注重算法的形成過程，促進運算能力的有效發展

劉才軍

【摘要】運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力不僅僅指會算和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，比如運算對象、運算的意義、算理等。

【關鍵詞】運算能力 過程 發展

【研究的問題】

《筆算乘法》一課是三年級上冊的教學內容，它是筆算乘法的起始課，是學生第一次學習用列豎式的方法來進行乘法運算，它是在學生學習了口算整十、整百數乘一位數和口算兩位數乘一位數的基礎上進行教學的。

筆算乘法是小學階段非常重要的一種運算，人教版新教材對筆算乘法的學習安排了兩個階段，第一階段是三年級學習多位數乘一位數的筆算乘法，第二階段是四年級學習多位數乘二位數的筆算乘法。至于多位數乘三位數或更多位數的筆算乘法教材沒有進行再安排，主要原因是筆算乘法的算理和計算模型大同小異，學生在掌握了多位數乘二位數的筆算方法的基礎上能夠遷移類推出來。而要能夠實現方法的遷移類推，關鍵在于學生學習筆算乘法時能深刻體驗算法的形成過程，在此過程中理解筆算乘法的算理，建立清晰的筆算乘法的計算模型。而在實際教學中我們發現一個現象，學生對于算法的程序化演算掌握比較熟練，但當學生學習乘數位數增加時的筆算乘法時，會出現遷移類推的困難，遷移類推多位數乘多位數的筆算方法就更加困難了。究其原因，主要是學生沒能在算法的形成過程中深刻理解算理，沒有算理的支撐，算法只是模仿、程式化的演算。如何讓學生更好地體驗算法的形成過程，在理解算理的基礎上自然形成算法，從而提高學生運算能力，這是我們一直在研究的問題。

本案例旨在通過研究，在深入細致分析發掘教材內涵與外延的基礎上，科學合理地處理和加工教材，精心設計好數學教學活動，探尋如何讓學生更好地理解算理、在理解算理的基礎上如何對算法進行抽象概括，建立筆算乘法的計算模型，為后續筆算乘法的學習作好鋪墊，促進學生運算能力的有效發展，改變重運算輕能力發展舊常態，確實落實學生核心素養的發展。

【實踐描述】

一、課前問卷調查

本著實事求是、因材施教的原則，特設計了課前學情調查問卷，以了解學生已有的知識經驗基礎。共設計了3道題目，第一題旨在了解學生口算乘法的掌握情況。第二題是開放題，設計目的有二，其一，本題可以算法多樣化，旨在了解學生的方法選擇情況；其二，重點在于了解學生用口算的方法時列式的情況。第三題旨在了解學生對筆算乘法的最原始的理解，了解學生在沒有教學筆算乘法時其掌握的情況。

1.口算

14×2= 23×3= 12×4= 134×2=

2.想一想：23×3=（ ）

相信每位同學都能計算出23乘3積是69，那這個結果是怎么得到的？請把你的計算方法寫出來。

3.你聽過或見過列乘法豎式來計算乘法嗎？如果你認為你會，請試著列豎式計算下面的題目，如果不會，此題可以不做。

21×4=

我們從兩個實驗班級中分別選取了平時數學學習成績處于不同層次的20名學生參加問卷調查，比較典型的問卷如下：

從這些問卷中可以看出：

1.從第一題的答題情況可以看出：口算的正確率很高，說明口算的技能訓練較好。課后對學生進行了訪談，了解他們的口算方法，發現學生的口算方法和結果是對了，但“134×2=”的算理卻表達不清，這說明學生對乘法的算理理解不夠，遷移類推能力不足。

2.從第二題的答題情況看：極少部分學生用連加的方法計算，絕大部分學生都是用口算的方法來計算，說明大部分學生頭腦中已經完成了算法的優化，且口算的算理理解較好。

3.從第三題的答題情況看：有20%的學生能列出標準豎式計算并能正確計算，說明筆算乘法對于學生來說并不完全是一無所知；有35%的學生能列出豎式但計算方法不正確，只把個位上的數相乘，十位上的數直接抄下來，說明學生受到了加、減法豎式的計算方法的負影響；還有45%的學生沒有做。

