基于攝影測量獲取巖體結構面參數的概率分布擬合檢驗

王明常，徐則雙，王鳳艷，孟祥羽，丁 慶，張馨月

吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061

0 引言

巖體是由結構面和巖塊共同組成的系統，大多數結構面是具有一定方向、尺度與空間分布的不連續面。結構面的五大基本參數包括產狀、跡長、形態、間距、張開度，具有這些參數的不連續面隨機組合形成巖體結構網絡。結構面參數中的跡長反映了結構面規模，產狀描述了結構面方向，結構面形態是巖體力學性質和水力學性質研究的基礎，間距反映了巖體完整性，張開度用來描述結構面開啟性。結構面幾何參數是不連續面三維網絡模擬以及巖體結構性質統計研究的基礎，一般由野外實測而得[1]，測量方法分為接觸測量和非接觸測量。接觸測量法主要利用皮尺和羅盤進行結構面信息采集[2]，操作簡單但低效、不安全。非接觸測量法有三維激光掃描儀法和數字近景攝影測量法：三維激光掃描法具有掃描速度快、獲取信息量大、節約時間、使用方便等特點，但由于掃描距離和范圍有限、成本較高難以達到普及化應用；數字近景攝影測量法具有成本低、容易實現、勞動強度小、拍攝照片可以反復使用等特點，在工程地質作業中受到廣泛青睞[3-5]。國內外許多學者進行了數字近景攝影測量的相關研究：Ross-Brown等[6]首次利用攝影測量像片進行了巖體節理走向和跡長的解譯；王鳳艷等[7]利用數字近景攝影測量技術結合基于空間坐標的結構面幾何信息解算模型獲取巖體結構面參數信息；胡運海[8]基于數字近景攝影測量技術對北川縣擂鼓鎮鳳凰山進行了滑坡動態監測；高昭良[9]建立了基于數字攝影測量的滑坡監測系統，對滑坡體進行有效監測。

近些年來，大量研究發現巖體結構面具有統計相似性特征，因而開展結構面的間距、規模、張開度、產狀等幾何參數概率分布的研究。基于攝影測量方法獲取巖體結構面參數并研究分布規律，可求出巖體結構面參數理論分布，從而建立巖體結構面參數概率模型，但如何找到合適的概型是比較困難的；采用統計推斷和隨機數學的方法可以有效解決這個問題[10]。隨機變量的概率統計一般有如下分布類型：正態、對數正態、伽馬、負指數、泊松、均勻或威爾分布等，參數一般是未知的。常用的假設檢驗方法有A-D檢驗法、χ2法、K-S檢驗法、K檢驗法、W檢驗法、C-M檢驗法、D檢驗法等；其中K-S檢驗法具有很強通用性[11-12]，國內外諸多學者基于K-S檢驗法進行了大量相關研究；Massey L. H.[13]進行了K-S檢驗法的最優擬合研究：Lilliefors H.[14]在均值和方差未知的情況下進行正態分布的K-S假設檢驗；李勇等[15]基于非參數試驗對松塔壩址構造域邊界進行識別；陳劍平[16]基于K-S假設檢驗原理對三峽壩址永久船閘人工巖石高邊坡的不連續面觀測數據進行了假設檢驗；馬建全等[17]采用K-S檢驗法對四川省雅安經石棉至瀘沽高速公路進行假設驗證，確定變量的分布類型。

本文基于數字近景攝影測量理論，以VirtuoZo數字攝影測量站為平臺提取結構面特征點的三維坐標，利用Matlab程序實現巖體結構面跡長、產狀、間距等信息的快速獲取，并基于K-S檢驗原理對獲取的巖體幾何參數編程實現概率分布檢驗，分析參數所服從的分布規律，尋找最優擬合概型，以期為跡長模型估計、連通率計算、巖石質量指標計算及巖體穩定性評價提供基礎。

1 方法

1.1 常用概率分布函數

根據統計學原理，將樣本觀測值分成若干區間，制作頻率直方圖。由頻率直方圖可以觀察觀測值分布特征，但頻率直方圖缺少數學描述，于是給出常見的概率分布函數(表1)。但哪個函數可以準確地描述觀測值概率分布特征，直覺上較難判斷，需要進行觀測值的假設檢驗。概率密度函數是假設檢驗的前提，常用的概率密度函數有正態分布、對數正態分布、伽馬分布、瑞利分布、指數分布、均勻分布、泊松分布等(表1)。

