考慮實測基節誤差的修形齒輪嚙入沖擊計算

郭 芳, 方宗德, 張西金

(西北工業大學 機電學院, 西安 710072)

嚙合沖擊會加速齒輪的點蝕形成、齒根裂紋的萌生與擴展，及輪齒的斷裂，同時又影響到齒輪系統的動態特性，是重要的振動與噪聲激勵源[1]。因此，國內外學者在齒輪嚙合沖擊方面做了大量研究。文獻[2-4]根據齒輪公差合成傳動系統的等效誤差，將齒輪彈性變形及系統等效誤差反映到輪齒嚙合的幾何位置關系中；根據嚙合原理和幾何關系推導出線外嚙合點的位置，從而計算嚙合沖擊力。文獻[5-6]利用有限元軟件建立齒輪嚙合模型，通過有限元數值分析軟件LS-DYNA對齒輪嚙合沖擊過程進行數值仿真，獲得了嚙合沖擊過程的沖擊速度、沖擊力、沖擊時間及齒輪彎曲應力、接觸應力。文獻[7]分析了線外嚙合對齒輪傳動性能的影響。文獻[8]研究了齒輪嚙合沖擊與點蝕的關系。文獻[9]基于輪齒嚙入沖擊理論，分析了嚙入沖擊對行星齒輪系統輻射噪聲的影響，并研究了不同加載條件下，嚙入沖擊對齒輪箱體輻射噪聲的影響。

綜上所述，以往學者分析輪齒嚙合沖擊采用的方法基本上分為解析法和有限元法。計算線外嚙合沖擊力的關鍵在于線外嚙合位置的準確求解及其剛度的計算。然而現有的解析法依據齒輪設計手冊中的公差對齒輪制造誤差進行取值，且未考慮制造誤差的隨機性，因此無法準確求解線外嚙合點的位置；有限元法對齒輪模型的精確度、網格劃分的精密度要求較高，需耗費大量的計算時間及較高的硬件成本；且已有研究只計算了單對齒的線外嚙合沖擊力，按嚙合周期循環變化。本文以一對斜齒輪為例，利用克林貝格P100型齒檢儀對已加工齒輪進行齒面檢測，基于測得的累計齒距誤差，進行輪齒接觸分析(TCA)及輪齒承載接觸分析(LTCA)，獲得齒輪連續嚙合過程中每對輪齒嚙合的實際嚙入點位置；然后根據LTCA得到的輪齒承載變形及載荷分配系數，計算嚙入點處的剛度；最后計算出以n個嚙合周期為一個大周期的嚙入沖擊力(n為主、被動輪齒數的最小公倍數)。本文提出的方法對修形齒面及誤差齒面均適用，反映了齒輪連續嚙合過程中不同齒的相對基節誤差對嚙入沖擊的影響。

1 考慮系統相對基節誤差的承載傳動誤差計算

1.1 系統相對基節誤差計算

本節主要考慮由于嚙合齒輪輪齒分布不均勻即齒距偏差而產生的相對基節偏差。齒距偏差是指在端平面分度圓上的實際齒距與公稱齒距之差。若將此偏差引入齒輪承載接觸分析，需將嚙合齒輪的齒距誤差轉換為法向基節偏差，并將兩者相減得到齒輪系統的相對基節偏差。

本文以一對標準安裝的修形斜齒輪副為例，其基本參數如表1所示。齒輪齒面采用硬齒面磨齒加工，加工精度為6級。小輪(主動輪)進行三維修形，齒廓、齒向均采用4次拋物線修形，如圖1所示。大輪(從動輪)無修形。

表1 斜齒輪副參數

(a) 齒廓修形曲線

(b) 齒向修形曲線圖1 小輪三維修形曲線Fig.1 The modification curve of pinion

采用克林貝格P100型齒檢儀對大、小輪齒面進行檢測，齒距測量報告如表2所示。系統的相對基節偏差可由下式求出。在此需要說明一點，本文算例中大、小輪齒數互質，故在一個大周期內小輪的任意一個齒與大輪的所有齒都有嚙合的機會，故系統的相對基節誤差不需要考慮大、小輪的初始相位問題，以任意相位相嚙合得到的以大周期循環的系統相對基節誤差曲線均相同。

Fpb=(Fpk2-Fpk1)·cosβ·cosα

(1)

