用廣義帕累托分布估計極端尾部風險
——以上海、深圳股市為例

郭森，孫志賓

（北方工業大學，北京 100144）

1 引言

通過相關文獻的研究，我國學者對我國股市尖峰厚尾數據的風險測量研究達成了較大程度上的共識。但是在一些細節的方面存在一些差異，如閾值的確定，唐勇，唐振鵬應用平均超額函數圖法、核擬合優度統計量法的閾值選取方法；吳慧慧運用平均超額函數圖法；郭燕湄運用SME散點圖的方法；花擁軍，張宗益（2010）利用峰度法定量選取了閾值。在GPD參數估計方面大多數學者都選擇了極大似然估計法。

本篇論文編寫了自動順序測試程序找出閾值，并且運用Jin ZHANG（2009）提出的一個新的估計方法，這種方法改進了最大似然估計并且避免了計算問題。

2 GPD模型介紹

廣義帕累托分布（GPD）由Pickands在1975年命名，GPD是兩參數分布族，它的概率分布函數為

其中σ和ξ分別為刻度和形狀參數（σ>0）。

3 POT模型介紹

EVT的一個基本結果是著名的Pickands-Balkema-de Haan定理，它指出，對于過剩損失（X-u|X>u）從具有大閾值u>0的這種分布收斂到具有正帕累托參數ξ>0的廣義帕累托分布（GPD）。也就是說，

其中xF<∞是F的右端點，Gξ，σ（x）是GPD分布函數。因此，這個定理提供了POT框架的基礎，該框架能夠從u開始為GPD的尾部提供單獨的數據集建模[1]。GPD的分布函數被定義為Gξ，σ（x）=1-（1+ξx/σ）-1/ξ，x>0，ξ>0

其中σ>0是刻度參數，k是形狀參數，1/ξ=γ是尾部指數。

4 尾部風險測量

在100p%水平上的連續隨機變量X的VaR是X的分布的100p分位數，表示為

令F（x）是任意連續分布的分布函數，并定義超過u的損失事件的超出分布為Fu（y）=Pr（X-u≤y|X>u）=

該分布假設服從GPD（ξ，σ）。然后我們可以將F（x）寫成

當F（x）是三參數的GPD分布時，其估計形式變為

其中Fn是經驗分布函數，ξ，σ是來自樣本的估計的GPD參數。VaR估計值從下式獲得

其中un是超過閾值u的超出數量，n是觀測總數。

5 實證分析

本文數據采用來自網易財經的上海和深圳的日收盤綜合指數，數據取2005年1月4日至2018年6月4日，共3260個數據。日收益率采用對數收益，考慮到實際計算時收益率數字水平太小，故放大 100 倍，即：Rt=log（Pt/Pt-1）*100，其中 Pt表示第t天的日收盤價[2]。

第一，偏態分布檢驗。

表1 滬深對數收益率統計特征

表1給出了上證綜指和深證綜指的對數收益率的統計特征，我們可以看到上證綜指的峰度4.41大于3，則認為峰的形狀比較尖，比正態分布峰要陡峭；偏度為-0，57小于0，則認為有向左偏移；深證綜指的峰度2.87，則認為峰的形狀比較平，偏度為-0.72小于0，則認為有向左偏移。偏度和峰度證明了上證綜指和深證綜指的對數收益率具有厚尾的特征。K-S檢驗統計量為0.071332和0.11288，P-value為0，拒絕數據是正態分布。

第二，獨立性檢驗。由BDS檢驗統計量都為正可知，上證綜指和深證綜指對數收益率為非獨立分布。

第三，平穩性檢驗。對序列做ADF檢驗，結果顯示序列是平穩的。

以上的檢驗結果表明：上證綜指的對數收益率是尖峰厚尾向左偏移的分布，數據之間不獨立但是是平穩的；深證綜指是厚尾向左偏移的分布，數據之間不獨立但是是平穩的。

6 閾值選擇

閾值的選擇在極值分析中是至關重要的。若我們選擇的閾值太高，則觀測數據就會過少，導致方差增大；若選擇的閾值太低，則GPD近似可能不成立，產生有偏差的估計量。本文采取自動順序測試程序找出閾值。

由于數據量龐大本文利用統計軟件R編寫了自動順序測試程序，得出的結果是取閾值為2.038和2.572774。選定閾值后，對POT模型的擬合狀況進行診斷。下圖為上證綜指的對數收益率超出量的GPD估計和尾部分布的估計。從圖中可以看出，散點緊密圍繞參照線分布，深證綜指對數收益率的圖也同樣，說明擬合得非常好，模型也是適宜的。

7 參數與VaR估計

最大似然估計方法在統計學中一直是重要的方法，但史密斯（1984）指出，只有當k<1/2時，GPD的MLE是一致的，漸近正態的和高效的。Jin ZHANG（2009）提出了一個新的估計方法，改進了MLE并且避免了計算問題。本文運用Jin ZHANG（2009）提出的方法進行了參數估計，估計的上證綜指和深證綜指的 Sigma和 k值分別為 3.999672、0.4234715和5.017539、0.5750684。在99%的置信水平下滬市和深市的VaR分別為15.64447、18.53955

8 結語

本文從極值的視角對上證綜指和深證綜指的對數收益率利用pot模型計算了VaR。實證結果表明上證綜指和深證綜指均表現為尖峰厚尾，深市股票收益率VaR高于滬市股票收益率的VaR值，即深市股票收益率的潛在風險高于滬市股票的潛在風險。