預編碼增益優化的預編碼疊加訓練設計

王青波，竇高奇，高 俊

(海軍工程大學 電子工程學院，武漢 湖北 430033)

疊加訓練方案將訓練序列與數據序列疊加，以消耗部分發射功率為代價實現信道估計，不需消耗額外的頻帶資源[1]．相較于時分、頻分方案節省了訓練序列占用的帶寬資源，有效提高了頻譜效率．但在疊加訓練方案中，數據信息對信道估計造成干擾，導致信道估計性能較弱，符號檢測性能較差[2]．預編碼疊加訓練方案通過預編碼映射將數據與訓練序列映射到不同正交子空間傳輸，從而消除數據傳輸對于信道估計的干擾．現有的預編碼疊加訓練方案可按預編碼矩陣類型分為秩虧預編碼疊加訓練與滿秩預編碼疊加訓練兩類[3]．秩虧預編碼疊加訓練(如數據依賴的疊加訓練(Data Dependent Superimposed Training，DDST)[4])方案采用秩虧矩陣作為預編碼矩陣，通過預編碼在發送端引入數據失真為代價實現數據訓練正交傳輸．然而，當采用高階調制或信道階數較大時，隨著預編碼提升信道估計性能的同時增大了數據失真，導致符號檢測性能下降[4-5]．針對此問題，滿秩預編碼疊加訓練(如多相序列預編碼疊加訓練(Polyphase sequence-based Precoding Superimposed Training，PPST)[5])方案采用滿秩矩陣作為預編碼矩陣，在實現數據訓練序列正交傳輸的同時，不引入數據失真，在高階調制或信道階數較大時，仍保持較好的符號檢測性能[3， 5]．

預編碼疊加訓練方案的優化設計主要包括預編碼矩陣與訓練序列的優化設計．其中秩虧與滿秩預編碼疊加訓練方案中的訓練序列的優化設計問題，均已從優化信道估計性能為目標解決[6-7]．秩虧預編碼疊加訓練方案中，由于預編碼引入的數據失真導致符號檢測性能下降，以最小化數據失真為目標的預編碼優化設計已被提出[3]．然而，滿秩預編碼疊加訓練模型中預編碼優化設計問題仍有待研究．結合編碼理論，當預編碼矩陣采用滿秩矩陣時，在消除數據傳輸對信道干擾的同時會提供額外的預編碼增益．如文獻[8]中提出的線性預編碼正交頻分復用系統(Linear Precoding Orthogonal Frequency Division Multiplexing system， LPOFDM)通過預編碼將數據信息擴展到更寬頻帶范圍獲取滿頻率分集，以提高符號檢測性能．文獻[9]采用預編碼的方法實現了雙中繼協作網絡的滿分集性能．文獻[10]提出采用帶預編碼的空時編碼獲取多輸入多輸出系統的滿頻率與空域分集性能．文獻[11]基于廣義特征值分解設計預編碼與解碼矩陣，獲取到多小區多輸入多輸出系統的更高自由度．

筆者針對滿秩預編碼疊加訓練方案，在保證獲取與現有方案相同信道估計性能的同時，以優化預編碼增益，提高符號檢測性能為目的．借助成對錯誤概率(Pair-wise Error Probality，PEP)分析，推導滿秩預編碼疊加訓練模型中預編碼帶來的分集和編碼增益，導出相應的優化策略，并據此提出采用一組滿足特定自相關、互相關特性的線性調頻(Chirp)序列構成預編碼矩陣與訓練序列，構建基于Chirp序列的預編碼疊加訓練(Chirp sequence-based Precoding Superimposed Training，CPST)方案．理論分析表明，采用Chirp序列較現有方案采用變換域多相序列[5]獲取更優的編碼增益．仿真結果表明，文中方案在高信噪比環境下能有效提高符號檢測性能．

1 滿秩預編碼疊加訓練模型

考慮單載波塊傳輸系統，信道為準靜態瑞利多徑信道，信道信息在數據塊內不發生變化，在塊間可以發生變化，并在數據塊前插入循環前綴消除塊間干擾．使用s表示Ns×1 維數據序列，P表示N×Ns維滿秩預編碼矩陣 (N>Ns)，并滿足能量約束條件 tr{PHP}=Ns，c表示N×1 維訓練序列．則在接收端去除循環前綴后的接收信號可表示為

y=H(Ps+c)+v，

(1)

CPi=0，i=1，…，Ns．

(2)

(3)

