應(yīng)用數(shù)學(xué)思維巧解生物難題

廣東

隨著高考改革的不斷深入，尤其是不久的將來高考將打破原有的文理分科模式，施行3+3自由選擇考試科目，預(yù)計會有許多學(xué)生在選擇一些理科科目（如生物）的同時也會搭配部分文科科目（如歷史、地理等），這樣學(xué)科間的界限可能會逐步淡化，這就要求學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)和備考中應(yīng)當(dāng)具備跨學(xué)科思維。筆者通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，生物教學(xué)中的一些問題偶爾運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識來解讀往往會收到更好的效果。

1.自由組合定律與乘法分配律

孟德爾自由組合定律是教學(xué)的重點(diǎn)，由此衍生出很多的遺傳概率問題更是歷年高考的難點(diǎn)之一。在多年的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的乘法分配律與之有著較大相似性，利用乘法分配律可以將一些遺傳題變得簡單。公式原型（m+n）（p+q）= mp+mq+np+nq，變形后為（m∶n）（p∶q）=mp∶mq∶np∶nq。

例如兩株純合豌豆親本黃色圓粒（YYRR）和綠色皺粒（yyrr）雜交得到F1（YyRr），F(xiàn)1自交可將其拆分成Yy和Rr，這樣（YY+Yy）∶yy、（RR+Rr）∶rr的比例為（3∶1）（3∶1），根據(jù)乘法分配律的變形公式得出9∶3∶3∶1。這樣如果其中一對性狀存在顯性純合（即YY或RR）致死時，則F1自交比例為（3∶1）（2∶1）或（2∶1）（3∶1），根據(jù)乘法分配律展開為6∶3∶2∶1。如果兩對性狀同時存在顯性純合（即YY和RR）致死現(xiàn)象時，則F1自交比例為（2∶1）（2∶1），展開為4∶2∶2∶1。

2. DNA復(fù)制與“同角的互補(bǔ)角相等”

DNA在復(fù)制過程中嚴(yán)格遵循堿基互補(bǔ)配對原則，所以一個親代DNA分子復(fù)制后可以產(chǎn)生的兩個完全相同的子代DNA分子，如圖1親代DNA分子由a和d兩條鏈組成，復(fù)制過程中同時生成含a、b鏈和c、d鏈的兩個子代DNA分子。人教版教材必修2第54頁中寫到“復(fù)制結(jié)束后，一個DNA分子就形成了兩個完全相同的DNA分子”，從而保證了遺傳的穩(wěn)定性，但是教學(xué)中部分學(xué)生難以理解為什么這兩個子代DNA分子完全相同。

圖1 DNA半保留復(fù)制

為此，筆者并沒有直接講生物學(xué)的理論，而是列出了幾何學(xué)上的對頂角原理（如圖2）：因?yàn)椤?與∠2互補(bǔ)（即兩角之和為180°），∠3也與∠2互補(bǔ)，所以∠1=∠3；同理，又因?yàn)椤?、∠4都與∠3互補(bǔ)，所以∠2=∠4，即同角的補(bǔ)角總是相等。

圖2 補(bǔ)角與對頂角

用相同的原理，d鏈與a鏈互補(bǔ)，且b鏈也與a鏈互補(bǔ)，因此b、d鏈的堿基序列完全相同 ；同樣a、c鏈都與d鏈互補(bǔ)，則a、c的堿基序列完全相同，因此DNA（ab）與DNA（cd）完全相同。

3. 雜合子Bb的基因型頻率與完全平方公式

對于基因頻率的概念人教版教材必修2第115頁只是簡單地給出一句話來定義，“在一個種群的基因庫中，某個基因占全部等位基因數(shù)的比率”，然而各種教輔資料中出現(xiàn)的與基因頻率計算相關(guān)的習(xí)題卻常令初學(xué)者摸不著頭緒。例如：某二倍體生物種群含有一對等位基因B和b，其基因頻率分別為m和n，若該種群雌雄比例相等，且都能隨機(jī)交配產(chǎn)生后代，那么后代的基因型有多少種？所占比例是多少？

經(jīng)思考后學(xué)生們異口同聲地回答：F1代基因型有BB、bb和Bb，所占比例分別為m2、n2和mn。學(xué)生是怎么考慮的呢？配子B分為雌配子和雄配子，基因頻率為m，由于雌雄配子的結(jié)合是隨機(jī)的，所以出現(xiàn)BB受精卵的概率就為mm，即m2。同理bb和Bb為n2和mn。

其實(shí)學(xué)生對于純合子基因頻率的計算是正確的，而對于雜合子Bb基因頻率的計算則出現(xiàn)錯誤，聽了學(xué)生的回答筆者明白了學(xué)生犯錯的原因。為了計算出雜合子Bb的基因頻率，筆者沒有直接從抽象的遺傳學(xué)入手，而是切入到數(shù)學(xué)上的完全平方公式：

在基因庫中B的基因頻率為m，b的基因頻率為n；因?yàn)?m+n=1→（m+n）2=12→ m2+2mn+n2=1，F(xiàn)1代 BB和bb的基因型頻率分別為m2、n2，所以Bb=1-BB-bb=1- m2-n2=2mn?？蔀槭裁词?mn而不是mn呢？為了表述清楚，筆者采用了棋盤的模式向?qū)W生展示（如表1）：

