經(jīng)濟函數(shù)及其應用舉例

文/趙曉艷，河南質量工程職業(yè)學院基礎教學部

所謂經(jīng)濟學本質上是一門社會科學，他研究的對象比如效應、風險、服務等；我們之所以會有那么多關于經(jīng)濟學的公式和數(shù)學模型。數(shù)學模型提供了一種研究方法，是方便你去理解、去研究的工具。數(shù)學是工具，至少很多經(jīng)濟學書籍，論文都會用很多數(shù)理模型數(shù)學也是一門語言，許多涉及到數(shù)量、結構的學科都需要這門語言，包括經(jīng)濟學。經(jīng)濟學里面，有一些需要用艱深的數(shù)學語言，有一些不需要。既要重視數(shù)理，更要重視思想。思想是一個梗概，又像燈塔就好比蓋樓的設計圖一樣。然后具體到墻多厚建多高，就要實際去算了。經(jīng)濟學里很多基礎的假設本身是屬于統(tǒng)計學概念的大樣本結論，經(jīng)濟學做為一門學科，應該能夠定性定量的分析經(jīng)濟，思想可以定性，但是定量需要用數(shù)學方法來進行衡量。

1 經(jīng)濟函數(shù)以及應用

1.1 需求函數(shù)

我們假定除商品的價格之外的因素都保持不變，只有商品的價格影響需求.這時，該商品的需求量Q可以看成是該商品價格p的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作

需求函數(shù)的圖像稱為需求曲線.需求函數(shù)的反函數(shù)在經(jīng)濟學中也稱為需求函數(shù)，有時也稱為價格函數(shù).“商場為什么要打價格戰(zhàn)？”通常需求函數(shù)是單調減少的，即商品的需求量隨價格的上漲而減少，隨價格的下降而增加.正因為如此，商場通過降低價格、增加商品的銷售量（需求量）的營銷策略，增加了銷售收入.

1.2 供給函數(shù)

我們假定除商品的價格之外的因素都保持不變，只有該商品的價格影響供給量.這時，該商品的供給量Q可以看成是該商品價格p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記作Q=f(p),p〉0

例如“為什么有的商家要囤積商品，等待時機再銷售？”通常供給函數(shù)是單調增加的.即價格越高，廠商越愿意供給商品;價格太低，廠商不會供給商品.這時商家要囤積商品，等待時機再銷售的主要原因.供給函數(shù)的圖像稱為供給曲線，供給曲線與價格p軸的交點若是(p0,0)，則應有p0〉0，在經(jīng)濟學上應理解為，只有當價格超過p0時，生產(chǎn)者才開始提供產(chǎn)品.市場上使得某種商品的需求量與供給量一致時的商品數(shù)量稱為均衡數(shù)量，此時商品的價格稱為均衡價格. 假設為超額需求，市場上商品供過于價格下降；供不應求價格上漲.

下面我們給出一個實例，已知某商品的供給函數(shù)是Qs=2p－4,需求函數(shù)是Qd=50－4p,試求該商品的均衡價格和均衡數(shù)量.由2p－4=50－4p。所以均衡價格p=9，均衡數(shù)量為2×9－4=14.當該商品的價格低于9時，需求大于供給；當該商品的價格高于9時，供給大于需求.

1.3 成本函數(shù)

1.總成本函數(shù)：總成本是指生產(chǎn)特定產(chǎn)量的產(chǎn)品所需要的成本總額.它包括兩部分：固定成本和可變成本.固定成本(通常用C1表示)是尚沒生產(chǎn)產(chǎn)品時的支出，在一定限度內是不隨產(chǎn)量變動而變動的費用，如廠房費用、機器折舊費、一般管理費用、管理人員的工資等.可變成本(通常用C2表示)是隨產(chǎn)量變動而變動的費用，如原材料、燃料和動力費用及生產(chǎn)工人的工資等.若以Q表示產(chǎn)量，C表示總成本，則C與Q之間的函數(shù)關系稱為總成本函數(shù)，記作C(Q)=C1+C1≥0是固定成本，C2是可變成本.)通常情況下，總成本函數(shù)具有下述性質：（1）總成本函數(shù)是單調增加函數(shù)，這是因為當產(chǎn)量增加時，成本總額必然隨之增加;

（2）固定成本非負，即C1=C(0)≥0.這很顯然，在尚沒生產(chǎn)商品時，也需要支出，這與產(chǎn)量無關的支出是固定成本.

