石墨烯與金屬的歐姆接觸理論研究?

蒲曉慶 吳靜 郭強(qiáng) 蔡建臻

1)(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)2)(北京東方計(jì)量測試研究所,北京 100086)(2018年8月3日收到;2018年8月27日收到修改稿)

石墨烯材料應(yīng)用于多種電子器件時(shí)不可避免地要與金屬電極接觸,它們之間的接觸電阻直接影響了器件的性能.為了揭示影響金屬電極與石墨烯間接觸電阻的因素,提出有效地抑制這些影響的措施,本文建立了一種求解接觸電阻的物理模型,將載流子的輸運(yùn)分為金屬與正下方石墨烯之間、正下方石墨烯與鄰近石墨烯之間的兩個(gè)過程,分別研究各個(gè)過程的輸運(yùn)概率;結(jié)合金屬電極與石墨烯接觸對載流子分布的影響分析接觸電阻,據(jù)此分別探討了金屬電極材料、柵極電壓、摻雜濃度、金屬與石墨烯原子距離等對接觸電阻的影響.為驗(yàn)證理論分析結(jié)果的正確性,制作了金與石墨烯接觸的實(shí)驗(yàn)樣品,實(shí)驗(yàn)測得的接觸電阻與理論分析結(jié)果符合.理論分析結(jié)果表明,可通過選擇與石墨烯功函數(shù)接近的金屬材料,降低二氧化硅層厚度,增加載流子平均自由程,改進(jìn)金屬材料的表面形態(tài)使其更光滑,減小金屬與石墨烯耦合長度等方法降低石墨烯與金屬電極的接觸電阻.

1 引 言

自2004年英國曼徹斯特大學(xué)的Novoselov和Geim等使用機(jī)械剝離法首次制備出石墨烯材料[1]以來,由于石墨烯在電學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等方面具有優(yōu)良的性能,已在高性能場效應(yīng)管、傳感器、光電器件、量子化器件等得到應(yīng)用[2?6].例如,在電學(xué)計(jì)量領(lǐng)域,石墨烯材料由于其高載流子遷移率、量子化電導(dǎo)和量子化霍爾效應(yīng),被應(yīng)用于霍爾電阻的測量,測量精度可達(dá)到10?10量級(jí)[7?9];在光電領(lǐng)域,石墨烯由于其高光吸收率,被應(yīng)用于紅外探測器、發(fā)射器和光電探測器等[10?12].

石墨烯應(yīng)用于很多電子器件和傳感器時(shí),不可避免地要與金屬接觸. 理想的石墨烯材料具有良好的導(dǎo)電性,電子遷移率可達(dá)到2×105cm·V?1·s?1[13],但在狄拉克點(diǎn)附近較小的態(tài)密度限制了金屬與石墨烯之間載流子的轉(zhuǎn)移,造成接觸區(qū)域的高接觸電阻.控制金屬與石墨烯間的接觸電阻,使其能不受制造環(huán)境和工藝的約束而復(fù)現(xiàn)低電阻值,對基于石墨烯的高性能電子器件的研制至關(guān)重要.Khomyakov等[14]利用第一性原理分析了石墨烯與金屬接觸時(shí),載流子的相互作用和轉(zhuǎn)移情況,建立了物理吸附于石墨烯上的金屬的費(fèi)米能級(jí)和功函數(shù)變化的一般模型,分析了化學(xué)吸附的金屬對石墨烯帶隙和金屬功函數(shù)的影響.Matsuda等[15,16]根據(jù)金屬與石墨烯之間相互作用力的大小,將金屬與石墨烯的接觸分為三類,從原子結(jié)構(gòu)層面分析接觸耦合力、缺陷等因素對接觸電阻的影響.Chaves等[17]利用傳輸線方法分析金屬與石墨烯的接觸電阻,并利用隧穿電子密度進(jìn)行了接觸電阻率的推導(dǎo).傳統(tǒng)的半導(dǎo)體材料與金屬接觸時(shí),接觸區(qū)域的載流子平均自由程遠(yuǎn)大于金屬與半導(dǎo)體的耦合長度.石墨烯與金屬接觸時(shí),載流子平均自由程并不滿足這一條件,因而需要對傳輸線模型進(jìn)行校準(zhǔn),增加了理論推導(dǎo)的復(fù)雜度,同時(shí)此種方法難以考慮金屬下方半導(dǎo)體材料的薄膜電阻與半導(dǎo)體溝道薄膜電阻的差異.Xia等[18]建立了金屬與石墨烯接觸的二維物理模型,并提出金屬與石墨烯接觸時(shí)載流子的輸運(yùn)過程分為載流子從金屬進(jìn)入其下方的石墨烯,以及從金屬下方石墨烯到門控的石墨烯溝道的兩個(gè)過程,使得接觸電阻的理論分析更加簡單.

