基于猶豫模糊群決策模型的云計算服務(wù)商選擇

劉 俊

常州大學 信息科學與工程學院，江蘇 常州 213164

1 引言

多屬性群決策問題是現(xiàn)實生活中普遍存在的問題，也是決策領(lǐng)域經(jīng)常研究的問題之一[1-3]。由于決策問題具有復雜性、不確定性等特征，很難用精確清晰的數(shù)字來描述這些決策問題的屬性[4-6]。Zadeh[7]提出的模糊集能較好地處理描述模糊信息。但是隨著模糊集的發(fā)展，學者們發(fā)現(xiàn)其存在一定的不足，于是模糊集的各類型拓展形式依次被提出和研究，包括：區(qū)間模糊集[8]、直覺模糊集[9]、模糊粗糙集[10]、Type-2模糊集[11]等等。作為模糊集的一種有效擴展，Torra[12]引入了猶豫模糊集，其中單位元是由0和1之間的不同的隸屬度構(gòu)成，因此猶豫模糊集能夠有效處理其中的數(shù)據(jù)是不確定的或決策者可能決定有猶豫的情況。

多屬性群決策問題的一個重要部分就是如何構(gòu)建合理有效的模糊信息集成算法來選出最優(yōu)方案[13-14]。文獻[15]利用算術(shù)平均，提出了幾類新的直覺模糊信息集成算子用于對屬性值進行集成。文獻[16]建立了三種直覺模糊信息集成算子方法。Wei[17]將優(yōu)先算子提出了猶豫模糊優(yōu)先算術(shù)加權(quán)平均算子和猶豫模糊優(yōu)先幾何加權(quán)平均算子，并將提出的算子應用于教師招聘過程中。針對Wei[17]中算子存在的不足，文獻[18]提出了兩個具有冪等性和有界性的改進猶豫模糊集成算子，并將它們應用到實際案例問題中。Xu和Xia[19]詳細研究了猶豫模糊信息的相似度、距離和相關(guān)度，同時提出了猶豫模糊信息集成算子的決策模型。文獻[20]在直覺模糊正態(tài)環(huán)境下構(gòu)建了一種基于信息集成算法的多屬性決策模型。

Maclaurin對稱平均最初是由麥克勞林[21]提出的，其可以反映多個輸入變量之間的相互關(guān)系，同時Maclaurin對稱平均相對于參數(shù)單調(diào)遞減，使得決策者可以根據(jù)其偏好選擇合適的參數(shù)值進行決策。另一方面，上述所有信息集成算子都是基于代數(shù)范數(shù)提出的，而代數(shù)范數(shù)只是Archimedean范數(shù)的一種特殊運算[17]。因此，有必要研究基于Maclaurin對稱平均和Archimedean的猶豫模糊糊信息集成算法，使得決策者對信息集成方法的選擇性更多、涵蓋范圍更廣。本文首先基于Maclaurin對稱平均和Archimedean范數(shù)定義了猶豫模糊MSM算子，研究了其具有的優(yōu)良性質(zhì)和常見形式，最后基于猶豫模糊加權(quán)Maclaurin對稱平均算子構(gòu)建了猶豫模糊多屬性群決策模型，并通過云計算服務(wù)商選擇實例論證了其有效性和可行性。

2 基本概念和理論

2.1 概率猶豫模糊集

定義1[12]令X={x1,x2,…,xm}為一個給定的集合。形如H={＜xi,h(xi)＞|xi∈X}的二元組稱為X上的猶豫模糊集（Hesitant Fuzzy Set，HFS）。其中，h(xi)={γi|γi∈h(xi)}是由若干組實數(shù)組成的集合，γi表示元素 xi屬于集合H的可能隸屬度。為了方便起見，稱hi=h(xi)為一個猶豫模糊元（Hesitant Fuzzy Element，HFE）。

由于猶豫模糊元中的元素可以通過β-標準化方法進行增加，因此為了下面計算的方便，規(guī)定本文猶豫模糊元中元素個數(shù)均為l，即h={γ(k)|k=1,2,…,l}，其中γ(k)表示h中的第k大元素。

