非局域高次非線性介質中的多極暗孤子?

鄭一帆 黃光僑 林機

(浙江師范大學物理系,金華 321004)(2018年4月23日收到;2018年7月30日收到修改稿)

研究一維非局域三-五次非線性模型下,暗孤子和多極暗孤子的新解和傳輸特性.發現非局域程度和非線性參量變化對暗孤子的峰值和束寬產生影響,并且在特定的競爭非局域非線性參數下存在穩定基態暗孤子和多極暗孤子的束縛態.另外,討論了在局域自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性介質中暗孤子和兩極暗孤子的傳輸特性,發現孤子比在自散焦三次和自聚焦五次的非線性介質中傳輸更加穩定.進一步研究了單暗孤子和三極暗孤子的功率與傳播常數和非局域程度的關系,并討論了不同類型暗孤子的線性穩定性問題.

1 引 言

Mihalache等[1]在2006年提出一維非局域競爭三-五次(C-Q)非線性模型并研究了亮孤子和偶極孤子傳輸穩定性.Doktorov和Molchan[2]根據Toda鏈模型給出了弱非局域C-Q介質中的多孤子(鏈孤子)的解析解,并進一步數值分析孤子與孤子之間的相互補償作用.對于弱非局域C-Q介質,Tsoy[3]研究了亮孤子和暗孤子的特點.黃光橋和林機[4]研究了非局域自聚焦三次和自散焦五次非線性介質中的多極亮孤子的存在條件和傳輸穩定性.

暗孤子中心位置光束場強為零,遠離中心位置光束場強逐漸增大最后兩端趨于一個固定值.近年來,對非局域三次非線性介質的Snyder和Mitchell模型[5]的暗孤子研究也越來越多.Nikolov等[6]研究了暗孤子穩定束縛態的形成和長程相互作用.Gao等[7]從實驗和理論上研究了自散焦非局域非線性介質中的表面暗孤子特征.Ouyang等數值分析了暗孤子的特點[8],同時還研究了由多個暗孤子形成的束縛態特征和它們之間的相互作用[9].Fischer等[10]研究表明空間橫向傾斜暗條紋的相互作用特征與介質的非局域非線性響應相關.Pu等[11]發現,只有自散焦非線性的向列液晶中存在暗孤子和灰孤子,同時發現非局域非線性作用極大地影響了暗孤子和灰孤子的速度和束寬.暗孤子在準一維的玻色-愛因斯坦凝聚中的碰撞等相互作用性質也有相應的研究[12].Krolikowski課題組[13,14]利用變分方法研究了非局域三次非線性介質中的暗孤子的特性.對于非局域非線性C-Q模型,人們嘗試從解析和數值方法研究暗孤子,該課題組[15]對該模型進行特定形變,使用變分方法并結合數值分析,研究了暗孤子的特點和相互作用.Xu等[16]對非局域非線性中孤子的特性和穩定性進行了系統研究.本文基于非局域非線性C-Q模型,研究非局域非線性C-Q介質中不同暗孤子的特點和暗孤子之間的相互作用,并研究三次非局域和五次局域中的暗孤子的束縛態存在性和穩定性.

2 非局域C-Q介質中暗孤子的物理模型

在一維競爭非局域非線性C-Q介質中光的傳播,滿足以下無量綱化的非局域非線性薛定諤方程:

其中,ψ是光場振幅;n3,5是光場誘導折射率;自變量x和z分別表示光束寬度橫向坐標和光傳播方向的縱向坐標;采用指數函數類型的非局域響應函數該函數滿足歸一化條件參數a3和a5分別表示三次和五次的非線性強度,它們取正值和負值分別對應非線性分量的自聚焦和自散焦;d3,5代表三次和五次非線性對應的非局域程度(d3,5→0對應局域,d3,5→∞對應強非局域).事實上,無量綱化的非局域非線性薛定諤方程(1)中的變量和參量與實際物理量之間由以下變換相聯系[17,18]

其中ξ,η和E(η,ξ)分別是實際光傳播方向、橫向坐標和光電場強度;參量k=2πn0/λ;w0,n0,n2和E0分別表示介質不考慮非線性效應時的波數、暗孤子光束的橫向初始寬度、介質的線性折射率、介質的非線性折射率和光波電場強度的最大振幅.在該非局域響應系統中暗孤子功率為