二、精研教材

人教版小學數學新教材的編排如圖：

教材給出了四種算法。口算乘法前一課剛剛學習，通過擺小棒，運用數形結合的方法直觀地幫助學生理解了口算的算理，所以本課并沒有出現擺小棒的方法。本節課是在學生充分理解了口算乘法的算理的基礎上進行教學的，重點是讓學生能根據算理正確列乘法豎式計算，初步建立列乘法豎式計算的模式。而疊加加法豎式計算是根據乘法的意義來計算的，通過與乘法豎式的對比，能幫助學生理解筆算乘法計算的算理，溝通加法與乘法的關系。虛線框中的列豎式計算（下文叫“初始”豎式）則是根據口算乘法的算理與算法來計算的，它是學生理解筆算乘法算理和抽象算法的重要資源，就像一座橋梁，把學生已學的口算乘法與新知筆算乘法建立起了聯系，通過對比會發現它們的算理其實一樣，只是換了一種記錄形式而已。“標準”豎式計算是“初始”豎式的簡便寫法，通過與初始豎式的對比，進一步理解每一步乘的意義。

三、精心設計關鍵教學環節的數學學習活動

（一）活動二：自主探索——經歷算法的形成過程

師：同學們，計算加法咱們可以列成豎式來筆算，其實乘法也可以列豎式來筆算，咱們這節課就來學習列豎式計算乘法，也就是“筆算乘法”（板書課題）

1.獨立嘗試：23乘3該怎么筆算呢？老師告訴你一個秘密，其實呀，筆算的計算道理和口算的計算道理是一樣的，動手試一試吧！

2.小組交流：勇于思考和嘗試就會有驚喜！瞧，大家都試著列出了自己的乘法豎式，那你的豎式是怎么列的？又是怎么算的呢？接下來就帶著這兩個問題在小組內輕聲地交流交流。

[設計意圖]尊重學生的個性差異，讓學生自主嘗試計算，特別注意尋找“初始”算法，為“標準”算法做好鋪墊。教學過程體現先學后教，以學定教的教育理念。

（二）活動三：算法對比——溝通算法聯系

師：咱們一起來曬曬自己的筆算方法，老師找到了兩個不同豎式（見下圖），有請第一種算法的同學先到黑板上來給大家講講，先說說你的豎式是怎么列的，再說說你是怎么算的。

生1：先寫23，再把3寫在3的下面。

師：也就是對齊個位。

生1：先算3×3=9，寫在個位，再20×3=60，寫在下一行，再把兩個積加起來。

師：比較列豎式計算的方法和口算的方法，你發現了什么？

生2：計算方法其實是一樣的，只是寫法不一樣。

生3：列豎式寫起來更簡單！

生4：……

師：同學們說得都很有道理，我也發現了他們的計算道理完全是一樣的。怎么一樣呢？我們一起來瞧瞧（見下圖）。其實呀！這里只是把3步計算過程在一個豎式上完成了！

師：咱們再來看一看第二種算法，有請第二種方法的同學上臺當小老師，講一講你的想法。

生1：……

師：咱們來比比這兩個豎式，它們有什么不同呀？

生1：第一個豎式加了60，第二個豎式沒有加60。

生2：第一個豎式有加，第二個豎式沒有加。

生3：第一個豎式更復雜，第二個豎式更簡單。

生4：第一個豎式的20×3等于60，第二個的20×3等于6。

師：第一道豎式3乘十位上的2積寫成了60，第二道豎式3乘十位上的2積寫成6，為什么可以這樣寫呢？

生5：十位上的2乘3等于6個十，把6寫在十位上就是表示6個十，6個十也就是60（連線見下圖），所以他們的答案是一樣的。

師：聽你們一說，老師也明白了，十位上寫6表示的就是6個十，也就是60，十位上的6和個位上的9合起來就相當于60加9了。

師：那兩種筆算方法你更喜歡哪種？為什么？

生：第二種，因為更簡單！

師：都喜歡第二種嗎？看來簡單就是一種美。

師：咱們用筆算的方法也能計算出了23乘3的積是69，那劉虹一天跑的路程就是69千米了，69千米那可是相當于從于都到贛州的路程了，如果是我們步行的話，要走十幾個小時呢！你現在知道劉虹奪冠的秘密了吧？

