數學實驗，讓思維生長“看得見”

尤冰　陳燕

【摘要】數學概念的抽象性通常需要某種“直觀”作為支撐和背景。而數學實驗是一種新的學習方式，它能夠將抽象的概念直觀地展現，幫助學生建構知識表象，形成獨特的認知。本文以《認識公頃》實驗課為例，闡述數學實驗下的思維生長，并從問題引領、猜想提出、方案設計、實驗操作和分析表達五個方面解剖案例，分享策略。

【關鍵詞】數學實驗 思維生長 認識公頃

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教師應當努力開發制作簡便實用的教具和學具，有條件的學校可以建立‘數學實驗室供學生使用，以拓寬他們的學習領域，培養他們的實踐能力，發展其個性品質與創新精神，促進不同的學生在數學上得到不同的發展。”可見數學實驗是依托、利用一定的物質儀器或技術手段，進行操作、觀察、分析、猜想和推理等數學活動，它本質上是通過實驗工具來展開思維過程，讓學生親身體驗數學、理解數學。

對于學生來說，許多數學概念無疑是抽象的、難理解的。如何借助數學實驗讓學生在“思維可視化”下輕松建構數學概念，已經成為許多數學教師的共識。比如，蘇教版五年級上冊《認識公頃》這節課，我們基于“思維可視化”與“數學實驗”的視角進行了教學重構，讓學生經歷實驗前的自學猜想，實驗中的操作記錄，以及實驗后的分析調整。在實驗課中，學生的操作與分析同時開展，形象思維與抽象思維適時發展。可見這節實驗課為學生思維的發展提供優良環境，同時也為培養學生創造思維力提供了空間，學生從可視化的實驗工具入手，通過動手操作、動腦思考，逐步對直觀的知識進行抽象、發掘和感悟實驗背后所蘊含的數學原理、數學方法，最后獲得數學結論，做到將操作與思維的完美結合。

一、問題引領，創設數學思維生長的情境

師：通過自學，你知道了公頃的哪些知識？

生1：邊長為100米的正方形土地，面積是1公頃。

生2：因為100×100=10，000，所以1公頃=10，000平方米。

師：認識了1公頃，你能提出一個值得研究的問題嗎？

生1：1公頃到底有多大呢？

生2：校園里哪些地方的面積大約是1公頃呢？

設計有效精準的實驗問題是數學實驗目標達成的前提。實驗問題能幫助教師掌握實驗教學的節奏，引領學生開展有效的實驗研究。因此，教師精準地設計數學實驗問題，并引導學生聚焦每一個實驗問題展開一系列實驗操作和探索，在實驗問題的引領下，為學生思維的生長創設情境。為了讓學生在課中有更多的探究時間，筆者執教《認識公頃》這節課時，把概念學習安排在課前自學，學生通過自學掌握1公頃的概念，以及公頃和平方米的進率。在此基礎上教師引導學生自主提出值得探究的問題，大部分學生在掌握公頃的概念后將探究問題指向了“1公頃有多大？”。整節課圍繞“1公頃有多大？”這個核心實驗問題，創設了一系列的實驗活動，讓學生不僅在實驗中感受1公頃的大小、在思維中建構1公頃大小的直觀表象，而且讓他們帶著任務、帶著問題去研究、去探索，還滲透了科學嚴謹的實驗態度的培養。

二、猜想提出，搭建抽象與直觀的橋梁

師：猜一猜校園里哪些部分的面積大約是1公頃？把你的想法在學校平面圖中用水彩筆框出來。

生1：我認為足球場的面積可能是1公頃。

生2：若干個籃球場面積之和可能是1公頃。

生3：小學部三號樓、四號樓和五號樓合起來的面積可能是1公頃。

生4：足球場加上藝體樓的面積可能是1公頃。

在數學學習中，概念通常是抽象的、難以理解的，教師往往將抽象的概念與直觀的現實情境相結合，降低概念學習的難度。《認識公頃》這節課，通過課前自學，學生了解1公頃的概念，并普遍提出了“1公頃有多大？”這個問題。可以看出學生對1公頃的概念并沒有直觀上的認識，需要從實際生活中進一步建立1公頃的直觀表象。筆者在教學中讓學生結合經驗對校園中哪些部分的面積是1公頃提出猜想。學生在校園平面圖上直觀地展示自己的思維，有的學生選擇用正方形框，有的學生選擇用長方形框，選擇地塊不盡相同，估算的面積誤差也有大有小。這樣的課前自學探究，為后續的實驗開展奠定了基礎、創設了情境，更為抽象的概念學習搭建了直觀的橋梁。