1.2 K-S檢驗法

在工程地質問題研究過程中，先估計結構面幾何參數服從的分布，再進行假設檢驗。檢驗法以χ2檢驗和K-S檢驗最為常用，但由于χ2檢驗受分組影響以及樣本數量限制，K-S檢驗結果更為精確。當樣本容量n很大時，K-S檢驗通過對樣本每個點進行檢驗，得到樣本所服從分布的直觀判斷。

假設H0:F(x)=F0(x)，其中，F0(x)是完全已知的連續型分布。考慮一個樣本具有n個觀測值，首先將樣本數據按照從小到大的順序進行排序，這些數據可以構造一個階梯狀的累積頻率函數：

(1)

式中：x1,x2, …,xn為排序后的樣本數據值；1≤k≤n。

圖1表明了Sn(x)與F(x)的關系。

圖1 累積頻率及其理論分布Fig.1 Distribution of the cumulative frequency and its theoretical

表1 常用概率密度函數及概率分布函數

注：具體參數意義見文獻[18]。

K-S檢驗中，Sn(x)和F(x)在整個區間范圍內的最大差值就是理論模型和觀測數據之間差值的度量，即假設檢驗的統計量，表示為

Dn=max|F(x)-Sn(x)|。

(2)

理論上，Dn的分布取決于n的大小。

(3)

PlimDn=

(4)

因此，當n足夠大時可用累積頻率函數來代替理論概率分布函數[19-21]。

1.3 最優擬合度

當結構面參數的K-S檢驗結果出現服從多種概率分布情況時，需進一步判別最優概率分布。引入擬合度φ比較各種概率分布與實際情況的接近程度。擬合度是對預測概率模型進行檢驗并對預測結果與實際發生情況的接近程度進行描述的參數：

(5)

φ越大，則概率分布模型擬合度越優[22]。

2 工程實例

2.1 研究區概況

研究區域位于長春市東南部的凈月開發區東升村，地理坐標為125°30′ E、43°48′ N。研究區內存在大量廢棄的采石場，邊坡開發嚴重、出露面積較大，需要進行大量巖體隨機結構面調查，為邊坡穩定性評價提供數據。選擇其中一個出露完整的邊坡為實驗對象(圖2)，該邊坡長約50 m，高約30 m，走向240°，傾角80°。由于邊坡底部有大量積水，地勢險峻，很難進行野外人工接觸作業；選用近景攝影測量方法可以有效解決野外作業環境險峻、人工測量難以靠近等問題。

2.2 數據獲取

研究數據是基于數字近景攝影測量技術獲取的，分為野外數據和室內數據。野外數據采集主要包括攝影測量時所進行的研究區地面控制測量和建立立體模型的邊坡控制點測量；室內數據處理包括立體模型的建立以及結構面信息的提取。

2.2.1 野外數據采集

1)控制測量

整體控制測量：研究區地形起伏較大，山體由于采石被分割成幾個分散陡峭的邊坡。根據地形特點，分別采用導線測量和三角高程測量進行邊坡平面和高程控制，經平差計算得到研究區整體控制測量成果。

圖2 研究區影像圖Fig.2 Image maps of the research area

邊坡控制測量：由于研究區內的邊坡底部有大量的積水，邊坡面陡峭，不易靠近，采用免棱鏡全站儀空間極坐標測量法進行邊坡控制測量。野外需要盡可能多地采集易辨識控制點以便內業處理時選用，實際作業時每個坡面上至少選擇11個控制點以保證邊坡三維模型的精度。

2)邊坡影像獲取

采用非量測相機進行邊坡攝影，實驗使用相機型號為佳能EOS 5D Mark II。利用室內三維控制架進行相機標定，獲取相機內方位元素及鏡頭畸變系數；攝影距離根據地形情況確定，攝影基線與邊坡走向一致，采用近似正直攝影方式獲取邊坡立體像對，最后結合相機標定參數校正邊坡影像。