其中，CHC為正定矩陣，根據tr{(CHC)-1}≥L2/tr{CHC}，等式成立的約束條件[3， 5]為

(4)

2 成對錯誤概率分析

2.1 PEP推導

推導滿秩預編碼疊加訓練模型準確的符號錯誤概率閉合表達式難度較大，難以實現．文中借助PEP進行錯誤概率一致界分析，推導滿秩預編碼帶來的分集和編碼增益，以及獲取滿分集增益與編碼增益優化的約束條件．

(5)

(6)

(7)

2.2 分集、編碼增益分析

分集階數d可表示如下:

(9)

因FL為L階滿秩矩陣，故欲獲取滿分集增益d=L，則預編碼矩陣必須滿足如下約束條件:

(10)

因此，獲取滿分集增益，等價于要求預編碼矩陣P的每一列在頻域至少有L個非零頻點．

若將正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)看作預編碼矩陣為傅里葉變換矩陣FN的特例，FN的每一列在頻域表現為一個非零頻點，則獲取分集性能為1．因此，可采用LPOFDM將頻域信號擴展到更寬帶寬范圍內獲取滿分集增益，提高符號檢測性能．

現對編碼增益進行分析，根據式(8)，預編碼矩陣應使得det(Θ)最大化．因Θ與符號錯誤數量、位置及調制方式相關，欲遍歷分析det(Θ)的優化設計難以實現．因發送數據各符號被映射到預編碼矩陣各列傳輸實現正交傳輸，在信道均衡后可以近似認為各符號獨立傳輸．因此，文中推導具有較強指導意義的錯誤符號數為1，錯誤位置任意時的det(Θ)優化條件，并對不同調制方式進行能量歸一化處理，故在下述分析過程中，不再考慮信號能量．

(11)

?i∈1，2,…，Ns．

(12)

(13)

由約束條件(13)可知，實現符號s(i)的PEP最大值最小化等價于要求預編碼矩陣的任意列pi在頻域表現為N個非零等幅頻點．

3 基于Chirp序列的預編碼疊加訓練方案

3.1 CPST方案設計

為實現更優的預編碼增益，文中提出采用一組滿足特定自相關與互相關特性的Chirp序列構建預編碼疊加訓練模型，該組Chirp序列在文獻[12]中用于構建菲涅耳變換的一組正交基，可將數據序列的各個符號能量均勻擴展到相同帶寬的頻域范圍內．故采用此Chirp信號構建預編碼矩陣時，預編碼矩陣的各列在頻域均表現為間隔為零的等幅頻點，在獲取滿分集增益的同時，獲取更優的編碼增益．

首先給出該組Chirp序列的數學模型如下:

(14)

下面給出此組信號的相關性約束條件，Φ(:，ni)表示Φ的第ni列，Φ(:，ni)k表示Φ的第ni列向下循環移k位后的序列，以下相關性證明在N為偶數的假設下進行(N為奇數時，可類似證明)．

當np=nq時，等式(15)給出Φ各列的自相關特性，即各序列與其循環移位序列不相關．

當np≠nq時，等式(15)給出Φ各列的互相關特性，即當滿足條件 mod(k+np-nq，N)=0 時，Φ的第np列與第nq列循環移k位后的序列相關；否則，不相關．

根據矩陣Φ各列的自相關和互相關特性，CPST方案構建如下: 選取Φ的任一列作為訓練序列，并選擇去除訓練序列及其前后各L-1 列的N-2L+1 列構成預編碼矩陣．如當選用Φ(:，1)構成訓練序列c，則選用Φ(:，L:N-L+1)構成預編碼矩陣P，此時接收端去除循環前綴后的信號可表示為

y=H(Φ(:，L-1:N-L+1)s+Φ(:，1))+v．

(16)

由相關性條件可知，選取Chirp序列酉矩陣Φ相應列構成的預編碼矩陣與訓練序列滿足約束條件(2)，實現了數據與訓練的正交傳輸，消除了數據對信道估計的干擾．并滿足約束條件(4)，實現了信道估計的最小均方誤差．因此，文中CPST方案獲取與DDST，PPST相同的信道估計性能．

3.2 分集、編碼增益對比

下面通過對文中CPST方案與現有的PPST方案進行分析對比，說明文中方案獲取更優的預編碼增益．

圖1 PPST與CPST的預編碼矩陣列向量頻譜結構

首先對分集增益進行對比，PPST方案中采用的變換域多相序列在頻域為均勻分布的L個等幅頻點，文中CPST方案的Chirp序列在頻域為N個等幅頻點，頻域結構如圖1所示．根據約束條件(10)，PPST方案與文中CPST方案均可獲取滿分集增益．

