基于拓展分離變量法的層合材料瞬態傳熱分析?

2018-12-02 11:11:12李長玉林水木戴海燕呂東霖

物理學報 2018年21期

李長玉林水木戴海燕呂東霖

1)(華南理工大學廣州學院汽車與交通工程學院,廣州 510800)2)(昆山科技大學機械工程系,臺灣 710030)(2018年4月19日收到;2018年7月19日收到修改稿)

層合材料各層熱物理參數不同,難以用常規的分離變量法求解.針對此問題對常規分離變量法進行了拓展,將層合材料受熱時的溫度場在時間域上分成微小時間段,在每個微小時間段內層合材料交界處的溫度可認為隨時間正比變化,并假設比例系數,此時在微小時間段內對各層分別利用分離變量法單獨求得解析解,根據交界處溫度相等能量連續的關系可求出比例系數,進而求出該微小時間段內的溫度場,通過循環求解可得整個時間段內的溫度場.之后,利用拓展的分離變量法對常用層合隔熱材料瞬態傳熱進行了分析,通過與有限元方法計算的結果比較,驗證了本文方法的正確性,分析了隔熱材料類型、厚度,材料表面對流換熱系數,空氣溫度等參數對隔熱效果的影響.拓展分離變量法利用解析的方式求解了層合材料瞬態傳熱問題,物理意義比常規的數值方法明確,計算效率也較高.

1 引言

層合隔熱材料目前廣泛應用在各種保溫隔熱系統中,例如建筑墻體的隔熱,冰箱、保溫箱箱壁隔熱,航空航天器隔熱等[1?3].精確預測、分析多層隔熱材料瞬態傳熱情況對隔熱系統的設計具有至關重要的作用,越來越多的研究者對層合材料瞬態傳熱問題進行了研究,具體可歸結如下[4?12].

Daryabeigi等[4,5]利用有限元法研究了層合隔熱材料傳熱問題.Al-Sanea和Zedan[6]利用有限體積法研究了建筑墻體中使用的層合隔熱材料的瞬態傳熱問題.Xu等[7]利用有限差分法研究了層合材料瞬態傳熱問題.李金娥等[8]利用向后差分法得到了某層合材料的溫度場數值解,并且對其非傅里葉傳熱特性做了研究.Rahideh等[9]利用有限元方法,在考慮熱傳播速度有限的情況下研究了層合材料瞬態傳熱問題.He等[10]利用一種改進的單元線路模型法分析了多層材料瞬態傳熱問題,并且利用該方法對材料的結構進行了優化.Wang和Cui[11]利用玻爾茲曼格子法對某層合隔熱材料進行了瞬態傳熱分析,并且對結構內部產生的熱應力進行了研究.Liu等[12]利用拉普拉斯變換的方式求得了層合材料傳熱問題的數值解.

從文獻的分析可以看出,針對層合材料瞬態傳熱問題的求解目前主要采用有限體積法、有限元法、有限差分法、玻爾茲曼格子法等常規數值方法[13?18].因為層合材料各層熱物理參數不一致,一般不能直接用常規的分離變量法、格林函數法等解析方法進行求解[17,19].本文針對某三層隔熱材料,將常規的分離變量法進行了拓展,引入交界處溫度變化的斜率參數,對每層分別利用分離變量法進行了求解,之后利用交界處溫度相等和能量連續條件,求出斜率參數,進一步求出了整個時間域內的半解析解,并且通過與有限元法對比驗證了方法的正確性,利用求出的半解析解研究了某層合隔熱材料隔熱層材料種類、厚度以及隔熱層表面的對流換熱系數、外部空氣溫度等對隔熱效果的影響.

2 模型建立

本文針對一種常用的層合隔熱材料進行研究分析.層合隔熱材料主要由外殼層、隔熱層、接觸層構成[1].其中外殼層直接與空氣接觸,對流換熱;隔熱層一般采用熱傳導系數較低且密度較小的材料,起到隔熱作用;接觸層直接與高溫區接觸[10].相應的幾何模型如圖1所示.

圖1 模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of the model.

根據以上幾何模型可以建立對應的物理模型.相應的控制方程為

相應的邊界條件為

相應的初始條件為

其中,i=1,2,3,當i=1時表示外殼層,i=2時表示隔熱層,i=3時表示接觸層.這里,ρi表示第i層的密度;ci表示第i層的比熱容;ki表示第i層的熱傳導系數;Ti表示第i層的溫度函數;h0表示空氣和外殼層的對流換熱系數;Tf表示空氣溫度;Thigh為高溫區溫度;fL(t)為左側邊界條件;fR(t)為右側邊界條件;l1=x1,l2=x2?x1,l3=x3?x2,其中l1為外殼層的厚度,l2為隔熱層的厚度,l3為接觸層的厚度,x為位置變量,x0=0;t為時間變量;Tina為初始溫度;Qi表示內部熱源產生的熱量.