生：陽光總在風雨后，優秀的成績都是用汗水換來的，我要向她學習這種刻苦努力堅持不懈的精神。

[設計意圖]通過二次對比，由易到難，由舊到新，層層遞進，最終抽象概括出一般方法。第一次“初始”豎式與口算乘法的計算方法進行對比，通過一一對應連線的方法讓學生直觀地感受列乘法豎式計算的算理與口算的道理是一樣的，只是把三步計算過程列成了乘法豎式，初步感受乘法豎式的計算方法。第二次“標準”豎式與“初始”豎式的對比，溝通兩者之間的聯系，理解標準豎式乘的每一步的意義，讓學生清楚理解60在位值制下可以只在十位上寫6，使學生明白“為什么與十位上的數相乘的積要寫在十位的下面”的道理。

【反思和啟示】

運算能力作為學生核心素養的重要組織部分，新課程對其進行了明確定義：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。”培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力不僅僅指會算和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，比如運算對象、運算的意義、算理等。本案例的研究正是基于以上認識來展開的，既要讓學生掌握怎么算，還要讓學生理解為什么這樣算，怎樣選擇合適的方法算，著重提升學生的運算能力，使學生的核心素養得到有效發展。通過本案例的研究，我們所得到的反思與啟示有如下幾點：

1.本課例的設計注重了學生自主探索的過程，充分展現了學生思考，突出了學生的主體。

新課程提出學生是學習的主體，要讓學生親身經歷知識的產生與形成過程，在這個過程中獲得知識與技能，感悟思想，積累經驗，從而落實“四基”。為了讓每一位學生都有充分探索用筆算的方法計算的過程，本課是在用學過的疊加法和口算方法計算后，再提出讓學生用筆算方法嘗試進行計算的要求，保證了每一位學生有充分的時間與空間進行自主探索。這樣的安排既體現了以生為本和先學后教的教育理念，又展現了學生對筆算乘法真實初始的想法，生成了“初始”豎式，為后面學習“標準”豎式提供了寶貴的學習資源。

2.本課教學通過方法比較，能有效溝通各種算法之間的聯系，幫助學生理解算理。

本課共生成了四種算法，對這四種算法共進行了兩次比較：第一次比較“初始”豎式與口算乘法之間的聯系，通過連線直觀建立豎式乘的每一步與口算每一步的一一對應關系，讓學生感悟列豎式計算的算理與口算的算理相同，列豎式計算只是把三步口算寫成了豎式的形式。第二次比較“初始”豎式與“標準”豎式之間的關系，緊緊扣住3乘十位上的2的積來進行討論。討論在“初始”豎式中積是寫作60，在“標準”豎式中積是寫作6，是什么道理。通過討論，學生借助數位說明了其中的道理——6寫在十位上表示的就是60，從而實現了兩種豎式的歸一，順利實現了從“初始”豎式的算法的認識過渡到“標準”豎式的認識。通過這種關系鏈的遞進對比學習方法，有效地溝通了新舊方法之間的聯系，明白了為什么這樣算，理解了乘的每一步的意義及書寫位置，為后面學習筆算乘法奠定了基礎。

3.深入鉆研教材，做到教材處理到位而不越位，是提高教學實效的重要保證。

要設計好一節課，必須扎實教材鉆研工作，摸清知識基礎和認識起點。本課的一個重點就是幫助學生理解算理，因此教師要善于選擇多種方式幫助學生理解算理。常用的理解算理的方式有實物原型、直觀模型、已有知識等，本課既可以用小棒的直觀模型，也可以用已有知識。到底用哪種？還是兩種一起用？通過分析教材發現，其實在前一課口算乘法學習時就用小棒幫助學生理解，顯然本節課不再需要用直觀模型，只要用已有知識來解釋就可以了，所以本節課直接從口算乘法作為教學的起點，直接進入筆算乘法的探索，有效地提高了課堂教學實效。

4.練習的精心設計促成了計算方法的內化與形成，有效地提高學生的運算能力對于運算的道理有所理解后，還需要學生對使用的方法進行再熟悉，以達到內化。基于此原則，概括出算法并沒有安排在教學例題的時候，而是放在了鞏固練習第一題中。第一題既要鞏固兩位數乘一位數的計算方法，同時也要類推多位數乘一位數的計算方法。經過這樣的練習，學生對筆算乘法的算法起到了較好的內化作用，最終水到渠成地對算法進行抽象概括，形成筆算方法。為了更進一步內化算法，解決學生易漏乘十位和百位上的數這個問題，還設計了一道專項練習，專門訓練學生填十位或百位上的數，學生很好地鞏固了和內化了計算方法，提升了運算能力。