假設耦合方程(1)的解為ψ(x,z)=w(x)×exp(ibz),其中w(x)為一個實函數,b為孤子的傳播常數,方程(1)可化為

當非局域程度d3,5→0,根據文獻[19,20],方程(2)有如下解析解:

3 暗孤子解和傳輸穩定性

下面研究方程(1)中暗孤子解的特點.結合文獻[22]的暗孤子解,采用牛頓迭代法對方程(2)進行求解,得到暗孤子的幅值分布.這里采用相對無限大區間對暗孤子進行牛頓迭代法求解,得到的暗孤子解的兩端具有振蕩的尾部.截取暗孤子的兩端是平行x軸的,故兩端值不固定在某一個數上.通過分步傅里葉方法可以驗證暗孤子的傳輸穩定性.為了防止暗孤子兩端的振蕩尾部干擾傳輸,把兩端彎曲區間的取值和暗孤子兩邊平行x軸的數值一樣,然后進行數值演化.另外,同時也對孤子的數值初值做了線性穩定性分析,假設系統初值的擾動解為

其中v(x,z),w(x,z),h(x,z),g(x,z)是微擾小量;m3,m5為n3,n5的數值初值. 將(4)式代入方程(2),忽略高階小量,可得關于v(x,z)和w(x,z)的線性方程:

其中

通過數值方法計算λ,若孤子給出的λ含有實數部分,說明孤子是不穩定的.

在本節中,設定傳播常數b=?1,非線性參量|a3|=1,討論在競爭非局域自散焦三次和自聚焦五次非線性介質中暗孤子的特點和傳輸穩定性.圖1給出了不同非局域程度下暗孤子的特點和穩定傳輸圖,從圖1(a)可以看出,在五次非局域程度d5增大時,暗孤子的兩個凸出的駝峰逐漸降低,而光場誘導的折射率的幅值升高.然而,從圖1(d)發現,在d3逐漸增大時,暗孤子的兩個駝峰也相應增高,同時折射率的幅值也隨之增大.在圖1中,非局域C-Q介質中的基態暗孤子始終保持穩定傳輸的狀態.并且,根據線性穩定性分析,從數值上也進一步發現基態暗孤子在它存在區域均是穩定的,這與文獻[23]中數值證明基態暗孤子下有穩定的束縛態結論相同.無論非局域程度d3和d5是否相等,基態暗孤子解依然存在.大量的數值結果表明,并不是所有a5自聚焦參量都能存在基態孤子解,當d3=1,d5=10時,自聚焦五次非線性參量存在一個最大值只有a5小于該最大值時才存在暗孤子解.當參數a3=?1,a5=0.2,d5=10時的單暗孤子功率P與傳播常數b的關系如圖1(g)所示,可以發現,當d3取不同值并且b<0時,單暗孤子功率是隨b的減少而單調增加的,在這樣的區間內,單孤子均存在.圖2給出了不同非線性參量下暗孤子的特點和穩定傳輸圖,從圖2(a)可以看到,當a5的值減小時,暗孤子的幅值也在減小,而折射率只是在中心區域發生了微小的增長.由此可知,即使不改變傳播常數b,暗孤子的幅值分布和a5也存在著相應關系.

圖1 不同非局域程度下暗孤子的特點和穩定傳輸圖 (a)a5=0.2,d3=1時暗孤子光場波形,d5=1對應藍色實線1,d5=10對應紅色實線2,虛線1′和2′分別是相應的折射率分布;(b)a5=0.2,d3=1,d5=1時暗孤子傳輸;(c)a5=0.2,d3=1,d5=10時暗孤子傳輸圖;(d)a5=0.2,d5=10時暗孤子光場波形,d3=1對應藍色實線1,d3=2對應紅色實線2,d3=5對應黑色實線3;1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)a5=0.2,d5=10,d3=2時暗孤子傳輸圖;(f)a5=0.2,d5=10,d3=5時暗孤子傳輸圖;(g)a3=?1,a5=0.2,d5=10時功率與傳播常數的關系;(h)a3=?1,a5=0.2,d3=1時功率與傳播常數的關系;(i)功率與非局域程度d5的關系圖Fig.1.Characteristics and stable propagation of the dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a5=0.2 and d3=1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a5=0.2 and d3=d5=1;(c)propagation when a5=0.2,d3=1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=0.2 and d5=10;blue solid curve 1 corresponds to d3=1;red solid curve 2 corresponds to d3=2;black solid curve 3 corresponds to d3=5;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=0.2,d3=2 and d5=10;(f)propagation when a5=0.2,d3=5 and d5=10;(g)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d5=10;(h)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d3=1;(i)the power versus nonlocal parameters d5.