式中：Fpk1,Fpk2分別是小輪、大輪的齒距累積偏差；β為螺旋角；αn為法向壓力角;Fpb為系統相對基節累積偏差，其值如圖2所示。

圖2 系統相對基節誤差Fig.2 The relative pitch error of the system

表2 齒距測量報告

1.2 考慮系統相對基節誤差的承載傳動誤差計算

對于齒輪承載接觸分析，學者們做了許多有價值的研究[10-13]。但考慮嚙合齒對相對基節誤差的承載接觸分析尚缺少研究。本節主要考慮圖2所示的以(19×47)個嚙合周期為一個大周期的系統相對基節誤差對齒面承載接觸過程的影響。

考慮相對基節誤差的承載接觸分析主要思路為：對齒面進行TCA，獲得單對齒從嚙入到嚙出過程中每個嚙合位置的初始齒面間隙；將同時嚙合齒對的相對基節誤差疊加于對應嚙合位置的初始齒面間隙，以嚙合周期為計算周期，循環進行LTCA，從而得出大周期內考慮系統相對基節誤差的承載傳動誤差。

上述計算過程的關鍵為：如何將同時嚙合齒對的相對基節誤差與對應嚙合位置的初始齒面間隙相疊加。參考文獻[14]中的輪齒接觸分析原理，對算例進行TCA，得出單對齒從嚙入到嚙出的齒面接觸印跡及幾何傳動誤差，如圖3所示。由圖3(a)可以看出，一個齒從嚙入到嚙出的過程中共有12個嚙合點(一個嚙合周期分為5個計算步長)，對大周期中893對嚙合齒對進行編號，以齒對1及其左右相鄰的兩對齒為例，列出嚙合點的接觸序列，如表3所示。表3中框內為同時嚙合齒對在一個嚙合周期中嚙合點的接觸序列，因此，在嚙合周期1中由TCA得出的嚙合點1、6、11的初始齒面間隙需要分別疊加齒對1、893、892的相對基節誤差，依次類推。一個嚙合周期的初始齒面間隙與相應齒對的相對基節誤差疊加之后進行LTCA。如此循環計算得出考慮系統相對基節誤差的承載傳動誤差，如圖4所示。

(a) 齒面接觸印跡(嚙合位置標記)

(b) 幾何傳動誤差圖3 輪齒接觸分析結果(未考慮基節誤差)Fig.3 The result of TCA (without considering the pitch error)

2 線外嚙入點的確定

在齒輪嚙合過程中,輪齒由于受載變形和制造誤差，會產生基節誤差，使得實際嚙入點偏離理論嚙合線，造成從動輪轉動速度產生突變，引起嚙入沖擊。

表3 同時嚙合齒對接觸序列

圖4 大周期內考慮系統相對基節誤差的承載傳動誤差Fig.4 The loaded transmission error considering the system relative pitch error in a big period

本文基于TCA和LTCA確定線外嚙入位置，其基本思想為：對齒面進行TCA，獲得幾何傳動誤差；參考文獻[15]，相對基節誤差為正，表示滯后退出嚙合；相對基節誤差為負，表示提前進入嚙合，得出大周期內考慮系統相對基節誤差的幾何傳動誤差；采用多項式擬合方法對考慮相對基節誤差的幾何傳動誤差和承載傳動誤差分別進行擬合，并求解兩曲線在每對齒進入嚙合時的交點，即為每個嚙合周期的實際嚙入點(因為交點處幾何傳動誤差與承載傳動誤差相等，說明此時未承擔載荷，未發生承載變形)；根據交點對應的小輪轉角，進行TCA得出交點處的位置矢量和法向矢量，最終得出每個嚙合周期實際嚙入點的準確位置。圖5展示了5個嚙合周期的初始嚙入點的位置。

圖5 初始嚙入點的位置Fig.5 The actually original position of the meshing-in contact

3 線外嚙入沖擊速度計算

(2)

式中：ρMi是Og到M點的矢量，ρMi=RMi-E，E為Of到Og的矢量；wp,wg分別是小輪、大輪的角速度。

(a) 端截面示意圖

(b) 法向量示意圖圖6 嚙入沖擊速度計算原理圖Fig.6 Calculation principle of the shock velocity

4 線外嚙入點剛度計算

(3)

圖時承載傳動誤差曲線Fig.7 The loaded transmission error curve

(4)

最后，可由式(5)計算出大周期內線外嚙入點處的剛度，如圖8所示。

(5)

5 嚙入沖擊力的計算及對比驗證

5.1 嚙入沖擊力的計算

圖8 大周期內線外嚙入點處的剛度Fig.8 The stiffness of the original position of the meshing-in contact in a big period

圖9 嚙入沖擊動力學模型Fig.9 The dynamic model of meshing-in impact

最大嚙入沖擊力的計算參考文獻[2]中的方法，在此僅簡單介紹。如圖9為嚙入沖擊動力學模型，將小輪、大輪簡化為質點，mep,meg為其誘導質量：

(6)