表1

棋盤中共出現(xiàn)兩次“Bb（mn）”，一次表示B的精子與b的卵細(xì)胞結(jié)合生成的受精卵，其概率為mn，另一次表示B的卵細(xì)胞與b的精子隨機(jī)結(jié)合生成的受精卵，概率也為mn，這樣子代出現(xiàn)基因型Bb的概率為2mn。

4.植物激素與集合

植物激素是植物自身分泌的可以調(diào)節(jié)其生命活動的化學(xué)物質(zhì)，主要包括生長素、赤霉素、細(xì)胞分裂素、脫落酸和乙烯5大類，但是由于植物激素的含量微少、不易保存且作用一次就被滅活，科學(xué)家就模仿這些激素人為地合成了一些化學(xué)物——植物生長調(diào)節(jié)劑，這些物質(zhì)具有與植物激素相似的化學(xué)性質(zhì)，但更加穩(wěn)定持久，如NAA（萘乙酸），2，4-D與生長素一樣具有兩重性，因此多用于制備除草劑；乙烯容易揮發(fā)，因而人們就合成一種塊狀物質(zhì)——乙烯利，放在蘋果箱中能夠穩(wěn)定地釋放出氣體乙烯；還有日本科學(xué)家參照細(xì)胞分裂素而合成的一種能加速水果細(xì)胞分裂的膨大劑。由于這些調(diào)節(jié)劑具有與相應(yīng)激素相同的效應(yīng)，學(xué)生在練習(xí)中屢屢犯錯，比較常見的就是學(xué)生總是把NAA當(dāng)成生長素的一種（可能由于生長素的英文名是IAA，二者很相似導(dǎo)致的）。為了幫助學(xué)生有效地理解植物激素與植物生長調(diào)節(jié)劑之間的區(qū)別，筆者想到了用集合來描述二者的關(guān)系（如圖3）。從圖中可以清楚地看出生長素、乙烯、脫落酸等是植物激素的子集，乙烯利、膨大劑、NAA等是植物生長調(diào)節(jié)劑的子集，而這兩大類本身并沒有交集，這樣就可以用學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)模型把抽象的生物學(xué)問題描述清楚。

圖3

5.種群“J”型曲線λ的取值范圍與增函數(shù)

人教版教材必修3第4章第2節(jié)介紹了“J”型曲線的數(shù)學(xué)模型：Nt=N0λt，其中t 為時間，N0為該種群的起始數(shù)量，Nt表示t年后的數(shù)量，λ表示種群數(shù)量是前一年的倍數(shù)。遺憾的是課本中并沒有告訴λ的取值范圍，所以筆者把這個問題帶到了課堂上，學(xué)生們不假思索地給出答案：大于0！為什么呢？學(xué)生普遍地認(rèn)為“J”型曲線是在理想條件下發(fā)生的，種群數(shù)量每一年都在不斷地增長，所以λ必須是正數(shù)，所以認(rèn)為λ的取值范圍大于0！真的是這樣嗎？若利用數(shù)學(xué)上的函數(shù)增減性來分析這個問題：假設(shè)t年的種群數(shù)量為Nt=N0λt，那么t年后的那一年就是t+1年，其種群數(shù)量就是Nt+1=N0λt+1。那么第t+1年的增長率為（Nt+1-Nt）/ Nt= （N0λt+1-N0λt）/N0λt=（λt+1-λt）/ λt=λ-1。由此可見“J”型曲線的增長率是一個不隨時間的變化而變化的恒定的值，即λ-1，由于“J”型曲線表示種群數(shù)量總是不斷增長的，所以λ-1＞0，即λ＞1，并非大于0。

6.限制酶對DNA分子的切割與幾何中的點(diǎn)、線段、圓

限制酶是基因工程中一類主要的工具酶，其主要作用是對DNA片段中特定的核苷酸序列之間的磷酸二酯鍵進(jìn)行切割，以產(chǎn)生不同的黏性末端?？荚囍谐Ｒ浴耙粋€DNA分子鏈上有n個限制酶的酶切位點(diǎn)，經(jīng)徹底酶促反應(yīng)后可以得到多少個小的片段”的題目進(jìn)行考查，這類題目如果能把DNA鏈視作一條線段，若干個酶切位點(diǎn)就好比線段上對應(yīng)的n個點(diǎn)，那么這n個點(diǎn)就可以把線段分成n+1個小線段；有時候試題會把DNA鏈換成具有n個酶切位點(diǎn)的質(zhì)粒，考查酶切反應(yīng)，那樣可以把環(huán)狀的質(zhì)?？闯梢粋€圓，該圓上具有n個點(diǎn)，從而將圓分割成n段?。ㄈ鐖D4）。這樣利用幾何模型的轉(zhuǎn)換可以把抽象的DNA轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的幾何圖像，運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識就可以很好地理解抽象的生物學(xué)知識。

圖4

對于生物教學(xué)上的難題如果教師只是盯著生物問題本身來給學(xué)生反復(fù)講解，可能學(xué)生仍然云里霧里，不得其解，正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”；而古語云：“他山之石可以攻玉”，如果教師偶爾跳出生物圈子，用跨學(xué)科（如數(shù)學(xué)）的思維來給學(xué)生解釋，往往會收到事半功倍的教學(xué)效果。