2.2.2 室內數據處理

基于外業的控制測量成果和校正的邊坡立體像對，利用VirtuoZo工作站進行邊坡三維模型建立，包括測區建立、相對定向、絕對定向和非水平核線影像生成等環節。所建模型點位測量精度為±0.05 m。基于立體模型，利用VirtuoZo中的IGS(integrated graphic system)模塊采集結構面特征點坐標信息并標記屬性，再結合結構面參數解算模型獲取邊坡全景露頭大量結構面的跡長、產狀、間距等參數。

2.3 結構面參數K-S檢驗

根據文獻[22]，選取正態、對數正態、指數、伽馬、均勻、瑞利、泊松7種分布函數，采用Matlab編制K-S檢驗程序對SPSS軟件中未有的分布類型進行補充并對獲取的結構面跡長、產狀、間距等結構面參數進行K-S檢驗。

2.3.1 結構面跡長檢驗

以研究區內坡2為例，基于近景攝影測量方法獲取坡2結構面幾何參數，并將跡線投影至工程坐標系所定義的3個相互垂直投影面上，得到683條跡線的二維分布情況(圖3)。

對683條二維跡長進行K-S檢驗，結果如圖4和表2所示。由圖4可見，二維跡長服從對數正態分布。由表2可見，P≈Sig，并且，由Ksstat和Z分別計算Dn，得到近似相等的值；可知程序運行結果與SPSS軟件驗證結果一致。

a. xoy面；b. xoz面；c. yoz面。圖3 結構面跡線二維分布Fig.3 Two-dimensional distribution map of structural plane trace

a. xoy面；b. xoz面；c. yoz面。圖4 二維跡長K-S檢驗結果擬合曲線Fig.4 Fitting curve of two-dimensional trace length by K-S test

表2 跡長K-S檢驗與SPPS檢驗結果

由于跡長分布存在較嚴重的拖尾情況，將跡長大于10的部分去除后進行K-S檢驗，此時三維跡長服從對數正態分布規律(圖5，表2)。

2.3.2 結構面產狀檢驗

基于目標函數法將產狀進行優勢分組，共分成5組，對每一組進行檢驗，發現產狀服從正態分布、伽馬分布、瑞利分布以及泊松分布(表3，圖6)。由最優擬合度計算可知產狀趨于服從伽馬分布規律。同時，第五組傾角不服從任何一種分布。

2.3.3 結構面間距檢驗

檢驗xoy、xoz面間距，可知其服從對數正態分布(圖7a、b，表4)。將yoz面間距數據進行去除極大值和極小值處理(去除間距對數值大于1和小于負1.5的值)，處理后的yoz面間距服從對數正態分布(圖7c，表4)。

圖5 三維跡長的K-S檢驗結果擬合曲線Fig.5 Fitting graph of three-dimensional trace length by K-S test results

表3 巖體結構面產狀的K-S檢驗結果

a. xoy面間距；b.xoz面間距；c.yoz面間距。圖7 面間距K-S檢驗結果擬合曲線Fig.7 Fitting curve of discontinuities spacing by K-S test

表4 巖體結構面間距的K-S檢驗結果

3 結論

1)基于數字近景攝影測量原理，利用數字攝影測量工作站VirtuoZo，可建立研究區邊坡的高精度立體模型，模型點位測量精度為±0.05 m，結合基于空間坐標的結構面參數解算模型，獲取了邊坡全景露頭大量隨機結構面的參數。

2)經K-S檢驗知：結構面二維跡長服從對數正態分布；去除極大值后的三維跡長亦服從對數正態分布；分組后的產狀服從正態分布、伽馬分布、瑞利分布、泊松分布4種分布，由最優擬合度計算可知產狀趨向于服從伽馬分布規律；二維xoy，xoz面間距服從對數正態分布，經極大值和極小值去除后的yoz面間距亦服從對數正態分布。

3)基于Matlab編程實現了巖體結構面參數的K-S檢驗，程序可實現正態、對數正態、指數、伽馬、瑞利、均勻、泊松多種分布函數的檢驗，補充了SPSS軟件中不具備的對數正態、伽馬、瑞利3種分布函數；同時用SPSS軟件中具有的指數、均勻、泊松、正態分布函數驗證了程序正確性。該程序還可以進行其他任一變量的概率分布檢驗。

4)對于研究中出現的某結構面參數不服從任何一種分布的情況，需要進一步研究。