圖2 不同非線性參量下暗孤子的特點和穩定傳輸圖 (a)d3=d5=1時暗孤子光場波形,藍色實線1對應a5=0.2,紅色實線2對應a5=0.02;1′和2′虛線分別是相應的折射率分布;(b)d3=d5=1,a5=0.02時暗孤子的傳輸圖Fig.2.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1,a5=0.2(blue solid curve 1)and a5=0.02(red solid curve 2);(b)propagation when d3=d5=1,a5=0.2.

圖3 不同非局域程度下兩極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態 (a)d3=1,d5=1時兩極暗孤子光場波形(藍色實線1),d3=1,d5=10時兩極暗孤子光場波形(紅色實線2),1′和2′虛線分別是相應的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時兩極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=10時兩極暗孤子傳輸圖;(d)d5=10,d3=1時兩極暗孤子光場波形(藍色實線1),d5=10,d3=2時兩極暗孤子光場波形(紅色實線2),d5=10,d3=5時兩極暗孤子光場波形(黑色實線3),1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)線性穩定性分析圖,擾動增長率實部與傳播常數關系圖(d3=2,d5=10和d3=5,d5=10)Fig.3.Characteristic and stable propagation of the double-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=10(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=d5=1;(c)propagation when d3=1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=10 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=5(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)real part of the perturbation growth rate for the double-pole dark solitons versus propagation constant at d3=2d5=10 and d3=5,d5=10.

4 多極暗孤子的束縛態

研究發現,在競爭非局域C-Q模型中存在兩極暗孤子的束縛態.對兩極暗孤子進行數值分析前,給定參數b=?1,a3=?1,a5=0.2,然后研究在不同的d3和d5下束縛態的變化情況.由圖3(a)可以發現隨著非局域程度d5的增大,兩極暗孤子的幅值減小并且束寬變窄,相應的折射率幅值增大而寬度變窄.圖3給出不同非局域程度下兩極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態,由圖3(b)和圖3(c)可以看出,兩極暗孤子的束縛態能穩定傳輸.并且在這些參量下,改變傳輸常數,兩極暗孤子穩定性不變.然而,當d5不變而d3變大時,圖3(d)顯示兩極暗孤子的幅值和束寬同時增大,而相應的折射率幅值和寬度減小.圖3(e)是兩極暗孤子線性穩定性分析圖,在b=[?0.9,?1]區域,兩極暗孤子是不穩定的.另外,兩極暗孤子束縛態的穩定性還與它們中間負區域大小和折射率的峰值分布有著密切關系.圖4給出了兩極暗孤子不穩定的束縛態,由圖4(a)可以看出,當折射率中心成一個波谷形狀時,兩極暗孤子負區域越大,即加絕對值后中心波峰越高,兩極距離越遠.因此中間負區域給兩極暗孤子的排斥作用越大,最終導致束縛態不穩定傳輸(見圖4(b)).如果兩極暗孤子兩側向上的駝峰幅值分布大于向下的兩極(見圖4(d)),則駝峰所引起的吸引作用比兩極的排斥作用大,駝峰向中間靠近和暗孤子的兩極發生相互作用,導致四極變成兩極排斥傳輸(見圖4(e)).這些情況下的線性穩定性分析發現λ存在實數,驗證了它們的不穩定傳輸(見圖4(c)和圖4(f)).

圖4 兩極暗孤子不穩定的束縛態 (a)d3=1,d5=3時兩極暗孤子的光場波形圖(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(b)d3=1,d5=3時對應的兩極暗孤子的傳輸圖;(c)關于情形(a)的線性擾動增長率實部與虛部圖譜;(d)d3=5,d5=3時兩極暗孤子的光場波形圖(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(e)d3=5,d5=3時對應的兩極暗孤子的傳輸圖;(f)關于情形(d)的線性擾動增長率實部與虛部圖譜Fig.4.Unstable propagation of the double-pole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=1 and d5=3;(b)propagation when d3=1 and d5=3;(c)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate for the case(a);(d)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=5 and d5=3;(e)propagation when d3=5 and d5=3;(f)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate for the case(d).

