美元指數與原油價格暴漲暴跌的交互刺激研究

馬 勇，潘冬濤，曾兆祥

(1．湖南大學 金融與統計學院，湖南 長沙 410079； 2．中南林業科技大學 經濟學院，湖南 長沙 410004)*

一、引 言

在全球金融市場中，美元和原油均是十分重要的宏觀經濟變量：前者是當今世界上影響力最大的國際貨幣，后者則是當今世界上最重要的能源之一。由于原油價格的劇烈波動會對世界經濟造成重大影響，因此，有必要對原油價格進行研究，以便更好地對價格風險進行控制。鑒于美元是原油的定價貨幣，美元指數與原油價格之間存在著天然的聯系，故美元指數與原油價格之間的關系便成為了學者們關注的重點之一。理論上，美元指數與原油價格呈負相關關系。Austvik(1987)從需求的角度解釋了美元與原油價格的負相關關系[1]。此外，對于其負相關關系還可以從供給角度、投資角度以及貨幣政策角度進行解釋[2,3]。實證上，大部分研究發現，美元與原油價格的相關性為負[4-6]。此外，吳麗麗(2015)研究發現，它們之間的相關性與失業率密切相關[7]。除了相關性以外，美元指數和原油價格波動率間的關系也是學者們關注的焦點之一。大部分研究發現，美元與原油價格存在明顯的單向或雙向波動溢出效應[8-12]，但個別研究發現其波動溢出效應不明顯[13]。

上述研究旨在利用計量模型構建美元指數和原油價格的動態交互變化的過程，通過掌握兩個市場價格和波動率的變化規律來達到控制風險的目的。但是，美元指數和原油價格除了連續變化以外，有時還會發生暴漲暴跌。由于目前對美元指數和原油價格的研究大部分是關于相關性和波動溢出效應，而對于暴漲暴跌這種跳躍現象則鮮有研究。Li等(2017)指出，有必要對油價與匯率之間的跳躍溢出進行實證分析，因為影響美元的事件可能同時影響石油和非美元貨幣的價格，且在嚴重依賴石油的經濟體中，匯率與油價之間可能存在很強的相關性[14]。因此，研究美元指數和原油價格的暴漲暴跌現象，無論是對于理解美元指數和原油價格的跳躍機制，還是對控制美元指數和原油價格的跳躍風險都十分必要。然而，普通的GARCH類模型雖能較好地刻畫資產價格波動率的變化特點，但在解釋資產價格的跳躍現象上存在局限性。為了解決該問題，一種做法是在GARCH類模型中加入跳躍項來識別資產價格中的跳躍，這種包含跳躍的GARCH模型被稱為混合GARCH跳躍模型[15-18]；另一種做法是基于Anderson等(2001, 2007)提出的已實現波動率模型及跳躍判別方法[19,20]，采用高頻數據研究資產價格的跳躍[21,22]。

從目前已有的文獻來看，基于低頻數據的資產跳躍研究主要還是采用混合GARCH跳躍模型。然而，沐年國(2007)認為，混合GARCH跳躍模型在處理跳躍數據時會導致數據過程失真[23]。一種防止失真的方法是將跳躍事件與波動率過程進行分離，單獨對跳躍事件進行研究。因此，本文采用兩個相互關聯的Hawkes過程單獨對美元指數和原油價格的暴漲暴跌進行建模。Hawkes過程最早由Hawkes在1971年提出，與一般的點過程(例如泊松過程)不同的是，Hawkes過程假定各事件之間是相互影響而不是獨立的[24]。已經發生的事件會加大新的事件發生的強度，使得新的事件發生的可能性增大。因此，Hawkes過程作為點過程同樣能夠像多元混合GARCH跳躍模型一樣捕捉到金融市場上的跳躍聚集和跳躍關聯。此外，與泊松過程相比，Hawkes過程能更好地描述現實世界中極端事件的發生，因而其在經濟金融領域也逐漸受到重視[25,26]。

二、Hawkes模型構建及估計、檢驗

由于美元指數和原油價格的暴漲暴跌為兩個相互關聯的Hawkes過程，故標值點過程{(ti,n,ri,n)}對應的強度過程為：

(1)

