淺談數學模型在數學教學中的應用

張琪

【摘要】數學模型在學生的數學學習中有著重要的作用和意義，能夠更好地促進學生發現問題、解決問題的能力。數學建模是一個綜合性的過程，在數學模型建立的課程中，如何更好地幫助學生建立數學模型，如何準確的應用數學模型解決生活中的數學問題，具有重要的意義。

【關鍵詞】數學模型 構建 數學技能 應用

一、建立數學模型的意義

數學模型是用數學語言來模擬空間形式和數量關系的模型。確切地說，數學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。一切數學概念、公式、理論體系、算法系統、表格、圖示等都可稱為數學模型。

數學建模是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型來解釋現實問題的應用過程。

如在探究三角形全等的條件中，通過體會三角形的特征，建立全等三角形的基本模型。從而明確依靠三個角都相等是不能判別出三角形全等的，而三條邊都相等的三角形卻是全等三角形。在建立了全等三角形的數學模型后，得出全等三角形的判定方法“邊邊邊（SSS）”，從而又通過邊角的對應關系，得出其他判定方法還有“邊角邊（SAS）”“角邊角（ASA）”“角角邊（AAS）”。可見，數學建模是一種數學思想方法，是運用數學的語言和方法，遵循數學規律，通過抽象、簡化出解決實際問題的一種強有力的數學手段。

二、促進學生形成數學模型的策略

數學建模是培養學生應用數學知識解決實際問題的過程，在建模過程中加深對數學知識的理解，提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

如“一次函數的簡單應用”的教學設計沒有直接告訴學生如何進行一次函數模型的構建，再讓學生經歷一次具體的練習，根據學生已有知識和經驗進行大量的探索和嘗試，教學始終關注學生的課堂生成，一切生成都源于自然.學生從平均數出發，利用總數平均數、增長率平均數、增長幅度平均數等平均數原理構建方程模型，在不斷的討論中，逐步生成函數模型，在函數模型構建中關注模型的形成過程，即一次函數如何選擇兩個代表性的點，對不同的選擇方式進行充分的論證與比較，最終形成了一致的認識：選擇兩個具有適當距離的點構成一條直線，其余各點均勻分布在直線兩側。

整堂課，學生經歷“自主構建—爭論論證—再構建—再論證”不斷完善模型的構建過程，數學模型的構建完全由學生自發生成，所有模型的生成均顯得自然、合理。在模型選擇中，完全放手讓學生進行比較分析，重視學生的學習體驗。在模型構建教學中讓學生學會選擇和比較，在模型應用中發展學生的綜合能力。

根據上面的課例可以看出，數學建模的形成受諸多方面的因素的影響，我認為可以從以下方面去考慮：

1.教師的促進性技能，教師一定要營造一種積極、探究的環境，在這個環境中，學生能進行思考、分析、解決問題，學生的想法和問題是被尊重的，教師和其他學生應對這個學生的想法給出建設性的反饋。

2.教師的數學素養，教師要很好地理解與情境相關的數學知識以便引導學生提出質疑并在傾聽的時候進行反思。

3.教師和學生使用多種表征方式和數學工具，如動態幾何軟件、電子表格、網絡、圖形、計算器等。

4.大量采用開放式的問題.有的問題具有多種可行的答案，多種表征方式和多種解決辦法.而有些人為設計的問題似乎會出現在真實的情境中，但并不是真實的或者不符合認知要求。

5.問題情境。選擇現實的問題是非常重要的，那些與學生的經歷相關、能激發學生興趣的現實問題是首選的。

三、建立數學模型的步驟。

根據個人的教學經驗，認為數學建模的建立，需以下步驟：“模型的假設與準備——模型的建立與求解——模型的檢驗與分析——模型的應用與總結。”

1.模型的假設與準備。根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。了解問題的實際背景，明確其實際意義、建模目的，搜集掌握對象的各種信息.弄清對象的特征，用數學語言來描述問題及其本質。

2.模型的建立與求解。在假設的基礎上，利用對象的內在規律和適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。利用獲取的數據資料，采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術，對模型的所有參數做出計算（估計）。

3.模型的檢驗與分析。將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋.如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復整個建模過程。對模型解答所得結果進行數學上的誤差判定，數據穩定性等分析。

4.模型的應用與總結。應用方式因問題的性質和建模的目的而異。數學建模的過程是提升學生數學能力的必由之路與有效手段。事實上，所有的公式、定理的教學都是數學建模的教學。其中，公式、定理結論的發現、正確性的驗證、結構的提煉、符號化表征就是建模過程；將具體問題的條件、結論結構與模型特征對比分析，并轉化為熟知的公式、定理的條件，使演繹或運算過程簡化，這個過程就是模型運用過程。

四、培養學生數學建模素養應注意的地方

建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。

1.改變以教師為中心、以知識傳授為主的傳統教學模式。教學中應以學生為中心、以問題為主線、以培養能力素養為目標來組織教學工作。如在教學代數式方面的知識時，讓學生充分體會一次函數、方程、不等式的意義，關注概念、法則、性質等形成的過程，重視法則、性質在解決實際問題中的運用，培養識別圖表信息的能力。

2.加強對學生數學技能的訓練，如解方程或方程組。將數學與現實、靜態與動態結合在一起。教學中不僅關注數學內容的掌握，還特別注重應用意識。引導學生善于用數學知識和思想方法分析生活中的數學現象。

3.改變學生的學習方式。數學建模是一個綜合性的過程，它具有問題性、活動性、過程性、探索性，因而它不同于單純的數學解題，這給學生學習方式的改變帶來了很大的空間。

總之，建模教學，既不是憑空創造新結論，也不能一切都模型化。教學中要通過定理、公式的歸納與證明、發現與推導、選擇與運用，培養學生的建模意識，并在這個過程中積累解決數學問題的經驗。

教材規定：“經過證明的真命題稱為定理”，數學中被證明的真命題不計其數，為什么不是都稱為定理、公式呢？例如，“一線三等角”問題，只需等角轉化便能解決，況且其特征表述復雜，不宜作為數學模型。在教學中我們會有不少疑問，如“直角坐標系的中點坐標公式能不能直接用？”“能直接用射影定理嗎？”等問題，這說明教師潛意識里還是以太多的模型記憶替代數學本質方法的探究。如果任由數學“模型”泛濫，學生必然要記住無窮盡的數學模型，會留給學生更多的機械記憶。