談小學數學教學中抽象、推理及建模能力的培養

江蘇省邳州市新河鎮中心小學 李家躍

《數學課程標準》強調，教師在課堂上要樹立“經驗”意識，關注并珍視學生已有經驗，引導學生親力親為，從實際背景中抽象出數學問題，建構數學模型，并用之于數學問題的解決，進而獲取深刻的體驗；同時，還要將推理能力的培養落實到教學的各個環節之中。抽象、推理及建模能力的培養，有助于促進學生數學素養的提升；而這三種能力的形成和提高需要依賴教師持之以恒地指導與訓練，應當貫穿于數學教學的全過程。

一、發揮形象思維的作用，培養初步的抽象思維能力

培養學生初步的抽象思維能力是小學數學教學的一個重要任務，然而，小學生的形象思維占主導地位，而要促使這種思維向抽象思維跨越，其前提便是遵循學生的認知規律及心理特點，充分發揮形象思維的作用，即通過直觀引導學生逐步向抽象邁進。筆者認為可以通過以下途徑來實現這一目標：一是指導學生進行直觀的操作，幫助學生建構抽象概念。二是引導學生經歷表象感悟，幫助學生理解抽象算法；三是借助幾何直觀，指導學生解決抽象的問題。

比如，教學“軸對稱圖形”，由于學生在生活中已經看到過五角星、蝴蝶、飛機、人體等具有對稱特點的物體，立足于這一認知背景，在導入環節就可以呈現對稱和不對稱的物體讓學生去辨別，從而初步建立對稱與不對稱的概念模型；然后，借助課件抽象出平面的軸對稱圖形，并引導學生發現不同的軸對稱圖形的共同特點，再通過動手對折驗證來強化認識，進行抽象、歸納，進一步弄清本質，建構概念。

建構數學概念的方法很多，實物操作是其中的一種，它可以為概念的建構概念奠定基礎。操作活動中學生的感官和思維積極參與，可以從中獲取直觀的感受與豐富的體驗。然而，概念的建構并非是一個簡單的思維過程，操作過程中教師要格外關注學生操作活動的內化，要注重引導學生借助觀察、比較、思考、歸納、交流等實踐活動對概念加以概括。上述案例中，教師按照“具體→表象→抽象”的步驟，憑借直觀的操作活動引發并促進了學生的數學思考，發揮了形象思維的作用，凸顯了活動本身所蘊含的數學價值。

二、加強知識間的聯系與溝通，培養初步的推理能力

數學的思維方式很多，推理是其中之一。對于數學學習來說，它能夠增進學生了解、認識、掌握與運用數學，促進創新與實踐能力的發展。鑒于小學生的年齡特征，培養推理能力應以合情推理為主，引導學生立足于已有事實，借助經驗與直覺，通過歸納與類比等來合情合理地推斷某一結論。

首先，教師要引導、鼓勵學生大膽猜測，引發學生的推理需求。其實，數學猜測就是一種數學想象，猜測的結果是建立在大量實驗與合情推理基礎之上的。猜測能夠在很大程度上激發學生“欲罷不能”的探究欲望。因此，教師要善于給學生提供具體而有意義的素材和信息，創設猜測的時空，啟發他們從中發現數學問題，并通過操作、觀察、思考、分析、推理加以驗證。比如，教學“長方形和正方形的認識”，筆者立足于生活經驗和知識背景，引導學生從日常生活中的桌面、電視屏幕、操場等學生司空見慣的事物素材中尋找這兩類圖形的“影子”，再通過課件的演示從實物中抽象出圖形的輪廓，并進一步引導他們猜測兩種圖形的邊和角各有什么特點，作出初步的猜測與描述；最后再通過自主探究與合作學習發現、歸納兩種圖形的本質特點。

其次，教師要組織學生開展探究活動，引領他們經歷推理過程。學生只有在探究活動現場親眼看見、親自動手、自主觀察、善于分析，才能獲得體驗，發現規律，并練習用數學語言進行歸納。同時，教師還要引導學生利用好習題資源，進一步拓展推理的空間。對于數學學習來說，習題訓練不可或缺，它是例題的補充與拓展，能夠幫助學生鞏固新識，拓寬視野，鍛煉推理能力。教師應在習題的設置與運用上動腦筋、下功夫，對習題進行整合和深加工，盤活習題資源，加強新舊知識間的聯系與溝通，讓學生在解決具體問題的過程中積累經驗，發展推理能力。

三、引導學生抽象數學本質，培養初步的建模能力

數學模型（抽象的數學語言表述）是解決數學問題的一個不可或缺的重要手段，教師應該強化“建模”意識，指導通過學習與鞏固，建立一些實用的數學模型，掌握建模方法，以增強學生運用知識來解決問題的能力，培養創新思維。教師要善于引導學生從形象中抽象出數學本質，培養初步的建模能力。為此，教師可以從以下三個方面做起。

一是從生活中優選一些與所學知識相關的“原型”，促使學生樂于建模。學生天生對身邊的事物充滿好奇，大腦中也儲存了一定的素材。教師應立足于解決問題的需求，瞄準學生感興趣的材料作為原型，加以有效運用，從中將數學問題“牽引”出來，啟動從原型到模型的認知建構，引領學生由經驗世界走向數學世界。比如，對于“平移和旋轉”的現象，學生在生活中已有所目睹并積累了相關經驗，教師要以此為背景，運用媒體向學生呈現旋轉的風扇、推拉門、鐘面的指針等比較典型的素材，讓數學知識跟生活現象“親密牽手”，使學生初步感知平移和旋轉現象；再通過對不同現象的分類，進一步感悟平移和旋轉兩種運動的特征，進而實現對概念的建構。這是借助原型進行的有效“建模”。

二是注重方法的指導，促使學生善于建模。數學建模立足于原型而又高于原型、超越原型。因此，教師要關注學生“經歷”，引領他們去實實在在地經歷從生活原型到數學模型建構的發生、發展及應用的過程；要引導、啟發學生經歷從實際問題中抽象出數學模型并加以解釋與運用。學生切實地經歷了建模的數學化過程，分析模型建構的思維就得到了鍛煉，數學思想方法就會得以內化，建模能力自然就會不斷提升。

三是引導學生體會模型的價值，促使學生勤于建模。數學模型好比一座橋梁，聯結的是數學知識與現實世界。教師要善于為學生搭建平臺，指導學生靈活運用所建立的數學模型去解決具體問題，促進對新知的理解與同化，進而體會模型的價值所在，激發建模興趣。