分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的代數(shù)乘法和加法運算只是Archimedean范數(shù)中的一種形式，嚴格Archimedean T-范數(shù)可由一個嚴格單調(diào)遞減的加性算子g:[0,1]→[0,+∞]表示為T(x,y)=g-1(g(x)+g(y))，其中g(shù)(1)=0,g(0)=1。根據(jù)對偶原則，嚴格Archimedean S-范數(shù)可表示為S(x,y)=f-1(f(x)+f(y))，其中 f(t)=g(1-t)，于是 f(t)嚴格單調(diào)遞增，且 f(0)=0,f(1)=1[22]。

接下來，介紹運用Archimedean范數(shù)定義猶豫模糊元之間新的運算法則。

定義3 設(shè)j=1,2，為三個HFE，定義如下運算：

從定義3可知，通過新的運算法則計算得到的猶豫模糊元中元素個數(shù)仍是l。容易證明，定義3中的運算滿足如下性質(zhì)。

定理1 令j=1,2，為三個HFE，則有：

2.2 Maclaurin對稱平均

定義4[21]令a1,a2,…,an是一組非負實數(shù)，并且r=1,2,…,n 。如果

3 HFMSM算子及其性質(zhì)和常見形式

本章主要將Maclaurin對稱平均引入到猶豫模糊環(huán)境下，提出HFMSM算子，然后分別研究HFMSM算子所具備的優(yōu)良性質(zhì)和一些特例。