圖5 不同非局域程度下三極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態 (a)d3=1,d5=1時三極暗孤子光場波形(藍色實線1),d3=1,d5=10時三極暗孤子光場波形(紅色實線2),1′和2′虛線分別是相應的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時三極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=10時三極暗孤子傳輸圖;(d)d5=10,d3=1時三極暗孤子光場波形(藍色實線1),d5=10,d3=2時三極暗孤子光場波形(紅色實線2),d5=10,d3=5時三極暗孤子光場波形(黑色實線3);1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)d5=10,d3=2時三極暗孤子傳輸圖;(f)d5=10,d3=5時三極暗孤子傳輸圖;(g)a3=?1,a5=0.2,d5=10時功率與傳播常數的關系;(h)a3=?1,a5=0.2,d3=1時功率與傳播常數的關系;(i)b=?0.5,d3=1,d5=1時的線性擾動增長率實部與虛部圖譜Fig.5.Characteristic and stable propagation of the tri-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Tri-pole soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=10(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=d5=1;(c)propagation when d3=1,d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=10 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=5(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d3=2 and d5=10;(f)propagation when d3=5 and d5=10;(g)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d5=10;(h)the power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d3=1;(i)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when b=?0.5,d3=1,d5=1.

在競爭非局域C-Q介質中能支持更高階暗孤子的穩定束縛態,圖5給出了不同非局域程度下三極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態.在非局域程度d3不變的情況下,三極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而減小(見圖5(a)—(c)).然而,在d5不變的情況下,三極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d3的增大而增大.光場誘導的折射率變化情況卻恰恰與之相反(見圖5(d)—(f)).值得注意的是,從圖5(d)可以發現,折射率分布曲線3′和其他兩條非常不一樣,中間峰值更高,提供給孤子更強的吸引作用來平衡強光場零點帶來的相互排斥作用.圖5(g)和圖5(h)給出了當參數a3=?1,a5=0.2,d3=10和a3=?1,a5=0.2,d3=1時的三極暗孤子功率P與傳播常數b的關系圖.可以看出,當d3和d5取不同值并且b<0時,功率是隨b減少而單調增加的;在這樣的參數和傳播常數取值區間內,三極暗孤子均存在.當三極暗孤子的每個孤子峰之間達到合適的距離時,得到了三極暗孤子解,如圖6(a)所示,此三極暗孤子構成束縛態可以穩定傳輸,見圖6(c).三極暗孤子(圖6(b))在非局域程度d3>d5的情況下,仍然容易出現不穩定的束縛態,如圖6(d)和圖6(e)所示.而當五次非線性參量a5>0.2時不存在該特征的束縛態.在上述三極暗孤子的存在區間,隨著傳播系數b的改變三極暗孤子總是穩定傳輸的.圖5(i)給出了當b=?0.5,d3=d5=1時線性擾動增長率實部與虛部圖,此時λ只存在虛部,能穩定傳輸.然而,在之前給定的參數條件下不存在穩定傳輸的更高階暗孤子,因此重新給定參數b=?2,a3=?0.5,a5=?0.3,找到穩定傳輸的四極暗孤子,如圖7所示.在非局域程度d3不變的情況下,四極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而增大,見圖7(a)—(c).在d5不變的情況下,四極暗孤子的幅值和光束束寬同樣會隨著d3的增大而增大,見圖7(d)—(f),而光場誘導的折射率變化情況與之相反.但是當四極暗孤子兩兩孤子峰之間距離加大(見圖8(a))時,則出現了四極暗孤子不穩定的束縛態,如圖8(b)和圖8(c)所示.

圖6 三極暗孤子不同束縛態下的傳輸特征 (a)d3=d5=1時三極暗孤子的光場波形(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(b)d3=5,d5=3時三極暗孤子的光場波形(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(c)d3=d5=1,孤子間距為11.575時三極暗孤子的傳輸圖;(d)d3=5,d5=3時三極暗孤子的傳輸圖;(e)d3=5,d5=3時的線性擾動增長率實部與虛部圖譜Fig.6.Propagation of different tri-pole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=d5=1;(b)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=5 and d5=3;(c)propagation when d3=d5=1 and L=11.575;(d)propagation when d3=5 and d5=3;(e)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when d3=5 and d5=3.

