基于GPS偽距觀測值的三種隨機模型比較

何維卿，劉 昶

（1. 安徽省地質礦產勘查局327地質隊，安徽·合肥 230011；2. 合肥市測繪設計研究院，安徽·合肥 230000）

基于偽距和載波相位觀測值所確定的函數模型確定后，通過不同方法確定隨機模型可以提高待定點的定位精度。其中具有代表性的模型有等權模型、基于高度角的隨機模型和基于信噪比的隨機模型[1-3]。但是基于偽距觀測值的隨機模型研究還沒有涉及[4]。本文基于衛星高度角、信噪比與GPS觀測值質量之間的關系，具體探討關于利用衛星高度角和信噪比信息所建立隨機模型，并以偽距觀測條件下的單點絕對定位與相對定位模式來探討基于衛星高度角的隨機模型與基于信噪比的隨機模型。針對在GPS不同定位模式下所確定的隨機模型對點位精度的影響，采用了從理論研究和具體案例數據處理的試驗過程。

1 基于偽距觀測值的三種隨機模型

1.1 等權隨機模型

等權隨機模型將所有觀測量的精度視為相同，即其先驗中誤差均相同[1]。由于假設了每個測站對于每顆衛星的觀測值是獨立的、等精度的觀測量。設偽距觀測量為ρ′，其單位權方差為σ2，E為單位矩陣，則非差單點絕對定位觀測值的方差協方差陣為Dρ′=σ2·E，為了計算簡便，我們假設單位權方差為1，則可知：

在偽距觀測條件下相對定位一般采用的是雙差觀測值模型，基于偽距的觀測方程為：

則單差觀測方程為：

簡化計算方程右式后兩項在偽距觀測條件下可忽略不計，所以令單差觀測方程系數為R：

則其單差觀測值的方差—協方差陣為：

同理由雙差觀測方程：

令：

設J為雙差觀測值系數：

如果一個歷元內，兩個測站同時觀測了n顆衛星時，雙差觀測量的方差—協方差陣記為：

雙差觀測權陣表示為：

1.2 基于高度角隨機模型

即該模型假設觀測值精度與衛星高度角之間的相關關系可用某種函數表示。現在比較成熟的基于高度角隨機模型有：指數函數模型和三角函數模型等[4]。其中的正弦函數模型和指數函數模型是最近似觀測值精度的兩種隨機模型。本文采用正弦函數與指數函數聯合確定隨機模型：

（1）在單點非差定位的條件下：設在測站A觀測衛星K的高度角記為 ，根據該觀測值方差可表示為：

σ為觀測值在歷元某t時的觀測值的中誤差，σ0為觀測值在接收機天頂方向的中誤差，兩者的單位均記為米。a為放大因子，εs(t)表示衛星s在歷元t時刻的高度角大小，ε0為參考的高度角，兩者的單位記為度。

單個測站的衛星觀測值的方差陣表示為：

此式即為單點絕對定位中不同衛星的觀測值方差陣，所以權陣表示為：

（2）雙差相對定位的模式下：兩個測站A、B衛星觀測量的協方差陣為Dρ'，由前面可知單差虛擬觀測值的協方差陣： ，則單差觀測量的方差陣表示為：

同理雙差虛擬觀測值方差陣： ，則雙差觀測量協方差陣可表示為：

則虛擬觀測值權矩陣P為：

1.3 基于信噪比的隨機模型

信噪比(SNR)指的是接收機接收到衛星的載波信號強度與信號噪聲強度的比值，常用載噪功率密度比值(C/N0)表示，Ward利用這一性質[1]，建立了利用信噪比計算得到觀測值方差的函數模型：

式中：Bn表示載波相位跟蹤環的寬度值，T表示一體化檢波的時間，其大小約為導航數據的位長，因為觀測值噪聲的能量量級非常小，可以對其進一步簡化得到：

此即為SIGMA-ε模型[2,4]，Cn值的大小主要取決于接收機的跟蹤通道得到的相位跟蹤環寬度值大小，這里主要采用F.K.Brunner等通過大量試驗求得的相對于L1載波的C1值大小為1.61×104mm2來進行下面的試驗分析。由誤差傳播定律得到某一歷元雙差偽距觀測值的方差—協方差關系式，其觀測值權陣由 模型確定。

在單點非差絕對定位的條件下單個測站的衛星觀測值的方差陣表示為：

2 算例與分析

2.1 實驗數據采集

選取兩個測站點A和B架設儀器進行觀測，其中測站A和B的近似坐標如表1所示，測站點A使用的是LEICA GRX1200GGPRO 6.00接收機，其天線型號為LEIAX1202G，數據采樣間隔為1S。測站點B采用的是LEICA GRX1200GGPRO 6.00 接收機，其天線型號為LEIAX1202G，采樣間隔為1S，測站間相距約為2km。

為比較三種隨機模型對GPS基線向量解算精度的影響大小，在某地區內選取一條基線，所測得坐標在WGS-84坐標系下。其中，點1處架設的是TRIMBLE NETRS，接收機天線型號為TRM41249.00，采樣間隔為1S，共觀測了150分鐘；點2與點1為同步觀測，其觀測時段相同，點2處的接收機為TRIMBLE NETRS，接收機天線型號為TRM41249.00，采樣間隔同樣為1S，具體數據如表1所示。

表1 測站近似坐標Table 1 The approximate coordinates

2.2 數據處理結果

（1）單點定位模式下

由單點定位模式下的三種模型比較分析（表2、圖1～圖3），可以得出：基于高度角的隨機模型和基于信噪比的隨機模型比等權隨機模型定位精度高。所以，在非差單點模式下，可選擇高度角隨機模型和信噪比隨機模型。

在非差單點定位條件下采用高度角隨機模型和信噪比隨機模型并不是對所有的坐標分量精度都能提高，這就需要根據具體情況選擇適合的隨機模型進行定位。

表2 測站中誤差Table 2 The middle error

圖1 測站A等權模型殘差序列Fig.1 The residual error sequence of equal weight model of station A

圖2 測站A高度角模型殘差序列Fig.2 The residual error sequence of altitude angle model

圖3 測站A信噪比模型殘差序列Fig.3 The residual error sequence of signal-to-noise ratio model at station A

（2）相對定位模式下

由圖表分析可得（表3、圖4），在偽距相對定位條件下，高度角隨機模型和信噪比隨機模型對長基線有略微，這種影響可以忽略不計，而等權模型影響較大，對于短基線的解算，通過實驗結果可看出基本上不存在影響。

表3 基線1-2中誤差Table 3 The error of base line 1-2

圖4 不同模型基線Z方向殘差Fig.4 The residual in baseline Z of different models

3 結語

本文以基于偽距觀測值的觀測方程研究比較了等權隨機模型、基于高度角的隨機模型和基于信噪比的隨機模型。

基于偽距的非差單點定位數據處理中，基于高度角的隨機模型和基于信噪比的隨機模型比等權隨機模型定位精度高；在非差單點定位條件下采用高度角隨機模型和信噪比隨機模型并不是對所有的坐標分量精度都能提高；在偽距相對定位條件下，高度角隨機模型和信噪比隨機模型對長基線有略微，這種影響可以忽略不計，對于短基線的解算，通過實驗結果可看出基本上不存在影響，實驗證明了采用雙差相對定位等權模型可以完全滿足定位精度的需要。

今后研究實驗工作，將增加更多實驗組進行實驗論證和比較。