基于惠更斯—菲涅耳原理激光傳輸特性的空間相干性分析

趙承良 盧興園 李成金

(蘇州大學物理科學與技術學院,江蘇 蘇州 215006)

光波的空間相干性和時間相干性問題是大學物理教學過程中的教學難點,不僅需要教師具有一定的激光方面的專業知識,而且也難以找到一種較為直觀的方法讓學生能夠理解并接受．本文選取高斯謝爾模光束作為部分相干光的理論模型,通過獲得高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫后的解析表達式,調控入射光束的相干寬度來直觀地分析激光束的相干性對干涉條紋的變化情況,不僅可以加深學生對光波空間相干性和時間相干性的認識,也可以直觀的分析入射部分相干光的相干寬度、縫間距和縫寬對干涉條紋的影響,并學會運用反稱度的方法來判斷相干寬度的大小．

1 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫的傳輸分析

從某種意義上講,自然界存在的所有光源都是部分相干的,理想的相干光和完全非相干光都不存在．首先光源的頻率不可能是完全單頻,其次光源在傳播過程中都存在不穩定因素,從而直接影響空間和時間相干性．即使對于單色性很高的激光,嚴格意義上講也是部分相干的．由于部分相干光的傳輸特性與嚴格的相干光的傳輸規律有本質區別,所以利用部分相干光理論來研究部分相干激光傳輸變換特性顯得十分必要．[1]近年來,關于完全相干和部分相干光作為光源對通過楊氏雙縫的干涉條紋進行了研究,[2-6]但是利用部分相干光模型,并且得到通過楊氏雙縫之后的傳輸解析解并沒有相關的研究報道．而部分相干光模型中最為常見及簡單的理論模型為高斯謝爾模光束(Gaussian-Schell Model,縮寫為GSM),由E.Collett和E.Wolf在1978 年提出的,[7]光束橫向截面具有高斯型的光強分布和相干性分布,這種部分相干的光束在許多文獻中被廣泛研究．高斯謝爾模光束的矢量表達式為

W(r1,r2,0)=

(1)

其中,r1≡(x1,y1)和r2≡(x2,y2)為觀察屏上的橫向坐標位置矢量,σ0為束腰寬度,δ0為空間相干度．

在傍軸條件下,高斯謝爾模光束通過自由空間傳輸的表達式可以用下面的廣義惠更斯菲尼爾公式獲得[8]

(2)

其中,k=2π/λ為波數,λ為波長,u1≡(u1v1)和u2≡(u2v2)為觀察屏上的橫向坐標位置矢量．

圖1是楊氏雙縫干涉實驗的裝置示意圖,b為縫寬,2a+b為縫間距,A面為高斯謝爾模光束的入射面,B面為出射光束的出射面,x1,y1,x2和y2為入射面上的坐標參數,u1,v1,u2和v2為出射面上的坐標參數．從雙縫到觀察屏的距離為z．雙縫的傳輸公式可以用H(x,y)表示,其中a≤|x|≤a+b和-a-b≤|x|≤-a的情況下H(x,y)=1,反之則是0．因此對公式(2)進行適當的修改,高斯謝爾模光束通過雙縫的傳輸可以用修改后的惠更斯菲尼爾積分公式表示:

圖1 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸的示意圖

(3)

為了方便計算和分析,將雙縫的傳輸函數展開成有限的高斯模型的和:

(4)

其中Am和Bm為高斯復數,可以直接利用最優算法獲得,具體Am和Bm的值可以從文獻[9]獲得．一般來講M越大精度越高,但是M=10的參數也足夠的．[10,11]

將公式(1)和(4)代入公式(3),經過較為復雜的推導和積分,觀察屏的交叉譜密度公式為

W(u1,u2,z)=

(5)

圖2—圖5顯示的是高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫之后在觀察屏處(z=700 mm),在不同入射相干寬度和縫寬的強度分布(等高線)．入射相干寬度越大代表該光束越接近于完全相干光,相干寬度越小則代表著越接近完全非相干光．從圖中可以看出,在觀察屏處的干涉條紋受到了入射光相干寬度的影響非常明顯,當相干寬度較大時,還是能夠看到較為清晰的干涉條紋,干涉條紋明暗相間清晰可見[見圖2(a)、圖3(a)、圖4(a)和圖5(a)],但是隨著入射光的相干寬度逐漸減小,其相干條紋變的模糊,越來越變的不清晰可分辨,當相干寬度繼續減小,已完全看不到明暗相間的干涉條紋,最后變成類高斯分布[見圖2(f)、圖3(f)、圖4(f)和圖5(f)]．