3.1 HFMSM算子

定義5令hi(i=1,2,…,n)是一列猶豫模糊元，且r=1,2,…,n。如果

稱為猶豫模糊Maclaurin對稱平均算子，簡記為HFMSM(r)算子。

定理2令hi(i=1,2,…,n)為一列HFE，則運用HFMSM(r)算子得到的集成結(jié)果仍為HFE，且有：

證明（1）根據(jù)定義4中的運算法則，可得：

于是有：

所以

從而，集結(jié)結(jié)果為：

所以公式（2）成立。

（2）若要證明HFMSM(r)算子得到的結(jié)果仍為HFE，即證對任意的k=1,2,…,l，有：

又因 f(t)和 f-1(t)為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則

綜上證明過程可知，運用HFMSM(r)算子得到的結(jié)果仍為HFE。因此，定理2成立。

3.2 HFMSM算子的基本性質(zhì)

性質(zhì)1（置換不變性）令hi(i=1,2,…,n)為一列HFE，如果是的一個任意置換，則有：

證明因為是 {h1,h2,…,hn}的一個任意置換，則根據(jù)定義5可得：

因此，性質(zhì)1成立。

性質(zhì)2（冪等性）令hi(i=1,2,…,n)為一列HFE，如果對于所有的i=1,2,…,n，都有hi=h={r}，則

綜上，易知性質(zhì)2成立。

性質(zhì)3（單調(diào)性）假設(shè)和 ai=為兩列PHFE。若對任意的k=1,2,…,l，i=1,2,…,n有，那么

證明因為，然后根據(jù)函數(shù) g(t)、g-1(t)、f(t)和 f-1(t)的單調(diào)性，可得：

于是

所以有：

從而得到下面的不等式：

即公式（9）成立。

結(jié)合性質(zhì)2和性質(zhì)3，容易證明性質(zhì)4成立。

性質(zhì)4（有界性） 假設(shè)為一列HFE，令l}，則有：

3.3 HFMSM算子的幾類特例

本節(jié)將介紹HFMSM()r在參數(shù)r取不同值時的特殊形式。

情形1當r=1時，HFMSM()r轉(zhuǎn)化為：

情形2當r=2時，HFMSM()r轉(zhuǎn)化為：

情形3當r=n時，HFMSM()r轉(zhuǎn)化為：

4 基于HFMSM算子的云計算服務(wù)商選擇決策模型

假設(shè)X={X1,X2,…,Xm}為一個給定的備選云計算服務(wù)商集合，C={C1,C2,…,Cn}為屬性集合。決策層邀請一組相關(guān)專家對這些備選云計算服務(wù)商在屬性集下進行綜合評估。在屬性值評估過程中，由于每個專家都提供了各自的意見，并堅持保存自己的評估值而不相互謙讓，因此為了使得專家們提供的決策信息表達得更為全面和精確，運用猶豫模糊元hij(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n)表示這些專家對每個云計算服務(wù)商Xi在每種屬性Cj下的評估信息，進而構(gòu)建一個猶豫模糊決策矩陣H=(hij)n×n。接下來，將運用提出的HFMSM算子處理上述多屬性群決策問題，具體步驟如下：

步驟1群決策信息標準化。如果所有的屬性均為效益型，則不需將決策矩陣H=(hij)n×n進行標準化處理；否則，運用如下方法對原始矩陣進行標準化：

步驟2 基于得到的標準群決策矩陣，運用HFMSM(r)算子：

計算每個備選云計算服務(wù)商Xi(i=1,2,…,m)的綜合屬性信息

步驟3計算各備選云計算服務(wù)商綜合屬性信息的得分函數(shù)值

步驟4對所有的云計算服務(wù)商進行綜合性能排序，得分函數(shù)越大，則對應的云計算服務(wù)商性能越好。

5 算例分析

某金融企業(yè)為了完善用戶信息材料的存儲和保護，保證存儲信息時的空間充足，現(xiàn)準備引入一家云計算服務(wù)商。根據(jù)自身要求和條件，在市場中挑選出了五家合適的服務(wù)商X={X1,X2,…,X5}。為了選擇出綜合條件最優(yōu)的云計算服務(wù)商，該企業(yè)邀請了相關(guān)領(lǐng)域的專家對這五家云計算服務(wù)商在如下四種指標下進行評估，即C1：服務(wù)商規(guī)模、C2：計算速度、C3：存儲質(zhì)量和C4：售后服務(wù)，并且四個指標的重要性相同。評估專家們給出了每家云計算服務(wù)商在所有指標下的評估信息hij(i=1,2,…,5，j=1,2,3,4)，從而構(gòu)建了表1所示的猶豫模糊矩陣H=(hij)5×4。下面利用第4章建立的選擇決策模型挑選最合適的云計算服務(wù)商。

步驟1由于四種屬性指標Cj(j=1,2,3,4)為同一類型指標，即均為效益型指標，因此不需要對原始的矩陣H=(hij)5×4進行標準化。

步驟2運用HFMSM(r)算子對五家服務(wù)商在屬性指標集下的決策信息進行集成。不失一般性，令r=1，g(t)=-ln t，則計算結(jié)果如表2所示。

步驟3計算得到表3中所示的各云計算服務(wù)商綜合屬性信息hi(i=1,2,…,5)的得分函數(shù)值。

步驟4依據(jù)得分函數(shù)值的大小對五家云計算服務(wù)商的綜合表現(xiàn)進行優(yōu)劣排序，得分函數(shù)值越大，則對應云計算服務(wù)商的綜合條件最優(yōu)，具體排序結(jié)果見表3。由表3可知，綜合條件最合適的云計算服務(wù)商為X5。

表1 猶豫模糊決策矩陣H=(h ij)5×4

表2 利用HFMSM(r)算子得到各服務(wù)商的綜合屬性值

表3 利用不同算子計算得到的排序結(jié)果

依據(jù)HFMSM(r)信息集成算子的表達形式和3.3節(jié)可知，采用不同的參數(shù)r，能夠得到不同的算子形式，因此下面運用參數(shù)r=2進行決策，得到的結(jié)果如表2所示，各服務(wù)商的排序結(jié)果如表3所示。分析發(fā)現(xiàn)，雖然運用不同的參數(shù)計算得到的五家云計算服務(wù)商的綜合屬性值不相同，但是綜合條件最合適的云計算服務(wù)商為X5，這說明盡管改變了參數(shù)值r，但排序結(jié)果仍未變，從而體現(xiàn)了提出的HFMSM(r)算子具有很好的穩(wěn)定性。另一方面，結(jié)合文獻[23]中的Maclaurin不等式和定理2，容易得到HFMSM(r)算子是關(guān)于參數(shù)r的單調(diào)遞減函數(shù)。由表2可以得出，隨著r取值的不斷增加，HFMSM(r)算子在同一方案下的綜合函數(shù)值也在減小，這與上述性質(zhì)相一致。