為了從本質(zhì)上理解影響金屬電極與石墨烯的接觸電阻的因素,本文從載流子輸運(yùn)角度分析接觸電阻.借鑒文獻(xiàn)[18]的思想,將接觸區(qū)域的載流子輸運(yùn)過程也分為兩個(gè)過程,并基于朗道公式計(jì)算接觸電阻.在求解過程中,利用金屬與石墨烯的耦合、載流子的自由輸運(yùn)以及石墨烯狄拉克費(fèi)米子的反射系數(shù)可得兩個(gè)輸運(yùn)過程的輸運(yùn)概率,通過不同材料接觸時(shí)石墨烯的費(fèi)米能級(jí)變化可計(jì)算出石墨烯的量子化導(dǎo)通模式數(shù)量,綜合上述結(jié)果可推出接觸電阻的計(jì)算公式.另外,本文還利用傳輸線模型設(shè)計(jì)了金屬電極與石墨烯接觸的測試樣品,并用四點(diǎn)法測量其接觸電阻,將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論結(jié)果對比分析以驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性.在此基礎(chǔ)上分析了影響金屬與石墨烯間接觸電阻的因素,并提出降低接觸電阻的措施.

2 基于朗道方法的接觸電阻推導(dǎo)

考慮金屬與石墨烯接觸的實(shí)際情況,假設(shè)載流子的輸運(yùn)過程為如圖1所示的兩個(gè)步驟:

A)載流子從金屬電極轉(zhuǎn)移到其正下方的石墨烯;

B)載流子從金屬電極正下方的石墨烯轉(zhuǎn)移到鄰近的石墨烯.

金屬電極與石墨烯接觸時(shí),載流子同時(shí)存在彈道輸運(yùn)與擴(kuò)散輸運(yùn),但以載流子的彈道輸運(yùn)為主[18].利用朗道公式[19]表示金屬電極與石墨烯的接觸電阻為

其中,h為普朗克常數(shù);e為電子電量;M為金屬下方的石墨烯中量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量MA和鄰近的石墨烯中量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量MB的最小值,M=min{MA,MB};TA,TB分別為過程A,B的載流子的輸運(yùn)概率.(1)式中右側(cè)第一項(xiàng)對應(yīng)過程A的電阻,第二項(xiàng)對應(yīng)過程B的電阻,第三項(xiàng)為不考慮載流子反射造成的輸運(yùn)引入的修正電阻.

圖1 金屬與石墨烯接觸的物理模型Fig.1.Physical model of the contact of metal and graphene.

2.1 傳輸概率TA,TB的分析

根據(jù)圖1中的坐標(biāo)系,可將過程A的電壓V、電流I的關(guān)系表示為

利用指數(shù)形式表示如圖2所示的過程B中每一點(diǎn)費(fèi)米能級(jí)的變化為

其中,?EA為金屬電極正下方石墨烯的費(fèi)米能量和狄拉克點(diǎn)的能量差,?EB為鄰近石墨烯的費(fèi)米能量和狄拉克點(diǎn)的能量差,L為過程B中費(fèi)米能量變化區(qū)域的長度.過程B的輸運(yùn)概率TB可表示為[21]

式中,κmn=kB?kA+mkBx+nkAx(m,n=±1);其中,kAx,kBx分別為金屬正下方石墨烯費(fèi)米波矢kFA、鄰近石墨烯費(fèi)米波矢kFB的縱向分量;費(fèi)米波矢縱向分量與橫向分量的關(guān)系為sgn為符號(hào)函數(shù),其正、負(fù)分別表示石墨烯的p摻雜和n摻雜.