其中I為示性函數，fi,j(x)為暴漲暴跌幅度的概率密度。根據極值理論[27]，對于平穩過程{ri(t)}，i=1,2，當暴漲閾值和暴跌閾值的絕對值足夠大時，暴漲和暴跌幅度均近似服從廣義帕累托分布，即：

x≥ui,j；i=1,2；j=1,2

(2)

并且對i=1,2，有：

(3)

下面，采用極大似然估計方法(MLE)來估計模型的參數。設樣本的時間區間為[0,T]，則模型的對數似然函數為：

(4)

其中式(4)右邊的第一項和第二項分別用于估計廣義帕累托分布和地面強度過程中的參數。結合式(3)～(5)，通過最大化對數似然函數即可得出模型中的參數估計值。

(5)

對于模型的擬合優度檢驗，一是檢驗暴漲暴跌幅度的樣本分布是否符合廣義帕累托分布，二是檢驗暴漲暴跌的樣本強度過程是否符合Hawkes過程。對于第一個檢驗，可通過繪制序列{|ri,n|}與所擬合的廣義帕累托分布的QQ圖來進行判斷。對于第二個檢驗，若假設在樣本期間[0,T]內發生的美元指數和原油價格的暴漲暴跌分別為N1和N2次，則可構造出以下轉化過程：

(6)

其中n=1,2,…,Ni；i=1,2。上述轉化時間序列{τi,n}稱為余數過程，且由于暴漲暴跌均由Hawkes過程產生，因而每個余數過程均為單位強度的泊松過程，其差分序列{τi,n-τi,n-1}一致服從單位均值的指數分布[28]。因此，第二個檢驗等價于檢驗樣本余數過程的差分序列是否來自單位均值的指數分布，這同樣可通過繪制QQ圖來進行判斷。

三、實證分析

(一)數據及其初步分析

本文采用貿易加權的美元指數和布倫特原油價格的日(對數)收益率作為研究的樣本，樣本選取的時間范圍為1997年1月1日至2016年12月31日，共5218個數據，其中美元指數數據來源于湯森路透數據庫，原油價格數據來源于美國能源信息署網站。美元指數與原油價格的歷史走勢如圖1所示。從圖1可以看出，美元指數和布倫特原油的走勢存在著明顯的急劇漲跌，且這種急劇漲跌傾向于同時發生。

圖1 美元指數和原油價格的歷史走勢

從表1可知，美元指數和原油價格的收益率均具有左偏、尖峰厚尾的特點，且美元指數收益率的波動要小于原油價格收益率的波動。要對美元指數和原油價格的暴漲暴跌進行建模，就必須先確定暴漲暴跌閾值的大小。對于閾值的設定，一是當所有樣本的分布都接近時，可設定一個固定的閾值，然后對所有樣本均采用該閾值[29]；二是當每個樣本的分布有所差異時，可以設定一個概率值，然后以其所對應的分位數作為閾值[30]。由于美元指數和原油價格收益率的分布有較大差異，故采用第二種方法。我們以美元指數和原油價格收益率樣本的98.5%分位數分別作為其暴漲的閾值，相應的閾值分別為1.149%和5.426%；以美元指數和原油價格收益率樣本的1.5%分位數分別作為其暴跌的閾值，相應的閾值分別為-1.189%和-5.129%。可以得出，美元指數在樣本期間內共發生了79次暴漲和79次暴跌，原油價格在樣本期間內發生了76次暴漲和76次暴跌。從圖2中可以看出，在2008年金融危機發生期間，美元指數和原油價格的暴漲暴跌均呈現出明顯的跳躍聚集特點。此外，在2010-2014年，美元指數存在著明顯的暴漲暴跌現象，而這一期間內原油價格的變化則相對平穩，這表明美元指數與原油價格的暴漲暴跌并非完全是一一對應關系。

(二)模型估計結果及含義

表2給出了美元指數和原油價格暴漲暴跌幅度所對應的廣義帕累托分布參數的估計值，圖3為對應擬合優度檢驗的QQ圖。從圖3可以看出，美元指數和原油價格暴漲暴跌幅度的經驗分布均接近于對應的廣義帕累托分布，表明廣義帕累托分布能夠較好地擬合美元指數和原油價格的暴漲暴跌幅度。此外，從圖4可以看出，美元指數和原油價格暴漲暴跌所對應的余數過程差分序列的經驗分布均接近于均值為1的指數分布，表明Hawkes過程能較好地模擬美元指數和原油價格暴漲暴跌的發生。