3 模型求解

3.1 求解思路

對于多層材料瞬態傳熱問題,一般無法直接利用常規分離變量法求解,需將分離變量法進行拓展.在此把Ti(x,t)在時間域上分成無窮多小段,對于其中的第一段[0,?t]時間內,如果?t足夠小,則第1和2層交界處溫度可表示為(5)式,第2和3層交界處的溫度可表示為(6)式.

其中,fFS,n,fST,n分別表示第1,2層交界處和第2,3層交界處第n個?t時間內的溫度函數;vFS,n,vST,n分別表示第1,2層和第3,4層交界處溫度曲線等效直線的斜率.當n=1,t= ?t時,fFS,1(t)=vFS,1?t=T1,1(x1,?t)?Tina,fST,1(t)=vST,1?t=T2,1(x1,?t)?Tina.此時每一層兩邊的邊界條件和初始條件均已知,可分別用分離變量法求解,求解的各層解析表達式中vFS,1和vST,1為未知數,根據各層交界處溫度相等且能量連續可以求解vFS,1和vST,1,進而求得在[0,?t]時間內的溫度解析解,之后可將?t時刻的初始溫度作為下一個[0,?t]時間段的起始溫度,進行下一段求解,直至第n段即可求得整個溫度場,解法原理如圖2所示.其中Ti,n表示第i層第n段的溫度場解析解.

圖2 解法原理Fig.2.Principle of the method.

3.2 解析解推導

第i層在第n個[0,?t]時間內的控制方程為

最左側邊界條件為

第i,i+1層交界處的溫度為(i=1,2)

其中f1,2,n(t)=fFS,n(t),f2,3,n(t)=fST,n(t),v1,2,n=vFS,n,v2,3,n=vST,n. 最右側的邊界條件為

初始條件為

為了將邊界條件齊次化,令:

結合(8)—(10)式,(12)—(15)式可得

相應的初始條件為

把(15)式代入(7)式可得

選取(19)式的特征方程為

采取分離變量法,令:

將(22)式代入(21)式得

結合(16),(17)和(22)式可得

相應的本征函數為

當i=1時,λ1,n,m為(27)式的正根,m=1,2,3,···,

當i=2,3時,λi,n,m為(28)式的正根,m=1,2,

經檢驗知下式成立,

所以Yi,n,m(x)滿足正交特性.此時令

將(30)式代入(19)式并在[xi?1,xi]內積分,結合(29)式可得

由參考文獻[20]知(31)式的解為

其中,

結合(15)和(30)式知

3.3 確定vFS,n和vST,n

在3.2節中推導的第n個[0,?t]時間內的解均含有未知數vFS,n和vST,n,根據交界處溫度相等且能量連續可列出下式,

由(36)式可解出未知數vFS,n和vST,n,進一步求得整個時間域內的溫度場.

4 數值算例

本文對一種常見的隔熱材料進行研究,該隔熱材料共分為三層,第一層為外殼層,采用的材料為聚乙烯板(PE),第二層為隔熱層,采用的材料為聚氨酯泡沫塑料(PUR)或者真空隔熱材料(VIP),第三層為接觸層,采用的材料為聚丙烯板.外殼層和空氣對流換熱,接觸層直接與高溫區接觸,計算時取Thigh=fR(t)=100?C,隔熱層內部無熱源產熱,即Qi=0.各層的物理參數如表1所列[21?24].

表1 各層物理參數Table 1.Physical parameters of each layer.

圖3分析了不同的隔熱層材料對溫度沿著x方向分布情況的影響,計算時取Tina=Tf=25?C,h0=5 W/(m2·?C).圖中實線為隔熱層采用常規PUR時的計算結果,虛線為隔熱層采用VIP時的計算結果,圓圈表示的數據為有限元方法計算的結果,可以看出,有限元方法計算結果和本文方法計算的結果完全一致,從而可驗證本文方法的正確性.從圖3還可以看出在加熱時間t=120 s時,若采用PUR,溫度在20 mm

圖3 不同的隔熱層材料對溫度沿x分布的影響Fig.3.Effects of different insulation materials on temperature distribution along x.