圖2 利用指數(shù)形式表征過程B中石墨烯的能量變化Fig.2.Energy change of graphene in process B characterized by exponential form.

2.2 石墨烯中量子化導(dǎo)通模式數(shù)量MA,MB的分析

石墨烯量子化導(dǎo)通模式數(shù)量M可利用石墨烯寬度W、石墨烯費(fèi)米能級(jí)的變化?E等表示為M=W?E/(πVF),因此對M的求解可通過求解?E來實(shí)現(xiàn).參考文獻(xiàn)[14]中石墨烯與金屬表面勢能變化示意圖,可做出與圖1所示模型對應(yīng)的金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖,如圖3所示.圖中WM表示金屬的功函數(shù),WG表示石墨烯的功函數(shù),WSi表示硅的功函數(shù),?MG為金屬與石墨烯接觸表面的勢能變化,?O為二氧化硅中的勢能變化,V為施加的漏源電壓,Vg為施加的柵極電壓,deq為金屬與石墨烯費(fèi)米能級(jí)平衡時(shí)的距離.

根據(jù)圖3,WM,WG可分別表示為

式中,?MG為金屬與石墨烯接觸造成的表面勢能變化,其由載流子在接觸區(qū)域表面移動(dòng)造成的勢能變化?t和表面電子、空穴的化學(xué)反應(yīng)造成的化學(xué)能變化?c兩部分組成.當(dāng)金屬與石墨烯原子之間的距離超過4 nm,?c通常可忽略[14].根據(jù)整個(gè)物理模型呈電中性,有

式中,QM為金屬所帶電量其中,C1為單位面積的金屬與石墨烯之間的電容ε0/d1,d1為金屬與石墨烯之間的距離;QG為石墨烯所帶電量,為硅所帶電量,可利用計(jì)算,其中,C2為單位面積的石墨烯與硅之間的電容ε/d2,d2為SiO2層的厚度,ε為SiO2的介電常數(shù).

聯(lián)立求解(7)—(9)式,?EA可表示為

其中,VDirac表示實(shí)現(xiàn)?EA=0的柵極電壓.

利用與分析?EA類似的方法,令d1→∞,WM=0,可將?EB表示為

圖3 金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖Fig.3.Schematic illustration of band change of metalgraphene-SiO2-Si.

3 接觸電阻實(shí)測結(jié)果與影響因素分析

利用第2節(jié)的理論計(jì)算了金、銀、銅、鈦、鈀5種常見金屬電極與石墨烯接觸時(shí)的接觸電阻.表1列出了5種金屬材料的電學(xué)參數(shù)以及假設(shè)TA=0.75,TB=1,柵極電壓為0時(shí)的接觸電阻值.

文獻(xiàn)[18]通過實(shí)驗(yàn)測得柵極電壓為0時(shí),鈀金屬電極與石墨烯間的接觸電阻為(230±20)?·μm,表1的理論分析結(jié)果為210 ?·μm,兩者較接近.為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提的接觸電阻的分析方法,基于傳輸線模型制作金屬與石墨烯接觸樣品,并采用四點(diǎn)法測量樣品的接觸電阻.如圖4所示,利用探針在金屬電極兩端通正向電流并測電壓得到正向電阻,通反向電流并測電壓得到反向電阻,取它們的平均值為樣品的電阻.其中,測試探針由奕葉國際有限公司提供,電流源的型號(hào)為KEYSIGHT B2961A,電壓測量儀的型號(hào)為RIGOL DM3068.

表1 金屬的電學(xué)參數(shù)Table 1.Electrical parameters for different metal electrodes.

圖4 金屬與石墨烯的接觸樣品及接觸電阻測量方法示意圖Fig.4.Test sample of metal-graphene contact and the schematic diagram on the measurement method of contact resistance.

圖5 樣品總電阻隨石墨烯長度的變化Fig.5. Variations of the total resistance with the lengths of the graphene.

實(shí)驗(yàn)樣品兩金屬電極之間的石墨烯長度分別為2,4,6,8,10μm,分別在電極兩端通入10,20,40,60,80μA的電流,測量兩金屬電極間的電壓值.根據(jù)測量數(shù)據(jù)可得測試樣品總電阻變化趨勢如圖5所示,根據(jù)傳輸線模型原理,石墨烯長度為0時(shí)的總電阻為(160±30)?.樣品的電極寬度為4μm,考慮到所測結(jié)果是兩個(gè)金屬電極與石墨烯接觸,則接觸電阻為(320±60)?·μm,這與表2中金與石墨烯的接觸電阻的理論計(jì)算值相近.

