果從正面分析小狗的行程會使得問題變得復(fù)雜而難于解決，該題實(shí)質(zhì)是采用了聲東擊西的戰(zhàn)法，小狗來回跑動的時(shí)間較為復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上該題是只要求兩人相遇的時(shí)間.你如果采用逆向思維，小狗的運(yùn)動時(shí)間實(shí)質(zhì)為人的行程時(shí)間，再抓住路程=速度×?xí)r間這一概念本質(zhì)，那問題就變得簡單了，學(xué)生很容易得出問題的答案為22.5÷（2.5+5）×7.5= 22.5÷7.5×7.5= 22.5千米.

4“由果索因”式

平日在解題時(shí)，人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，一般都是由所給條件直接向結(jié)論逼近，但有些問題，需要改變思考的角度，從反面去考慮，從結(jié)論往回推，以獲得簡捷的解題方法.

例3在Rt△ABC中，CD是AB邊上的高，垂足為點(diǎn)D，求證：1/AC2+1/BC2=1/CD2.

學(xué)生見到此題感覺無從下手，因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣了從題目條件出發(fā)去思考問題，其實(shí)，采取逆向思維，根據(jù)題目結(jié)論去倒推，問題便迎刃而解，先將結(jié)論的左邊進(jìn)行通分得（AC2+BC2）/（AC2BC2）=1/CD2，因?yàn)椤鰾C是直角三角形，根據(jù)勾股定理得AB2/AC2BC2=1/CD2.再將等式對角相乘得AC2BC2= AB2CD2，因?yàn)锳C，BC，AB，CD都是正數(shù)，所以AC·BC= AB·CD，最后根據(jù)AABC的面積1/2AC·BC= 1/2AB·CD，便可得到AC·BC= AB·CD（如圖2），以此我們再倒推出結(jié)論.

5“溯本求源”式

溯本即追尋根本，求源即探求起源.

例4計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（22048+1）.此題按運(yùn)算順序直接計(jì)算很繁，若能觀察到題目的特點(diǎn)，該題是要考察學(xué)生對平方差公式的運(yùn)用，但是平方差公式是（a+b）（a-b）= a2-b2，該題缺少了起始的2-1，所以采用逆向思維，把1看作2減1，則能很快計(jì)算出結(jié)果，

解原式=（2 -1）（2 +1）（2^2 +l）（2^4+1）（2^8+1）…… （2^2048+1）

= （2^2—1）（2^2+1）（2^4+1）（2^8+1） …… （2^2048+1）

=…=（264096一1）.

逆向思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式，將逆向思維應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，敢于“反其道而思之”，可以有效地幫助學(xué)生理解相關(guān)基礎(chǔ)知識、拓展學(xué)生的想象空間、克服學(xué)生的思維遲鈍現(xiàn)象進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新的解題思路，因此，在教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練，有意識地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的意識和習(xí)慣，幫助學(xué)生從正向思維過渡到正、逆雙向思維，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.