其次對編碼增益進行對比，當pi為變換域多相序列時，其頻域為L個非零等幅點．而當pi為文中的Chirp序列時，其頻域為全覆蓋的N非零等幅點．根據約束條件式(13)，文中CPST方案較PPST方案獲取更優的編碼增益．

特別地，PPST方案將每個符號在頻域均勻擴展到L不同頻點傳輸，獲取了滿分集性能，但是由于加性高斯噪聲的能量非均勻分布特性，影響接收端各符號解調的噪聲能量會因相應L頻點噪聲的變化而變化，可能導致部分符號的信噪比大大降低，造成符號傳輸錯誤．而文中CPST方案將每個符號均勻擴展到全部頻點上傳輸，由約束條件式(12)和式(13)可知，接收端各符號均化了噪聲影響．特別在高信噪比環境下，文中CPST方案的噪聲均化保持了接收端各符號的高信噪比，而PPST方案會由于高斯噪聲能量非均勻分布特性導致部分符號受噪聲影響較大，產生傳輸錯誤．

圖2 信道估計性能比較

因此，文中CPST方案較PPST方案獲取更優的編碼增益，實現更優的符號檢測性能．

4 仿真分析

由圖2描繪的MSE曲線可知，瑞利衰落信道階數為2和6時，文中CPST方案與DDST、PPST方案獲取一致的信道估計性能．驗證了文中方案訓練序列滿足約束條件式(4)，獲取與現有方案一致信道估計性能的結論．

由圖3和圖4描繪的SER性能曲線可知，文中CPST方案無論在信道階數較大 (L=6) 或較小 (L=2)，以及采用高階調制(十六進制正交幅度調制(16-ary Quadrature Modulation，16QAM))或者低階調制(四相相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying，QPSK))時，性能均優于PPST與DDST方案．采用低階調制時，DDST方案性能優于PPST方案性能．采用高階調制時，PPST方案性能優于DDST方案性能．且3方案在信道階數為6時的性能均優于信道階數為2時的性能．

根據式(11)繪制CPST與PPST方案錯誤符號數量為1時理論PEP最大值曲線．由于沒有遍歷所有符號錯誤數量可能，及在理論PEP推導中的近似放大處理，致使理論PEP曲線與仿真SER曲線之間存在量的差距，但是兩者的變化趨勢基本一致，說明PEP曲線能較好地體現SER性能的變化．在低信噪比下，符號錯誤數量為1的概率較低，故出現理論PEP大于仿真SER的情況．

由約束條件式(10)及CPST，PPST方案中預編碼矩陣列向量頻譜結構圖，3方案均獲取滿分集增益性能，因此，3方案在高信道階數時性能均優于在低信道階數時的性能．其次，DDST方案通過發送端預編碼，以數據失真為代價實現訓練與數據的正交傳輸．在采用高階調制時，由于預編碼帶來的失真較大，致使接收端符號檢測性能較弱．而PPST方案不引入數據失真，故在高階調制時，PPST方案性能優于DDST方案的．在采用低階調制時，DDST預編碼造成的發送端數據失真較小，并將符號擴展到整個傳輸帶寬，而PPST方案雖沒有引入數據失真，但是只將每個符號在頻域擴展到L個頻點傳輸，由于不滿足約束條件式(13)，預編碼提供的編碼增益較低，因此，DDST方案較PPST方案獲取更優的性能．文中提出的CPST方案通過滿秩預編碼使得訓練與數據正交傳輸，不引入數據失真．且將每個符號均勻擴展到全帶寬內傳輸，滿足約束條件式(13)，因此，在獲取更優編碼增益時，CPST方案在不同信道階數及調制方式下，其性能均優于PPST與DDST的．

5 總 結

筆者提出基于Chirp序列的預編碼疊加訓練方案，選用Chirp序列構建預編碼矩陣與訓練序列，實現數據與訓練的正交傳輸，將各符號均勻擴展到整個傳輸帶寬內，在獲取與DDST，PPST相同信道估計性能的同時，優化預編碼提供的編碼增益．仿真結果表明，文中方案在不同信道階數及高、低階調制時均獲取更優的符號檢測性能．特別在高信噪比環境下，可顯著提升符號檢測性能．