式中:Ip,Ig分別是小輪、大輪的轉動慣量。

線外嚙入點的沖擊動能和彈性勢能分別為：

(7)

(8)

式中:me為齒輪對的等效質量；Fsi為最大沖擊力，因其產生相應的變形為Wsi；Ksi為線外嚙入點處的剛度。

根據能量守恒定律，令Eki=Epi, 將式(7)和(8)代入可求得最大沖擊力為：

(9)

假設嚙入沖擊力為一半正弦脈沖，則可表達為：

fs(t)=Fssin(ωst) 0≤t≤ts

(10)

式中:ωs為半正弦波角頻率,ωs=π/ts;ts為沖擊時間, 即沖擊速度由vs減小為0的過程。 沖擊時間的計算參考文獻[16]，由沖量定理得：

(11)

由式(11)可求得沖擊時間ts為:

(12)

由此可得出大周期內Tload=830 N·m時的嚙入沖擊力, 如圖10所示。

圖10 大周期內齒輪線外嚙入沖擊力Fig.10 Meshing-in impact force in a big period

5.2 對比驗證

本文應用文獻[2]提出的嚙合沖擊模型對算例進行計算。主要計算過程如下：將系統相對基節誤差與輪齒的承載接觸變形進行疊加，其值作為嚙入沖擊點的位置判據，即對應文獻[2]中的式(4)。根據文獻[2]中圖1所示的線外嚙入沖擊原理圖計算線外嚙入點的幾何位置；再根據文獻[2]中圖4所示的沖擊點速度示意圖計算大、小輪的切向速度，并分別向嚙入點的法向矢量投影，計算沖擊速度；線外嚙入點的剛度為每個嚙合周期第一個嚙合位置(即大輪齒頂與小輪齒腹接觸的位置)對應的剛度，其值根據LTCA及本文中公式(4)、(5)得出；最后利用文獻[2]中的式(38)計算最大嚙入沖擊力。

按照上述計算步驟，本文通過周長江等提出的嚙合沖擊模型計算了893個嚙合周期內負載Tload=830 N·m時的嚙入沖擊力，如圖11所示。

圖11 大周期內齒輪線外嚙入沖擊力(根據文獻[2]的方法計算得到)Fig.11 Meshing-in impact force in a big period (Calculated according to reference [2])

5.3 小結

對比本文方法及周長江等的方法計算得到的結果，我們可以看出根據周長江等計算的嚙入沖擊力較大。這是由于在負載Tload=830 N·m時兩種方法確定的線外嚙入點的位置不同，周長江等的方法認為嚙入沖擊發生在大輪齒頂與小輪齒腹接觸的位置，而本文提出將每個嚙合周期的幾何傳動誤差和承載傳動誤差的交點作為實際嚙入點的位置。由于本文算例存在基節誤差及小輪的三維修形，此時的初始嚙入位置并未發生在大輪齒頂，而是沿圖3(a)所示的接觸跡線向大輪齒中產生略微偏移，故采用本文方法求得的嚙入點的位置更精準。周長江等確定的嚙入沖擊點沿公法線產生的相對速度差更大，因此根據該文獻計算的嚙入沖擊力偏大。

6 結 論

齒輪連續嚙合過程中，由于制造誤差的隨機性，每個嚙合周期的實際初始嚙合位置均不相同，這對分析齒輪嚙入沖擊的實際變化規律造成了一定的困難。基于此問題，本文提出一種考慮實測基節誤差的齒輪嚙入沖擊算法。該算法基于考慮實測基節誤差的輪齒接觸分析(TCA)及承載接觸分析(LTCA)可準確算出齒輪連續嚙合過程中不同嚙合齒對的初始嚙入點位置及相應的剛度，從而真實反映出實際齒輪嚙合過程中嚙入沖擊力的變化情況。本文以一對斜齒輪為例進行計算分析，由結果可得出以下結論：

(1) 本文算法將實測基節誤差引入齒輪嚙入沖擊計算中，有效地反映了齒輪嚙合過程中嚙合沖擊力變化的真實情況。

(2) 基于考慮實測基節誤差的輪齒接觸分析(TCA)及承載接觸分析(LTCA)，本文將每個嚙合周期的幾何傳動誤差與承載傳動誤差的交點作為初始嚙入位置的判定。此判定方法更加準確，與文獻[2]的對比進一步驗證了該方法。

(3) 考慮實測基節誤差的嚙入沖擊力不是以嚙合周期變化的，而是以制造誤差的變化周期而變化的。

(4) 該算法不僅適用于修形齒面齒輪，也適用于誤差齒面齒輪。