表1 美元指數和原油價格收益率的基本統計量

表2 廣義帕累托分布的參數估計值

表3 地面強度過程的參數估計值

圖2 美元指數和原油價格的暴漲暴跌幅度

從表3可知，θ1,1和θ1,2明顯大于λ1，表明美元指數的暴漲暴跌存在著明顯的自我刺激效應和交叉刺激效應，即無論是美元指數還是原油價格暴漲暴跌的發生都會刺激美元指數新一輪的暴漲暴跌。同時，θ1,1大于θ1,2，δ1,1大于δ1,2，表明美元指數暴漲暴跌的自我刺激效應比交叉刺激效應更強。另外，θ2,2明顯大于λ2，表明原油價格的暴漲暴跌同樣存在著明顯的自我刺激效應；但由于θ2,1略小于λ2，δ2,1較小且美元指數暴漲暴跌的幅度最大不超過2%，故原油價格暴漲暴跌的交叉刺激效應較弱，美元指數暴漲暴跌的發生對原油價格暴漲暴跌的刺激不是很明顯。這說明美元指數與原油價格暴漲暴跌的交叉刺激作用具有非對稱性。上述結果解釋了圖2中美元指數和原油價格暴漲暴跌的聚集現象，以及兩者間并非完全對應的情況——由于原油價格的暴漲暴跌只能對美元指數的暴漲暴跌產生明顯的單向刺激，故當原油價格發生暴漲暴跌時，美元指數也會大概率發生暴漲暴跌，而反之不然。此外，η1,2大于η1,1，η2,1大于η2,2，表明無論是美元指數還是原油價格，暴漲暴跌的自我刺激效應比起交叉刺激效應持續的時間都更長。從圖5中可以看出，無論是美元指數還是原油價格，當暴漲暴跌發生時，其地面強度會受到刺激而瞬間上升，之后隨著時間推移逐步下降，直到下一次暴漲暴跌的發生。

圖3 廣義帕累托分布對美元指數和原油價格暴漲暴跌幅度的擬合優度檢驗對應的QQ圖

圖4 Hawkes過程對美元指數和原油價格暴漲暴跌的擬合優度檢驗對應的QQ圖

(三)穩健性檢驗

本文通過改變閾值大小檢驗模型的穩健性。令美元指數和原油價格的暴漲閾值分別為其收益率的98%、98.5%、99%分位數，相應的暴跌閾值分別為其收益率的2%、1.5%、1%分位數。從表4可知，當暴漲(暴跌)閾值發生變化時，廣義帕累托分布的各個估計參數的變化均不是很明顯，且估計值的符號沒有發生改變，因此，可以認為廣義帕累托分布模型是相對穩健的。從表5可知，當暴漲(暴跌)閾值發生變化時，λ1、θ1,1、η1,1、θ1,2、δ1,2、η1,2、λ2、δ2,2的數量級沒有發生改變，其變化不是很明顯，估計值相對穩定；其他參數變化比較明顯。然而，無論參數如何變化，θ1,1和θ1,2大于λ1，θ1,1大于θ1,2，δ1,1大于δ1,2，θ2,1小于λ2，θ2,2大于λ2，η1,2大于η1,1以及η2,1大于η2,2總是成立。因此，可以認為閾值變化引起的估計參數的變化并不會對模型的結論造成影響，即地面強度過程模型依舊是相對穩健的。