(1)式中金屬與石墨烯間接觸電阻僅存在量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量M、過程A的輸運(yùn)概率TA、過程B的輸運(yùn)概率TB,而M又與?E有關(guān).根據(jù)(10)和(11)式可知,金屬的功函數(shù)、金屬與石墨烯的距離、石墨烯與柵極之間的絕緣層厚度、石墨烯摻雜濃度、柵極電壓均會(huì)對?E造成影響.顯然,石墨烯的摻雜濃度越高,接觸電阻越小.圖6為不同金屬與石墨烯在平衡距離時(shí),接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系.圖中接觸電阻總是關(guān)于某一柵極電壓左右對稱分布,并在該電壓處趨于無窮,這是由于此處金屬與石墨烯之間無勢能差異,即?E=0.石墨烯的功函數(shù)、金屬的功函數(shù)以及金屬與石墨烯接觸的化學(xué)勢能變化的差值決定了曲線對稱處柵極電壓的大小.由于不同金屬與石墨烯接觸的化學(xué)勢能變化差異較小,選擇柵極電壓在狄拉克點(diǎn)電壓附近時(shí),金屬功函數(shù)與石墨烯功函數(shù)差異越小,接觸電阻越小.圖6中,對稱處的接觸電阻從小到大對應(yīng)的金屬分別為鈦、銀、銅、金、鈀,這與各金屬的功函數(shù)和石墨烯功函數(shù)(本文取其為4.5 eV)的差異有關(guān).

圖7(a)是金屬電極為鈀,d1=0,d2為100,200,300 nm時(shí),接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系.由圖7(a)可知,曲線的對稱中心均為Vg?VDirac=0,d2越大,接觸電阻值越大.圖7(b)是金屬電極為鈀,d2=90 nm,d1為0.1,0.2,0.3 nm時(shí)接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系曲線,金屬與石墨烯距離越大,曲線的對稱中心對應(yīng)的柵極電壓越小,接觸電阻變化越快.當(dāng)(Vg?VDirac)的變化范圍為0—20 V時(shí),金屬與石墨烯距離越大,接觸電阻越大.

圖6 不同材料金屬電極下RC與柵極電壓Vg的關(guān)系Fig.6.Relationship between RCand gate voltage Vg with different metal electrodes.

圖7 接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系 (a)改變二氧化硅的厚度d2;(b)改變金屬與石墨烯的距離d1Fig.7.Relationship between RCand gate voltage:(a)Variations of the thickness d2of SiO2;(b)variations of the distance d1between metal and graphene.

由(4)式可知,λ和λm影響TA,λ與弛豫時(shí)間成正比,λm與金屬-石墨烯耦合力成反比,λ/λm越小,TA越大,則接觸電阻越小.若只考慮TB對接觸電阻的影響,由(6)式可知,載流子在石墨烯中的入射角度、?E發(fā)生改變的長度L等因素均會(huì)影響TB.通常入射角度越大,L越短,接觸電阻越小.

4 結(jié) 論

本文基于朗道公式推導(dǎo)了金屬電極與石墨烯的接觸電阻,利用傳輸線模型制作了金屬與石墨烯接觸的實(shí)驗(yàn)樣品,通過對比接觸電阻的理論計(jì)算值和實(shí)測值驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.理論分析結(jié)果表明,為降低金屬與石墨烯的接觸電阻,可從以下兩方面入手.

1)提高石墨烯量子化導(dǎo)通模式數(shù)量:選擇功函數(shù)與石墨烯接近的金屬材料;降低二氧化硅層的厚度,使柵極電壓變化范圍一定時(shí)量子化導(dǎo)通模式數(shù)量變化范圍更大;增加金屬下方石墨烯和溝道石墨烯之間的載流子濃度差.

2)提高載流子傳輸概率:提高石墨烯材料遷移率,增加載流子平均自由程,改進(jìn)金屬材料的表面形態(tài),減小金屬與石墨烯耦合長度.