論數學與經濟學的關系

數學與經濟學的關系在學界已經被討論了好多年，想要認清數學與經濟學的關系，首先我們必須弄明白經濟學與數學之間是否存在包含關系。Dow(1990)就曾指出，如果我們認為經濟學就是一門數學學科，那么我們可以很容易地將歷史學、社會學、哲學以及方法論看做是這些學科在不同專業領域吸收知識，并且經濟學實踐將這些學科聯系在一起。但是對那些將經濟學看做是一門使用了數學的人文科學的人來說，經濟學的內容本身就需要歷史學、社會學、哲學以及方法論這些領域的專業知識。我認為后一種觀點好像更貼切地描述了數學在經濟學研究中的地位，就是說經濟學是一門使用了數學專業知識的人文科學。

一、 數學作為一種有效的研究工具，可以幫助經濟學家進行經濟研究

經濟學家大多善于使用修辭學的表達方法來描述經濟現象，在描述某些經濟學家自己也沒有完全弄明白的現象時，有些經濟學家善于使用晦澀難懂的經濟學術語來掩蓋本身理論解釋的不充分性，但是，這種做法會使得理論解釋的說服力大打折扣。在這種情況下，使用數學方法進行補充性解釋可以避免使用晦澀難懂的語言來掩蓋理論本身欠缺的解釋性，可以通過明白的數學公式展現清晰的邏輯。因為這個原因，在經濟學研究中使用數學函數以及運用數學模型成了經濟學家們更好地解釋經濟現像和預測未來經濟發展走勢的一種有用手段。羅默(2015)就曾經指出，借助新的變量，模型可以將文字敘述與數學公式較好地聯系在一起，增加理論和實證之間的關聯程度。羅默舉例道，早在1956年，索洛在他的經濟增長理論中就曾使用數學公式來表示“資本”這一變量。利用數學公式同概念的緊密結合，索洛精準地闡釋了“資本”這一變量的含義，進而通過對概念的闡釋輕松地將理論與實證結合起來。毫無疑問，這是一個典型的數學知識助力經濟學修辭解釋的例子。Dow精辟地總結道，數學結論的公式化為經濟學純理論的優勢以及使用模擬進行實證演示鋪平了道路。

像羅默一樣，凱恩斯對待在經濟學中使用數學的態度也是積極的。通常認為凱恩斯對于在經濟學中使用數理統計方法是持完全否定的態度的，但是O’Donnell(1990)認為這種現象是由于這些人只看到了凱恩斯一部分的觀點，并沒有全盤認識凱恩斯的觀點，這種對凱恩斯數學觀的解讀是錯誤的并且是膚淺的。事實上凱恩斯對數學本身并沒有敵意，而是反感“偽數學”，或者說數學分析方法的不合理的應用。例如，在對概率的研究中，凱恩斯自己便使用數學表達來方便解釋概率這個經濟學概念，為了清晰表達兩組命題之間的概率，凱恩斯使用a/h來表示概率，a代表概率相關的結論，h表示包含了給定信息的先決條件。

數學知識不僅在經濟學先驗演繹推理層面有用處，而且在經濟學實證層面也有用處。財會學中數理統計的重要性是眾所周知的，約翰·希克斯(1979)一直強調經濟分析中，尤其是在動態經濟分析中，財會傳統的重要性。在這方面，凱恩斯也有類似的觀點，凱恩斯相信某些部分的純經濟理論可以用數學方式表達出來，并且計量經濟學可以為經濟學提供重要的服務。凱恩斯強調，計量經濟學有兩個重要功能：為理論參數提供實驗量級和量化獨立的原因間的相對強度。對與凱恩斯來說，數學在經濟學理論和計量經濟學中有精確的功能，只不過數學能發揮的功能是有限度的。

數學在幫助修辭學進行經濟學解釋的同時，還可以幫助經濟學家形成有益的邏輯性的思維方式，凱恩斯就曾指出，數學是正式思維原則中的一個分支，因此，只要正確地使用數學，數學可以幫助經濟學家形成創造一種“有組織的有順序的思維方式”，這樣的思維方式對經濟學研究來說非常重要。

二、 數學在經濟學的應用中出了問題

數學具有諸多特性可以幫助經濟學家進行經濟學研究，但是，在實際操作領域，我們觀察到了一些數學在經濟學中應用的問題，這些問題不僅會妨礙數學的合理應用，還會使得一些經濟學研究者對數學產生消極的觀念。這些問題包括，“數學濫用”，數學的錯用以及強行使用數學。

1.“數學濫用”