為了更好地對比縫寬的變化對激光束通過楊氏雙縫干涉的影響,筆者對不同縫寬的干涉進行了研究．圖2和圖3的縫寬為b=0.2 mm,圖4和圖5的縫寬為b=0.1 mm,同時為了更直觀和清晰地觀察縫寬,筆者提供了v=0條件下的二維圖．從圖3和圖5可以非常清晰地看出,在相同相干寬度條件下,縫寬越小,干涉條紋越清晰,明暗相間條紋越容易分辨,并且在相同入射光相干寬度條件下,縫寬越小抗相干寬度變化越強,但是等相干寬度繼續減小時,最終都變成類高斯分布的結果．研究結果表明,光的空間相干性會影響光束的傳輸特性．

圖2 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸之后的歸一化光強分布(等高線圖),

圖3 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸之后的歸一化光強分布(v=0),

圖4 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸之后的歸一化光強分布(等高線圖),

圖5 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸之后的歸一化光強分布(v=0),

設一非單色光源發出的光傳輸到空間z處時,在任意空間兩點r1,r2處的光場表示為E(x1,y1)和E(x2,y2),則該兩時空點r1,r2之間光場的互相干函數定義為

W(x1,y1,x2,y2,z)=

[E(x1,y1,z)E*(x2,y2,z)],

(6)

式(6)的歸一化形式為

μ(x1,y1,x2,y2,z)=

(7)

函數W(x1,y1,x2,y2,z)或μ(x1,y1,x2,y2,z)考慮了空間相關性．將μ(x1,y1,x2,y2,z)稱之為相干度,如果μ(x1,y1,x2,y2,z)=1,則該光場是完全相干的．如果μ(x1,y1,x2,y2,z)=0,則該光場是完全非相干光．

為了更好的研究高斯謝爾模光束在觀察屏上的相干度分布情況,根據式(5)和式(7),高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸之后在觀察屏處的相干度表達式為

(8)

高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫之后在不同入射相干寬度和不同縫寬的相干度進行了研究(見圖6和圖7),從圖中可得,在觀察屏干涉條紋的相干度分布結構和入射高斯謝爾模光束的相干度分布結構不同,在u方向和v方向都呈現空間結構,從u方向可以看出,在不同入射光相干寬度和縫寬條件下,觀察屏處的相干度分布具有類似光柵的結構,并且具有固定的周期．同時也可以得到隨著縫寬的減小,在光譜處的相干度分布的周期變長．也意味著可以通過調節入射高斯謝爾模光束的相干寬度來調控觀察屏的相干度結構,實現光場調控．

圖6 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸后在觀察屏處

圖7 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸后在觀察屏處

在普通物理學課程教學中,干涉條紋的反襯度γ是用于定義描述干涉現象明暗的顯著程度,其定義為

(6)

公式(6)中Imax和Imin分別是干涉場中的光強極大值和極小值．當Imin=0時,即暗紋全黑,這時條紋的反差最大,干涉清晰可見,γ=1,意味著入射光束的接近于完全相干;當Imax→Imin,即明紋與暗紋的強度接近,條紋模糊不清,干涉不可分辨,γ≈0,意味著入射光束的相干性很低甚至接近于0,因此,γ的取值范圍為0≤γ≤1．從上可知,入射光相干寬度的變化也直接影響著反稱度的值的變化．圖8顯示的就是在不同縫寬條件下反襯度的值隨著入射高斯謝爾模光束的相干寬度變化情況,從圖中可以得出,當入射高斯謝爾模光束的相干寬度比較大時,入射光接近完全相干光,得到明暗完全清晰可見的干涉條紋,反稱度則為1．當入射高斯謝爾模光束的相干寬度很小時,如圖3(f)和圖5(f)所示,則干涉條紋則完全不可見,因此反稱度為0．

圖8 高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫傳輸后在觀察屏處

3 結論

本文針對大學物理教學過程中出現的關于光的相干性的知識難點,提出利用高斯謝爾模光束作為部分相干光的理論模型,研究由光束的相干性變化對雙縫干涉條紋的變化．利用惠更斯—菲尼爾積分公式和對雙縫小孔進行高斯展開的方式獲得了高斯謝爾模光束通過楊氏雙縫的解析表達式.該表達式的獲得可以更好地研究光觀察屏的光強分布、相干度分布．研究結果表明,隨著入射部分相干光的相干寬度的減小,在觀察屏處的干涉條紋明暗相間變的越來越難分辨,甚至完全不可分辨,并且在相同相干寬度條件下,縫寬越小其干涉條紋越容易分辨．觀察屏處的相干度分布也進行了討論,能夠得到光柵周期性結構(u方向)的相干度分布,相干度的周期分布只與縫寬有關而與入射光的相干寬度無關．最后也將相干寬度與反稱度的值進行了比較,得到了其兩者一致的變化趨勢．