表4 不同閾值下廣義帕累托分布的估計參數

圖5 美元指數和原油價格暴漲暴跌的地面強度過程

地面強度過程參數暴漲(暴跌)的閾值(以分位數對應的百分比表示)98% (2%)98.5% (1.5%)99% (1%)λ10.000036470.000050950.00005075(0.00003593)(0.00003154)(0.00003538)θ1,10.0076260.0074590.007337(0.001367)(0.001385)(0.001397)δ1,137.1945.842.096(18.67)(24.25)(1.901)η1,10.0085120.0086370.007484(0.001437)(0.001482)(0.001461)θ1,20.0014810.0037300.006437(0.001398)(0.001066)(0.003540)δ1,20.60330.30580.2170(0.5017)(0.07866)(0.2076)η1,229.9748.4361.84(8.033)(39.53)(48.84)λ20.000067690.000079480.00009819(0.00005507)(0.00005340)(0.00008256)θ2,10.0000022390.000044740.000005241(0.0000003695)(0.00002787)(0.000001996)δ2,120.195.59957.57(0.3361)(0.8444)(14.37)η2,1936.9142.161.40(0.01163)(0.3721)(0.1067)θ2,20.010060.0076970.009886(0.001697)(0.001819)(0.001942)δ2,24.3088.2616.028(3.541)(7.341)(2.958)η2,20.0010870.0093880.01163(0.001744)(0.001601)(0.002247)

(四)模型預測能力比較

(7)

(8)

其中λ是泊松過程的估計強度，M為樣本總數，N為樣本內暴漲暴跌事件發生的次數。

用Hawkes過程分別對美元指數和原油價格的暴漲暴跌進行樣本內預測，其均方根誤差分別為0.1674和0.1662；對應的泊松過程預測的均方根誤差分別為0.1714和0.1706。可以看出，Hawkes過程對應的均方根誤差均小于泊松過程對應的均方根誤差，這意味著Hawkes過程對美元指數和原油價格暴漲暴跌的樣本內預測能力要優于泊松過程。由于暴漲暴跌在一天內發生的概率十分小，因此，Hawkes過程對暴漲暴跌的單日預測能力與泊松過程相比實際上差距很小。然而，當把預測區間擴大時， Hawkes過程與泊松過程對暴漲暴跌預測能力的差距就會變得十分明顯。例如，用Hawkes過程和泊松過程分別預測暴漲暴跌在一個月內至少發生一次的概率，并與真實情況對比來計算均方根誤差。結果表明，Hawkes過程與泊松過程預測美元指數暴漲暴跌的均方根誤差分別為0.4467和0.5196，前者比后者小14.03%；而其預測原油價格暴漲暴跌的均方根誤差分別為0.4092和0.5261，前者比后者小22.22%。表明當時間區間擴大至一個月時，Hawkes過程與泊松過程相比其在預測能力上的優勢將更加明顯，其對美元指數和原油價格暴漲暴跌的樣本內預測比起泊松過程更加準確。

四、結論與政策建議

本文將美元指數和原油價格的暴漲暴跌單獨分離出來，采用Hawkes過程來研究美元指數與原油價格暴漲暴跌的交互刺激效應。結果表明：美元指數的暴漲暴跌具有明顯的自我刺激效應和交叉刺激效應，而原油價格的暴漲暴跌僅存在明顯的自我刺激效應；美元指數與原油價格暴漲暴跌的交叉刺激作用具有非對稱性。由于美元指數和原油價格暴漲暴跌的發生能刺激美元指數新一輪的暴漲暴跌，同時原油價格暴漲暴跌的發生還能刺激原油價格新一輪的暴漲暴跌，這就導致了美元指數與原油價格具有暴漲暴跌聚集的現象；而交叉刺激的不對稱性使得原油價格發生暴漲暴跌時，美元指數也大概率會發生暴漲暴跌，但反之則不一定成立。此外，無論是美元指數還是原油價格的暴漲暴跌，自我刺激效應比起交叉刺激效應持續的時間都更長。同時，本文發現，Hawkes過程對美元指數和原油價格暴漲暴跌的預測能力均優于泊松過程。

由于跳躍對風險管理至關重要，因此，研究美元指數與原油價格暴漲暴跌的相互作用有著重要的意義。首先，了解美元指數與原油價格暴漲暴跌的交互刺激，有助于投資者更好地理解跳躍風險在原油和美元間的傳遞方向，從而制定有效的風險防范措施。其次，美元指數與原油價格暴漲暴跌的相關性，提醒投資者應更加謹慎地對待與兩者相關的資產，要隨時掌握美元和原油相關的信息，采取有效手段規避兩者同時跳躍時所帶來的可能的巨大損失。最后，在跳躍事件發生時，政策制定者應及時采取有效的風險管理手段來控制這種跳躍風險的跨市場傳播。尤其是原油價格發生暴漲暴跌時，更應防止其向外匯市場傳染，以降低跳躍事件所帶來的風險沖擊。