首先，我們應當如何理解“數學濫用”。經濟學家羅默發明了“數學濫用”這個經濟學術語，羅默定義“數學濫用”是，如同普通的數學理論一樣，“數學濫用”也是由各種符號與理論描述組成，但此時，符號與文字敘述之間的聯系并不緊密，自然描述與正式表達、理論推導與實證事實之間充滿了需要填充的巨大空間。羅默還進一步批評道，至少在經濟增長理論方面，我們的作者和編輯達成了一種默契，即讀者都會漠視數學的濫用并接受這一怪象。不嚴謹的科學態度催生了數量經濟學中的“潛規則”，由于沒有更好地數學表達可用，而濫竽充數，制造了“數學濫用”。經濟學家溫特勞布(1998)也指出，不一致性被混進了應用經濟學中，應用經濟學中混進一些不那么精確的數學推導以及沒有邏輯論證的事實。

Velupillai(2005)曾經批評“數學濫用”中的形式化，他指出，無標準的、構建性的和計算性的分析在經濟學主題中起到了形式化和數學化的作用，這種現象主要出現在新古典主義經濟學理論的范疇內。Velupillai舉例道，是不是基于“執行一項任務”的函數概念，展現在子集理論中，是不是可以捕捉所有的直覺性的內容，這還是一個有待商討的問題。盡管存在這種不確定性，數理經濟學家，甚至是所有將數學應用到經濟學中的經濟學家，都用“執行一項任務”來定義他們自認為精確的函數的概念。因此，通過賦予數學一些特殊的數學屬性，主教風格的構造性數學保持忠于函數概念的普通意義，也就是說，在封閉的間隔中保持一直地連貫，這樣當數學家用這樣特定的方式來使用函數時，數學家就能輕松地“執行函數的任務”。

“數學濫用”會阻礙經濟學研究，糾正“數學濫用”對經濟學的發展是有好處的，羅默曾經指出，每一位經濟學家都有義務停止“數學濫用”，如果我們能堅持共享精準、清晰的數學推導，將數學理論中晦澀的概念抽象成明白易懂的名詞，就像“人力資本”，“物質資本”，“非競爭性”一樣，那么我們的研究水平可以更快地得到提升。

我們否定“數學濫用”，就應該清楚地識別“數學濫用”。我們應該如何判斷數學是否被“濫用”，胡偉清(2006)提出了一種標準以供參考，他指出，如果使用卡爾多·希克斯效率的概念，我們會發現經濟學數學化是一種卡爾多·希克斯改進，也就是說改進帶來的好處能夠彌補改進所產生的壞處。我們可以使用一個簡單的標準來判斷：如果使用數學的好處能夠彌補壞處，那么，即便是大量使用公式、模型，也不能算是濫用。反之，如果不使用數學的好處更多，甚至使用數學帶來的壞處更多，那么即便只使用了一個公式，也是濫用。

2.數學的錯用

我們可以將數學的錯用定義為，使用了錯誤的數學理論或數學概念進行經濟學研究。凱恩斯曾經指出，推演邏輯還要依賴直覺或者對邏輯關系的直接感知，結論一般部分暗含在前提條件中，先決條件被認為擁有完全暗含結論的能力。所以數學不能錯用，如果數學理論被錯用，就會使得數學的推導邏輯被打破，喪失數學線性解釋的能力。例如，構造性數學在經濟學中的應用總讓人有一種已知A+B可以證明C，所以為了得到C的結論，而去拼湊A和B的感覺。經濟學推演邏輯順序被顛倒了過來，有了一種為某種理論結果進行狡辯的意味，而這種理論結果往往是作為已經發生了的事實被拿來進行推演驗證。這就喪失了使用數學模型進行經濟學預測的意義。

對于數學的錯用，Velupillai曾經舉例道，Piero Sraffa(1960)提供了一組方程，在不需要使用不動點理論的情況下證明了一般均衡理論的存在性，這給經濟學研究提供了一個很好地范例。Velupillai卻不解，為什么沒有經濟學家使用Sraffa提供的充分的并且足夠用來重證一般均衡理論存在性的方法，經濟學家們卻依然依賴Brouwer的非構造性不動點理論，這對Velupillai來說簡直是個謎。Velupillai更進一步提問，為什么，數理經濟學家把解方程變成了“一個不動點問題”，只是為了證明方程的解的存在性。像這樣錯誤地選擇數學知識不僅無助于經濟學研究，還有可能讓經濟學研究者走上錯誤的研究道路。

3.強行使用數學

強行使用數學可以被理解為，在不需要使用高深數學知識的地方，為了使用數學知識而強行使用數學。 凱恩斯一直都對這種現象嗤之以鼻，1910年，他批評Pearson 的統計學回憶錄為“應用了不必要的復雜的數學工具。”Velupillai也曾經在研究中提問，真的有必要把在正式的經濟學理論中的一般均衡的存在性問題作為一個數學問題拿出來進行研究么？

