求單調(diào)有界數(shù)列極限的方法

重慶人文科技學(xué)院 熊 燈

一、單調(diào)有界數(shù)列的基本理論

若數(shù)列的項(xiàng)滿(mǎn)足不等式則稱(chēng)該數(shù)列為遞增(遞減)數(shù)列，遞增數(shù)列和遞減數(shù)列稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。

對(duì)任意一數(shù)列如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)A使得不等式恒成立，則稱(chēng)A為數(shù)列的一個(gè)上界，同樣地，如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)B，使得不等式恒成立，則稱(chēng)實(shí)數(shù)B是數(shù)列的一個(gè)下界，如果一個(gè)數(shù)列既有上界，又有下界，則稱(chēng)該數(shù)列有界，此時(shí)又存在一個(gè)正數(shù)M，使得

單調(diào)有界定理∶在實(shí)數(shù)中，有界數(shù)列必有極限。

二、求單調(diào)有界數(shù)列的方法

數(shù)列在求極限時(shí)，我們事先并不知道數(shù)列的極限值，我們可以用數(shù)列單調(diào)有界定理，在求數(shù)列極限時(shí)，我們先證明極限存在，若極限存在，再求極限，用此定理的關(guān)鍵在于證明數(shù)列的單調(diào)性、有界性。

證明∶先用數(shù)學(xué)歸納法再用歸納法證明∶顯然a2≥a1， 假設(shè)ak≥ak-1，

則從而成立，由上可知{ }單調(diào)遞增有上界，所以{ }極限存在，

例2 證明數(shù)列有極限，并求其值。

證法1：顯然＜2。

故對(duì)于一切的n∈N，有1≤xn≤2。又因?yàn)楣?單調(diào)遞增。由有界原理知或者2。由于0＜ 單調(diào)遞增，所以A=0不合題意。

證法2：記有f(x)的導(dǎo)數(shù)為故f(x)單調(diào)遞增，從而由現(xiàn)有單調(diào)遞增，由單調(diào)有界定理，可知}收斂，取極限或者2。由于單調(diào)遞增，所以A=0不合題意。

通過(guò)對(duì)上面例題的講解，求單調(diào)有界數(shù)列就是通過(guò)一些公式放縮，證明數(shù)列是單調(diào)有界即可，然后在原有公式取極限，并求出。

本文主要介紹了單調(diào)有界數(shù)列的幾種求法，加深了對(duì)數(shù)列的了解，同時(shí)通過(guò)對(duì)單調(diào)有界數(shù)列的研究，知道了求解不同單調(diào)有界數(shù)列的方法。

[1]華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]裴文禮.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]孫彩虹.求數(shù)列極限的若干方法[J].林區(qū)教育出版社，2011（9）：91-92.

[4]胡輝.求解數(shù)列極限的特殊方法[J].新校園上旬刊，2013（4）：11-14.

[5]姜惠元.淺談求數(shù)列極限的方法[J].數(shù)學(xué)大世界，2017（10）：52.