圖4分析了不同的隔熱層材料對不同位置溫度變化的影響.圖4中A線和B線表示在接觸層和隔熱層交界處溫度隨時間變化情況,其中A線為隔熱層采用VIP時計算的結果,B線為隔熱層采用PUR時計算的結果,可以看出,采用VIP時該位置溫度隨時間上升較快,該位置在隔熱層右側,說明VIP隔熱情況好.圖4中C線和D線表示外殼層和隔熱層交界處溫度隨時間變化情況,其中C線表示隔熱層材料采用VIP時的計算結果,D線表示隔熱層材料采用PUR時的計算結果,可以看出采用PUR時溫度上升較快,說明PUR較VIP隔熱效果差,漏熱量較大,導致隔熱材料左側溫度上升較快.圖4中E線和F線表示外殼層表面溫度隨時間變化情況,其中E線表示隔熱層采用VIP時的計算結果,F線表示隔熱層采用PUR時的計算結果,可以看出采用VIP時溫度隨時間上升較緩慢,說明此時隔熱效果好.從圖4還可以看出當隔熱層采用PUR時各位置溫度更快趨于穩定(在經過1 h之后各位置溫度基本不再變化).

圖5分析了對流換熱系數h0對不同位置溫度變化的影響,計算時取Tina=Tf=25?C,隔熱層采用PUR,隔熱層厚度取20 mm,外殼層表面各空氣對流換熱,據文獻[25]空氣自然對流換熱系數5—25 W/(m2·?C),強制對流換熱系數為20—100 W/(m2·?C).圖5中A線和B線表示隔熱層和接觸層交界處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時溫度隨時間的變化.從圖5可以看出A線和B線基本重合,分析原因是因為該位置遠離外殼層表面,所以外殼層表面對流換熱系數的改變對該位置溫度變化情況影響較小.圖5中C線和D線表示外殼層和隔熱層交界處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時溫度隨時間的關系,可以看出h0=100 W/(m2·?C)時溫度增加略緩慢.圖5中E線和F線表示外殼層表面處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時溫度隨時間的變化關系,同樣可以看出隨著時間增加,h0=100 W/(m2·?C)時溫度增減略顯緩慢,同時可以看出越靠近外殼層表面,對流換熱系數對溫度變化的影響越大.

圖4 不同的隔熱層材料對不同位置溫度變化的影響Fig.4.Influences of different insulation materials on temperature variation at different locations.

圖5 對流換熱系數h0對溫度變化的影響Fig.5.Effects of h0on temperature variation.

圖6給出了對流換熱系數對溫度沿著x方向分布的影響,其中E線和F線表示在t=30 s時對流換熱系數分別取100和5 W/(m2·?C)時的溫度分布情況,其中C線和D線表示在t=600 s時對流換熱系數分別取100和5 W/(m2·?C)時的溫度分布情況,可以看出,C線和D線、E線和F線基本重合,分析原因是時間較短,熱量傳遞較少,外殼層表面的對流換熱系數對溫度分布情況影響較小.圖6中A線表示在t=1800 s時對流換熱系數取h0=100 W/(m2·?C)時溫度分布情況,圖6中B線表示在t=1800 s時,對流換熱系數取h0=5 W/(m2·?C)時溫度分布情況,通過比較可以發現,對流換熱系數越大,溫度越低,越靠近外殼層表面溫度相差越大.

圖6 對流換熱系數h0對溫度沿x方向分布的影響Fig.6.Effects of h0on temperature distribution along x.

圖7給出了隔熱層厚度l2對不同位置溫度變化情況的影響.圖7中A線和B線表示在接觸層和隔熱層交界處溫度隨時間變化情況,其中A線表示隔熱層厚度取10 mm時的計算結果,B線表示隔熱層厚度取20 mm時的計算結果,因該位置在隔熱層右側,所以隔熱層厚度越大,隔熱效果越好,溫度上升越快.圖7中C線和D線表示在外殼層和接觸層交界處溫度隨時間變化情況,其中C線表示隔熱層厚度取10 mm,D線表示隔熱層厚度取20 mm,此時發現隔熱層越厚,溫度上升越緩慢.圖7中E線和F線表示在外殼層表面溫度隨時間變化情況,其中E線表示隔熱層厚度取10 mm,F線表示隔熱層厚度取20 mm,此時隔熱層越厚,溫度上升越緩慢,隔熱效果越好.

圖8分析了隔熱層厚度對保溫效果的影響,計算時取Tina=25?C,隔熱層采用PUR,h0=5 W/(m2·?C).圖中A線表示在空氣溫度取25?C時,經過1 h后外殼層表面溫度隨隔熱層厚度的變化情況,發現隔熱層厚度取值越大,外殼層表面溫度越接近空氣溫度.B線表示在空氣溫度Tf=15?C時外殼層表面溫度隨隔熱層厚度的變化情況,發現空氣溫度取較低值時,外殼層表面溫度較低.C線和D線分別表示空氣溫度取25和15?C時,外殼層表面熱流密度隨隔熱層厚度的變化,可以看出隔熱層厚度越厚,外殼層表面熱流密度越小,隔熱效果越好,空氣溫度取值較低時,外殼層熱流密度較大.外殼層熱流密度計算公式為