強行使用數學并不能幫助經濟學研究，反而會令經濟學研究更加復雜。丁小欽(2008)曾經指出，如果通過數學語言來解釋經濟學問題，那么經濟學問題就被轉換成了由數學符號組成的數學公式。這時經濟學問題中的概念只表示為數學符號，經濟學命題只表示為數學公式，經濟學命題的推導變成了數學公式的變形。數學能展現的的只是公式中數學符號之間的關系，并不包含對公式所代表的內容的思考。但數學推演之后，所有的數學符號還是要被轉換回修辭性的語言。而轉換回的內容同我們引入數學公式之前的經濟學表述的一致性值得探討。

作為經濟學研究者，我們應當思考如何正確地使用數學。羅默曾指出，當他開始學習數量經濟學時，數量經濟學是由一種與現在完全不同的規則所主導的。雖然不是毫無例外，但也遠比現在要強，每當經濟學家們用數學去推導經濟學中高度抽象的概念時，他們都會以極其清晰準確嚴謹的態度滿懷驕傲地完成。或許舊時代這種對待數學的嚴謹態度更值得我們今天借鑒。

三、 對經濟學數學化的看法

1.數學在經濟學研究中被賦予了不應有的地位

對于這個現象，Dow曾經做出總結，他說道，我們可以清楚的看到現在在很多經濟學的應用中出現了關于方法論的困惑，這種困惑在于在經濟學應用中給予了數學表達優先權。雖然現實如此，但是我們仍然認為，在經濟學研究中，數學不應被賦予如此地位。很多經濟學家有類似的感觸，比如，凱恩斯很反感有些學者將數學抬高至經濟推理研究的最高層面。

數學被賦予了不應有的地位，對經濟學研究來說是有害的。Velapillai就指出，如果數學，像Ulam和Wolfram說的那樣，“數學的發展已經開始傾向于關心那些如何成功應用數學方法的問題”，這種形式化地使用特定數學方法的行為會扭曲經濟學理論。這種扭曲的現象是如何產生的呢？胡偉清曾經總結了兩點原因，他從期刊論文發表和高校經濟學教育的角度闡明了經濟學數學化的原因。他指出，期刊之所以偏愛數學化程度高的論文是因為數學的使用代表了論文的“技術水平”。同時，高校的經濟學教育具有明顯的導向性，在碩士、博士研究生的畢業論文答辯中，使用了數理模型的論文更容易過關，且評分更高，這種現象也誘導了經濟學者的數學化傾向。

2.數學的局限性使得數學并不具備獨立支撐經濟學研究的能力

數學，以它固有的性質，決定了數學在經濟學的應用中，有諸多先天缺陷。Dow對這一點有很多精辟的觀點。他曾指出，我們都知道，并且我想再次強調，在數學論證的早期發展階段，直覺發揮了很大的作用。Dow 同時指出，我們發現就算數學本身也需要非數學因素的補充來完善本身的系統。公式表達的數學還能不能提供真理的連貫性標準正在成為問題。區別于經濟學熱衷于考察社會問題，數學化的主要賣點之一是，數學化為經濟學引入了一種新的精確性。任何理論，越是接近于物理論證，它就越是精確。但是存在有一系列的問題，這些問題包括識別理論概念的實證對象以及測量問題，這些問題都基于實證檢驗，卻破壞了精確度。在所有論證方法中，數學證明是一種勸說。一旦我們認識到數學也要像其他學科一樣依賴社會慣例，我們就很難堅持說在經濟學研究范疇內數學比其他學科可以提供更多精確性了。Dow還舉了相對確定性的例子來說明傳統數學理論應用到經濟學中時，進行了自我演變。他寫道，溫特勞布指出哥德爾的論證首先使用了相對確定性的概念。通過將補充性的假設添加到公式系統中來完成相對確定性的構建，就算這些假設同公式定理的部分并不一致，我們仍然可以這樣運作。

數學并不足以獨立支撐經濟學的研究，在這方面，凱恩斯有很多具體的觀點。凱恩斯指出，有限的數學工具并不足以全盤展現現實的豐富與復雜。O’Donelle指出，在凱恩斯的分析中，有很多沒辦法量化卻有重要意義的因素，沒有辦法使用嚴格的數學推論進行分析。凱恩斯曾指出“有很多重要的因素被忽視，是因為這些因素在統計學上是無法追蹤也無法獲得的。”凱恩斯認為，不可比較性，阻止了數學的全面應用。經濟學實質上不是一門精確的科學，經濟學的材料并不像自然現象那樣一成不變和具有規律性，在經濟學的測量與比較中，這種不確定性以及不規律性帶來了很多困難。凱恩斯舉例道，Planck在數學方面成就卓越，卻覺得經濟學非常難。這是因為想要在經濟學方面表現出色，不只需要數學技能，更需要一個“由邏輯、直覺以及廣泛的知識組成的集合體”。