2.平均成本函數(shù)：平均成本是平均每個單位產(chǎn)品的成本.平均成本記作AC，若已知總成本函數(shù)C=C(Q)，則平均成本函數(shù)為AC=總成本/產(chǎn)量=C(Q)/Q,Q〉0。例如設某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為10萬元，又每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加成本0.8萬元，求總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)，固定成本C1=10萬元，可變成本C2=0.8Q.所以總成本函數(shù)為C(Q)=C1+C2=10+0.8Q。平均成本函數(shù)為AC=C(Q)/Q=10/Q+0.8

1.4 收益函數(shù)

收益是指生產(chǎn)者出售商品的收入.總收益是指將一定量產(chǎn)品出售后所得到的全部收入.它通常記作R.總收益R為銷售價格p與銷售數(shù)量Q的乘積.若以銷量Q為自變量，總收益R為函數(shù)，則R與Q之間的關系稱為總收益函數(shù).在已知需求函數(shù)總收益函數(shù)記作平均收益是指出售一定量的商品時，單位商品所得到的平均收入，即單位商品的售價.平均收益函數(shù)記作AR，其計算公式如下：AR=總收益/銷量

1.5 利潤函數(shù)

總利潤函數(shù)定義為總收益函數(shù)R=R(Q)與總成本函數(shù)C=C(Q)之差.若以L表示總利潤，則總利潤函數(shù)（簡稱利潤函數(shù)）L=L(Q)=R(Q)－C(Q)。顯然，若產(chǎn)量為Q，當R(Q)〉C(Q)時，盈利；當R(Q)〈C(Q)時，虧損;滿足R(Q)=C(Q)的Q是盈虧平衡點.例如某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為40000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品需增加成本100元.已知產(chǎn)品的最大銷售量為400單位，總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù),則利潤函令L=0，得盈虧平

2 邊際函數(shù)及其應用

邊際概念是導數(shù)概念的經(jīng)濟解釋. 由導數(shù)定義知道，函數(shù)的導數(shù)是函數(shù)的變化率.它實質上描述了由該函數(shù)所表示的那個事物或現(xiàn)象的變化情況.下面介紹幾個最常見的邊際函數(shù).

2.1 邊際成本MC

就是總成本函數(shù)C(Q)對產(chǎn)量Q的導數(shù)，即MC=C′(Q).

邊際成本MC可近似理解為：當產(chǎn)量為Q時，再增加（或減少）一個單位產(chǎn)量，總成本增加（或減少）的數(shù)量.線性總成本函數(shù)為C

(Q)=5Q+200,求邊際成本.邊際成本MC=C′(Q)=(5Q+200)′=5。再例如三次總成本函數(shù)

2.2 邊際收益

邊際收益MR為收益函數(shù)R(Q)的導數(shù)，即MR=R′(Q).

邊際收益MR可近似理解為：當銷量為Q單位時，再增加（或減少）單位產(chǎn)品，總利潤增加（或減少）的數(shù)量.例如某產(chǎn)品的需求函其中P為價格，Q為銷售量，我們可以非常容易求出銷售量為某單位時的總收益、平均收益與邊際收益.

2.3 邊際利潤

邊際利潤為利潤函數(shù)L(Q)的導數(shù)L′(Q).邊際利潤L′(Q)可近似理解為：當銷量為Q單位時，再增加（或減少）單位產(chǎn)品，總利潤增加（或減少）的數(shù)量.例如某工廠進行了大量的統(tǒng)計分析后，得出總利潤L(Q)（元）與每月銷量Q（噸）的關系為L(Q)=250Q－52Q，試確定每月銷量為20噸、25噸、30噸時的邊際利潤，并作出經(jīng)濟解釋.邊際利潤函數(shù)為L′(Q)=(250Q－52Q)′=250－10Q，則L′(Q)上述結果表明當每月銷量為20噸時，利潤對銷量的變化率為50元∕噸；當每月銷量為25噸時，利潤對銷量的變化率為0元∕噸；當每月銷量為30噸時，利潤對銷量的變化率為-50元∕噸.這也說明，對廠家來說，并非銷量越大，利潤就越高，廠家應作出科學的決策.

2.4 邊際需求

邊際需求為需求函數(shù)Q(P)的導數(shù)Q′(P).邊際需求Q′(P)是可近似理解為：當價格為P時，價格上漲（或下降）1個單位需求量將減少（或增加）的數(shù)量.例如某商品的需求函數(shù)求P=4時的邊際需求，并說明經(jīng)濟意義.邊際需求函數(shù)

3 結束語

經(jīng)濟發(fā)展離不開數(shù)學工具的支撐，我們經(jīng)常利用數(shù)學中的方法來研究經(jīng)濟問題。本文首先介紹了幾類常用經(jīng)濟函數(shù)及其簡單應用，然后又研究了邊際函數(shù)以及邊際函數(shù)在經(jīng)濟學中的應用，并舉出了典型案例，最后對本文進行了總結。