暗孤子越高階越不容易存在穩定的束縛態,但在嚴格的參數限定下,仍能存在穩定傳輸的五極暗孤子,如圖9所示.給定參數b=?2,a3=?0.8,a5=?0.5時,非局域程度的影響與四極暗孤子相同,只是五極暗孤子的幅值、光束束寬以及對應的光場誘導折射率改變甚微.即在非局域程度d3不變的情況下,五極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而微小增大,如圖9(a)—(c)所示;在d5不變的情況下,五極暗孤子的幅值和光束束寬同樣會隨著d3的增大而微小增大,如圖9(d)—(f)所示.光場誘導的折射率變化情況與之相反.當d5大于6.1時,不再存在五極暗孤子.為了驗證競爭非局域C-Q非線性介質中并不容易穩定傳輸的五極暗孤子傳輸穩定性,將方程(2)的初始輸入加入白噪聲ψ(x,z=0)=w(x)[1+ρ(x)],其中ρ(x)為高斯分布的隨機噪聲,且方差δ2=0.01.利用分步傅里葉方法進行數值模擬可以得到白噪聲擾動下的五極暗孤子傳輸圖像,如圖10(a)和圖10(b)所示,加了白噪聲后的五極暗孤子仍能穩定地傳輸到z=600之后更遠的距離,同時可以發現,當d5保持不變、d3增加時,五極暗孤子束縛態穩定傳輸的距離會更遠.

圖7 不同非局域程度下四極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態 (a)d3=1,d5=1時四極暗孤子光場波形(藍色實線1),d3=1,d5=3時四極暗孤子光場波形(紅色實線2),1′和2′虛線分別是相應的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時四極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=3時四極暗孤子傳輸圖;(d)d5=1,d3=1時四極暗孤子光場波形(藍色實線1),d5=1,d3=2時四極暗孤子光場波形(紅色實線2),d5=1,d3=4時四極暗孤子光場波形(黑色實線3),1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)d5=1,d3=2時四極暗孤子傳輸圖;(f)d5=1,d3=4時四極暗孤子傳輸圖Fig.7.Characteristic and stable propagation of the quadrupole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=1,d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=3(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=1,d5=1;(c)propagation when d3=1 and d5=3;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=1 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=4(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d3=2 and d5=1;(f)propagation when d3=4 and d5=1.

圖8 四極暗孤子不穩定的束縛態 (a)d3=3,d5=1.9時四極暗孤子的光場波形圖(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(b)d3=3,d5=1.9時對應的四極暗孤子的傳輸圖;(c)d3=3,d5=1.9時的線性擾動增長率實部與虛部圖譜Fig.8.Unstable propagation of the quadrupole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=3 and d5=1.9;(b)propagation when d3=3 and d5=1.9;(c)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when d3=3,d5=1.9.

圖9 不同非局域程度下五極暗孤子的光場波形和穩定傳輸的束縛態 (a)d3=3,d5=5時五極暗孤子光場波形(藍色實線1),d3=3,d5=6時五極暗孤子光場波形(紅色實線2),1′和2′虛線分別是相應的折射率分布;(b)d3=3,d5=5時五極暗孤子傳輸圖;(c)d3=3,d5=6時五極暗孤子傳輸圖;(d)d5=5,d3=3時五極暗孤子光場波形(藍色實線1),d5=5,d3=4時五極暗孤子光場波形(紅色實線2),1′,2′虛線分別是相應的折射率分布;(e)d5=5,d3=3時五極暗孤子傳輸圖;(f)d5=5,d3=4時五極暗孤子傳輸圖Fig.9.Characteristic and stable propagation of the penta-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=3,d5=5(blue solid curve 1)and d3=3,d5=6(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=3,d5=5;(c)propagation when d3=3,d5=6;(d)soliton structure and induced refractive index when d3=3,d5=5(blue solid curve 1)and d3=4,d5=5(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d5=5,d3=3;(f)propagation when d5=5,d3=4.

圖10 加δ2=0.01白噪聲后五極暗孤子傳輸的束縛態 (a)d3=3,d5=5時五極暗孤子不穩定的傳輸圖;(b)d3=4,d5=5時五極暗孤子不穩定的傳輸圖Fig.10.Characteristic and propagation of the penta-pole dark solitons with the white noise of δ2=0.01:(a)Propagation with the white noise when d3=3,d5=5;(b)propagation with the white noise when d3=4,d5=5.