經濟學中的概率問題，作為一個例子，可以充分證明數學在經濟學研究中的先天不足。O’Donelle指出，對數理比較來說，很多組概率的比較在理論上是不可能的。就如凱恩斯1909年指出的，很多關系是“可以測量的”，但是“大部分，我們所關心的關系或許還是不可測量的”。在特殊條件下，量化的推理是可以應用的，但前提是通過邏輯論證建立充足的條件。凱恩斯還說道，“除非接受量的測量的好的理由已經被制造出來，否則我們應當質疑任何量的測量的可能性。”

3.數學只是研究經濟學的一種工具

在經濟學研究中，數學只是一種研究工具。在凱恩斯的觀念中，數學就只是經濟學眾多研究工具中的一種，當工具的使用條件被滿足時，經濟學家便可以選擇使用這種工具。當經濟學材料滿足數學方法應用的條件時，數學便可以發揮它的職能。一旦可應用性被確定了，數學就可以工作了。凱恩斯一直認為，將數學研究當成經濟學研究的重點是本末倒置，這一點明確地反映在凱恩斯的數學觀中。Borel(1924)曾經總結凱恩斯的數學觀，Borel總結道“數學理論并沒有被凱恩斯忽視，在情況有保證的條件下，凱恩斯還發展了數學理論，但是發展數學理論并不是凱恩斯的主要目的。他更感興趣都是從哲學和邏輯學的方面來看待這些經濟學問題。”同Borel的觀點類似，Braithwaite(1946)認為“雖然凱恩斯在數學技術可以提供幫助時使用數學技術，但他時刻牢記，數學雖然是一個好的仆人，卻是一個壞的主人。”凱恩斯提出，質的邏輯分析應該先于量的或者數學分析，這種分析順序決定了數學在經濟學中應用的范圍。并且在凱恩斯的哲學觀中，邏輯最終是依賴直觀的判斷或者直覺。以概率問題為例，凱恩斯認為，將概率看成是一個純數學概念而忽略了概率的邏輯基礎，這是很多數學家困惑和犯錯的原因。

4.數學是一種經濟學的研究工具，我們沒有必要排斥數學

數學為經濟學研究提供了有效的研究工具，歷史上數學技術的不斷發展并不斷被經濟學吸收利用極大地促進了經濟學的發展前進。胡偉清曾在文章中舉例，數學的發展為解決經濟學問題提供了技術條件，以人力資本理論的研究為例，雖然歐文·費雪在1906年完成的著作《資本的性質和收入》中就提出了“人力資本”的概念，但是直到內生增長理論出現后，“人力資本”才正式作為變量出現在經濟增長模型中。雖然之前經濟學家對“人力資本”的認識有局限性，但當時數學技術的匱乏也是重要原因，當時分析規模經濟和不完全競爭的數學技術還沒有出現在經濟學研究中。同時他還指出，隨著經濟學家對經濟現象認識的不斷深入，曾經無法量化的變量，正在逐漸被量化。例如，GDP、CPI、基尼系數、恩格爾系數等量化指標就是隨著經濟學的發展逐漸出現在經濟學家研究視野中的。這就是說，隨著經濟學和數學技術的不斷前進，會有越來越多的變量可以被量化，從而數學未來可以在經濟學中被更廣泛地應用。Dow曾指出，理論與應用的分離就是在不同的關于精確的概念間的潛在的一種二分。結論性的理論在任何顯著的層面上甚至都不是數學的，如果數學論證被認為不足以捕捉到現實的所有方面，那是因為數學論證還不夠精確。數學只是一種工具，我們不應過分指責數學的無效性，數學在經濟學研究領域出現的無效性，往往是因為我們在進行模擬運算的時候，前提假設并不能夠百分之百還原真實的經濟場景。還原現實場景需要過大的運算量，還有，現實生活的復雜多變性，使得經濟學家在進行數學模擬運算時很難考慮周全。但這并不是數學作為工具本身的錯誤。我們不能單依靠數學，還應該有邏輯推演以及凱恩斯一直強調的直覺的參與，這些在幫助經濟學家解決現實生活中的問題時，更加有效。單獨依靠數學模擬運算，必然無法擺脫研究偏離實際，最后陷入研究構造性數學的惡性循環，成了為了自圓其說而進行辯護。

綜上所述，經濟學不能濫用，不能亂用，但使用好了會極大地便利經濟學研究者的工作并會促進經濟學的發展前進。丁小欽曾經提出過一種在經濟學中運用數學的基本思路：先選擇需要分析的原始經濟概念，再將這些概念利用數學方法表示出來，結合實際經濟現象找出數學分析所需的前提假定條件，最后利用數學推導來分析經濟現象。這種運用數學的簡單思路還是值得參考的。

(中共中央黨校研究生院，北京 100091)