由于參數(shù)r能夠反映決策者的主觀偏好，可以根據(jù)決策者的風險偏好態(tài)度來選擇r的近似值[24]，在實際問題中一般地取，其中[]表示取整函數(shù)，n表示集成的元素個數(shù)，同時，參數(shù)r取值越大，說明決策者的風險偏好就越高。

下面將與文獻[19]提出猶豫模糊決策方法進行對比分析。首先，將猶豫模糊決策矩陣進行標準化。由于屬性指標都是效益型屬性，因此不需標準化。然后，分別運用文獻[19]中的猶豫模糊有序加權(quán)平均（HFOWA）算子和猶豫模糊有序加權(quán)幾何平均（HFOWG）算子：

對各云計算服務(wù)商在屬性指標下的屬性信息進行集成，計算結(jié)果如表4所示。

表4 利用HFOWA算子和HFOWG算子得到綜合屬性值

最后，通過計算綜合屬性信息值的得分函數(shù)對所有云計算服務(wù)商進行優(yōu)劣排序，排序結(jié)果見表3。

分析表3中的云計算服務(wù)商優(yōu)劣順序和綜合條件最合適的云計算服務(wù)商發(fā)現(xiàn)，運用四種算子計算得到的綜合條件最合適的云計算服務(wù)商相同，即綜合條件最合適的云計算服務(wù)商都是X5，這說明本文構(gòu)建的多屬性群決策方法具有合理性。然而，五家云計算服務(wù)商的優(yōu)劣順序存在一定的差異，即運用本文提出的HFMS M(r)算子（參數(shù)r=2）得到的云計算服務(wù)商X3和X4的優(yōu)劣順序與其他方法不相同。事實上，通過原始的猶豫模糊決策矩陣H=(hij)5×4中的決策信息可以發(fā)現(xiàn)，云計算服務(wù)商X3在四種屬性下的屬性信息值大體上都高于X4。在四種屬性下的屬性信息值，這說明云計算服務(wù)商X3的綜合條件應該優(yōu)于X4，即X3?X4，這與運用本文提出的HFMSM(r)算子（參數(shù)r=2）得到排序結(jié)果相一致，說明了本文提出的HFMSM(r)算子是有效的。另一方面，本文提出的HFMSM(r)算子具有可變參數(shù)r，這使得決策更加靈活，能夠滿足決策者不同的需要，更具有一般性。而文獻[19]提出的兩個算子不具有可變參數(shù)。綜上分析可知，本文提出的決策方法是合理的，并且更加靈活可靠。

6 結(jié)語

基于Maclaurin對稱平均的思想，本文提出了一種基于猶豫模糊Maclaurin對稱平均信息集成算子的云計算服務(wù)商選擇決策方法。首先，在猶豫模糊環(huán)境下引入了MSM的思想和Archimedean范數(shù)，提出了猶豫模糊Maclaurin對稱平均(HFMSM(r))算子，并探討了其具有的優(yōu)良性質(zhì)，即冪等性、置換不變性、單調(diào)性和有界性。此外，根據(jù)參數(shù)值r的變化對該算子的幾種特殊情況進行了分析。接著，基于提出的猶豫模糊Maclaurin對稱平均算子，構(gòu)建了一種多屬性群決策模型用于云計算服務(wù)商的選擇決策中，并通過實際問題進行可行性和有效性分析。下一步，主要研究應集中在參數(shù)值r的變化對決策結(jié)果的影響探討中，并且建立算法擴展模型，為下一步深入研究奠定基礎(chǔ)。