若將無量綱化的方程(1)轉化為實際物理量綱,對于單暗孤子(圖1)情形,選擇非局域非線性的若丹明B水溶液(濃度0.1 mmol/L)為介質,該溶液對光具有強吸收性質是一種自散焦介質,當選擇輸入光的波長為532 nm,輸入暗孤子的橫向寬度w0=25μm,功率為1.0 W,線性折射率n0為1.3,非線性折射率n2=4.0×10?11m2/W時[17],根據數值計算結果,可估算得單暗孤子的實際橫向寬度約為23.2μm.輸入光波長和暗孤子的橫向寬度以及功率取值同單暗孤子情形一樣,同時,在滿足數值計算要求的實驗參數下,對非局域程度d3=3,d5=5時的五極暗孤子(圖9(b)),可計算其實際寬度約為110.5μm.

5 局域三次和非局域五次介質中的暗孤子

在一維局域三次和非局域五次非線性介質中,光場振幅ψ、橫坐標上的光束寬度x和縱向坐標上的衍射長度z,滿足以下非局域非線性薛定諤方程:

式中n是高階項下的誘導折射率,可表達為

圖11 不同非局域和非線性介質中暗孤子的光場波形和穩定傳輸圖像 (a)a3=0.1,a5=?1時暗孤子光場波形,d5=1對應藍色實線1,d5=10對應紅色實線2,虛線1′和2′分別是相應的折射率分布;(b)a3=0.1,a5=?1,d5=1時暗孤子傳輸;(c)a3=0.1,a5=?1,d5=10時暗孤子傳輸;(d)a5=?1,d5=1時暗孤子光場波形;a3=0.1對應藍色實線1,a3=0.5對應紅色實線2,a3=1對應黑色實線3;1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)a5=?1,d5=1,a3=0.5時暗孤子傳輸圖;(f)a5=?1,d5=1,a3=1時暗孤子傳輸圖Fig.11.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlocal and nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a3=0.1 and a5=?1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a3=0.1,a5=?1 and d5=1;(c)propagation when a3=0.1,a5=?1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=?1 and d5=1;blue solid curve 1 corresponds to a3=0.1;red solid curve 2 corresponds to a3=0.5;black solid curve 3 corresponds to a3=1;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=0.5;(f)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1.

下面討論方程(4)和(5)的暗孤子解和折射率分布特點.圖11給出了不同非局域和非線性介質中暗孤子的光場波形和穩定傳輸圖像,從圖11(a)看到,在自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性介質中,基態暗孤子的波形和折射率分布與非局域C-Q介質非常類似.隨著非局域程度d5的增大,孤子的兩個駝峰升高,光束束寬也同時增大,而光場誘導的折射率的幅值變小,寬度展寬.在不同參數下,基態暗孤子都具有很好的傳輸穩定性,如圖11(b)和圖11(c)所示.但從圖11和圖12發現,折射率兩端并不像非局域C-Q介質下那樣固定于某一值(非局域C-Q介質中nmin=1),其兩端的絕對值隨著自聚焦非線性參量a3的增大而增大.如圖12(d)所示,基態暗孤子的幅值和光束束寬也隨著a3的增大而增大.因此,孤子在光強為零的地方產生的強排斥作用和誘導折射率產生的強吸引作用平衡,實現了基態暗孤子的穩定傳輸,如圖11(e)和圖11(f)所示.值得注意的是,在非線性參量a3繼續增大的情況下,暗孤子兩個駝峰尾部也逐漸有波浪形的孤波產生.當a3=1.27時,從圖12(a)看到暗孤子變成了呼吸孤子,并且能穩定傳輸,如圖12(c)所示.在非線性參量a3>1.27時基態暗孤子不復存在.相應于圖12(b)和圖12(d),暗孤子在自散焦三次和非局域自聚焦五次非線性的介質中變得非常不穩定.折射率分布在x軸的上半部分,引起暗孤子兩端的振蕩,進而產生多個孤子峰造成暗孤子的不穩定.

