一種將δ函數可表示成非奇異函數的極限的簡捷證法

袁季兵，唐世清

（衡陽師范學院物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002）

1 引言

在物理學與數學聯系日益密切的今天，大量的物理問題需要借助數學手段輔以解決，這無疑對我們用數學方法處理物理問題提出了更高的要求。許多年以前，在物理學中經常要遇到一些包含某種無窮大的量以及不連續函數的微分的這類問題，無法解決。20世紀30年代，為了解決連續譜的本征波函數不能歸一化的問題，狄拉克引入了一個實函數δ(x)，稱之為狄拉克δ函數[1](以下簡稱為δ函數)，從而使得連續譜的本征波函數可以歸一化為δ函數。由于δ函數的一些特殊性質，如局部無限突變，整體積分有限性，挑選性，對稱性等，為我們解決一些抽象的物理問題提供了一種方式，使復雜的問題變得簡單，因此，在電磁學，電動力學，光學，量子力學，電路等物理學的幾大分支領域中我們都能看到它的身影。由于δ函數的公式可以通過許多種不同的表達方式表示，例如，可以用階梯函數的微商形式表示，也可以用Fourier積分形式表達；還可以表示成非奇異函數的極限。因此，本文先給出δ函數的定義，然后，再著重討論分析一種常見非奇異函數的極限可以用來表示δ函數。希望通過這些能夠給我們今后理解δ函數提供一種新的思路，使我們能夠更加靈活變通的運用δ函數。

2 δ函數的定義和性質

δ函數是一種很奇特的函數，它和經典的“一個點只能對應一個點”的函數的定義是不符合的，因而一開始有許多數學家認為這不是一種數學，以至于沒有深入研究，這種狀態一直持續到20世紀40年代引入了廣義函數這一概念后，才得到了數學界的廣泛認可。一般認為δ函數是由著名的物理學家狄拉克引入的，因此，又稱為狄拉克函數。一般人們把定義在區間上，滿足后面這兩個要求中的一個函數，稱為一維δ函數。即

δ函數具有很多很重要又很奇特的性質，挑選性，對稱性，乘法性，坐標縮放等。

3 δ函數可表示成一種常見非奇異函數的極限

δ函數可以用階梯函數的微商表示，也可以寫成Fourier積分形式。隨著非奇異函數的極限的應用越來越廣泛，而δ函數作為非奇異函數的一種，它也可以表示成非奇異函數的極限，使某些數學運算更加簡潔。只要滿足自變量為零時，極限為無窮大；而自變量不為零時，極限為零；并且滿足歸一化的條件，就可以認為是δ函數。

證明：當x=0時，

利用留數定理有：

如果留數定理不熟悉，我們也可以采用高等數學積分的辦法求出上式左邊第一項的結果。其方法是構造一個積分，利

由于被積函數是偶函數，所以只需在最終結果的基礎上乘以二，就可以證明歸一化了。

4 結語

本文從狄拉克函數δ(x)函數的定義出發，給出了一種將δ函數可表示成非奇異函數的極限的簡捷證法。對于學生來說是一種有益嘗試，不僅可以增強對δ函數及相關物理問題的理解和認識，也可以對教學提供參考和借鑒，開拓思維。