三、方案設計，嘗試操作思維程序化預設

師：如何證明學生的猜想到底準不準確呢？

生1：我們可以用測量工具，通過測量、計算和比較來判斷猜想是否準確。

生2：通過測量后，如果猜想的誤差比較大，我們可以對原來的猜想進行調整。

師：你們小組打算怎樣開展實驗測量，請小組討論并策劃實驗方案。

數學實驗課與一般數學課相比，其優勢在于學生的主體地位可以得到更加充分的體現。充分的自主性可以激發孩子參與實驗活動的主動性，為孩子的創新思維的發展注入動力。因此，筆者在設計教學時，以學生自主探究為原則，尤其體現在讓學生獨立自主設計實驗方案。這一做法充分體現學生在課堂上的主體地位，教師在課堂上只是引導者和幫助者的角色。筆者設計了“小組實驗方案策劃書”，方案策劃書中需要策劃的項目包含實驗目的、實驗工具、人員分工、實驗過程及需要得到的幫助。其中重點和難點是實驗過程的策劃，實驗過程的策劃是將操作性思維進行程序化預設，實驗過程的詳細性、具體性、可操作性等都直接影響后續的實驗操作開展效果。因此，在學生進行課前實驗過程的策劃時，筆者給予了較多的指導。

四、實驗操作，提供直觀思維運行的載體

師：實驗過程中需要測量面積，各小組計劃用什么測量工具或測量方法來測量土地的面積？

生1：我們小組用規格是50米的卷尺，先測量長和寬，再計算面積。

生2：我們小組用10米長的繩子，先通過反復操作測量出長和寬，再算出面積。

生3：我們小組采用步測的方法，我們先測量出走一百米的平均步數是140，再根據這個步數步測出長和寬，算出面積。

師：請各組根據自己的實驗方案有序開展小組實驗。

數學實驗，是借助于一定的物質儀器或技術手段，在數學思想和數學理論的指導下，通過對實驗素材進行數學化的操作來學（理解）數學、用（解釋）數學或做（建構）數學的一類數學學習活動。合理的實驗工具既能保障數學實驗的順利開展，又為學生的思維運行提供載體。因此，針對數學實驗內容，選擇或開發合理的數學實驗工具是順利開展數學實驗的物質基礎。另外，科學研究具有嚴謹性，數學實驗的特征之一是通過規范的實驗操作，獲得科學合理的實驗數據。只有規范的實驗操作，才能保障實驗數據的合理性和準確性，才能幫助學生正確建構新知，促使數學實驗目標有效達成。

《認識公頃》這節課是通過實驗測量來建構1公頃的概念，因此需要選擇合理的測量長度的工具。通過課前小組的策劃，不同小組展示出了不同的實驗工具，有的小組選擇尺測，他們購買了50米規格的卷尺；有的小組用繩測，他們開發了10米或20米長的繩子；還有的小組采用步測，他們取樣走100米平均步數或每步的平均步距，用走路的方式測量距離。實驗操作過程中需要注意測量誤差的控制，小組內有效的分工合作，實驗工具的使用方法等。規范的實驗操作活動，可以降低實驗的盲目性、無效性，甚至不必要的傷害事故和物品損壞等。

五、分析表達，引領數學思維發展的縱深

師：請兩個小組的代表來介紹你們小組的實驗成果及試驗后的反思。

生1：我們小組用卷尺測量出長約142米，寬約62米，面積約8，804平方米。與1公頃比較，少了1，196平方米。通過計算與商討，我們決定將足球場的長度延長19米，這樣重新選定土地的面積就接近1公頃了。

生2：我們小組用1米長的繩子測量出長約12個10米余2米是122米，寬約8個10米余2米是82米，面積約10，004平方米，接近1公頃，不需要調整。

師：我們通過展臺看看另外四個小組的實驗成果。（展臺展示）通過實驗活動，同學們已經準確地找到了1公頃！

師：根據對1公頃的認識，你能估算出校園面積大約是多少公頃嗎？

生1：我估算校園面積大約是7個1公頃。

生2：我估算校園面積大約是6個1公頃。

如果把實驗準備、實驗操作比作播種階段，那么數據分析與結論表達就是收獲階段。學生通過實驗測量獲得了相關數據，通過計算求出面積后，與1公頃（即10，000平方米）進行比較分析，就可以判斷課前的猜想存在多大的誤差，最后根據數據分析、調查情況進行調整，并把調整的結果用多種方式記錄。完成這一系列活動，需要抽象概括能力、推理能力、判斷能力、探索能力等數學思維能力的參與。

數學實驗的操作性和實踐性只是其外部特征，數據分析與結論表達將數學實驗中的動手操作和動腦思考有機結合在一起，通過數學實驗操作促進學生思維的縱深發展，才是數學實驗的核心和最終歸宿。