圖12 不同非線性介質中暗孤子的光場波形和傳輸的穩定性 (a)a3=1.27,a5=?1,d5=1時暗孤子的光場波形(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(b)a3=?1,a5=0.1,d5=1時暗孤子的光場波形(藍色實線)和誘導折射率(紅色虛線);(c)a3=1.27,a5=?1,d5=1時暗孤子的傳輸圖;(d)a3=?1,a5=0.1,d5=1時暗孤子的傳輸圖Fig.12.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlinear parameters:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when a3=1.27,a5=?1 and d5=1;(b)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when a3=?1,a5=0.1 and d5=1;(c)propagation when a3=1.27,a5=?1 and d5=1;(d)propagation when a3=?1,a5=0.1 and d5=1.

在局域三次和非局域五次非線性的介質中依然支持多極暗孤子的束縛態.圖13給出了自聚焦三次和自散焦五次非線性介質中兩極暗孤子的束縛態.從圖13(a)可以看出,兩極暗孤子與基態暗孤子一樣,束縛態的駝峰和束寬都隨著非局域程度d5的增大而增大,光場誘導的折射率幅值減小.在非局域程度的變化區間內,兩極暗孤子始終有穩定的束縛態.其他參量不變,當非線性a3逐漸增大時,兩極暗孤子波形會整體向上移動,并且駝峰升高,兩側開始出現振蕩波形,而折射率分布下降,峰值增大,也出現了振蕩波形,如圖13(d)所示.兩極暗孤子在a3>1.18時開始出現不穩定傳輸,如圖13(f)所示,仔細觀察該圖發現,束縛態的振蕩波形像水波一樣,不斷向外跌宕傳輸,這必定會引起兩極暗孤子最終排斥發散傳輸.當非線性參數a3>1.27時不存在兩極暗孤子的束縛態.

圖13 不同非局域和非線性介質中兩極暗孤子的束縛態和傳輸的穩定性 (a)a3=0.1,a5=?1時兩極暗孤子光場波形,d5=1對應藍色實線1,d5=10對應紅色實線2,虛線1′和2′分別是相應的折射率分布;(b)a3=0.1,a5=?1,d5=1時兩極暗孤子傳輸;(c)a3=0.1,a5=?1,d5=10兩極暗孤子傳輸;(d)a5=?1,d5=1時兩極暗孤子光場波形;a3=0.1時為藍色實線1,a3=0.5時為紅色實線2,a3=1時為黑色實線3;1′,2′和3′虛線分別是相應的折射率分布;(e)a5=?1,d5=1,a3=1時微振蕩兩極暗孤子傳輸圖;(f)a5=?1,d5=1,a3=1.18時微振蕩兩極暗孤子傳輸圖Fig.13.Characteristic and stable propagation of the double-pole dark solitons for different nonlocal nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a3=0.1 and a5=?1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a3=0.1,a5= ?1 and d5=1;(c)propagation when a3=0.1,a5= ?1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=?1 and d5=1;blue solid curve 1 corresponds to a3=0.1;red solid curve 2 corresponds to a3=0.5;black solid curve 3 corresponds to a3=1;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1;(f)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1.18.

6 結 論

本文研究了非局域C-Q介質中的基態暗孤子以及多極暗孤子的特點.首先,研究了自散焦三次和自聚焦五次非線性中的暗孤子的幅值和束寬受非局域程度的影響.結果表明,非線性參量不僅對孤子的幅值增長造成影響,而且與孤子上下平移有著密切關系,但是光場誘導的折射率兩端值始終是一個固定值.數值分析結果發現,基態暗孤子可以穩定傳輸,兩極和三極暗孤子也存在穩定的束縛態,對于更高極暗孤子,選擇合適的非局域常數和傳播常數,仍然可以得到穩定傳輸的四極和五極暗孤子,但是對于一些五極暗孤子,遠距離傳輸將是不穩定的.通過線性穩定性分析發現,兩極暗孤子存在不穩定區域;而對于其他情形,線性穩定性分析結果與傳播的穩定性結果一致.其次,討論了局域三次和非局域五次非線性介質中基態暗孤子和兩極暗孤子的特點.結果表明,暗孤子和兩極暗孤子的幅值和束寬都受非局域程度和非線性參量的影響.而誘導的折射率兩端值則會因為三次非線性參量的改變而改變.暗孤子和兩極暗孤子的束縛態在自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性下傳輸更容易穩定,而在自散焦三次和非局域自聚焦五次非線性中發散不穩定.