結構化思維：數學結構化教學的價值指向

翟新偉

【摘要】數學“結構化思維”是學生數學核心素養的重要標識。“結構化思維”是一種層析性、系統性、本質性、遷移性的思維方式。在教學中，教師可以通過整體呈現、過程探究、反思追問和活化運用等方式，展開結構化教學。結構化教學能夠統馭數學“結構化知識”，催生學生的數學“結構化思維”。

【關鍵詞】結構化思維 結構化教學 價值指向

當下，小學生數學“核心素養”的培養已經成為數學教學的價值取向。“核心素養”是什么？仁者見仁，智者見智，但也漸漸達成了一些共識。北京師范大學心理學教授林崇德教授認為，核心素養是一種結構化的學習能力。《教育研究》雜志主編袁振國則深刻地指出，“知識的問題關鍵不是多少的問題，而是結構的問題，不是教多少的問題，而是怎么教的問題。”對于數學學科而言，結構化學習能力更深刻地表現在結構化思維能力上。什么是“結構化思維”？結構化思維就是一種層析性、系統性、本質性、遷移性的思維。那么，如何形成學生的“結構化思維”呢？筆者認為，數學的結構化教學有助于培育學生的結構化思維。

一、整體呈現，培養學生“系統性思維”

數學知識是一個整體，數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系。某種意義上，數學教材將數學知識分門別類只是為了教學的需要。教學中，教師要立足知識整體，從知識整體上把握各個知識點。教師要有瞻前顧后、左顧右盼的解讀教材的眼光，洞察每一個知識點的源與流，把握知識點的來龍去脈。對某些相關知識點的教學，教師可以整體呈現，以此培養學生思維的深刻性，讓學生“見樹木，更見森林”。引導學生將相關的知識點能動地納入學生的原有認知結構之中。

例如：教學蘇教版六年級上冊《分數除法》這一單元，對于“分數除法應用題”的教學，許多教師還在進行特征分析——“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”。由于學生在“分數乘法”單元已經學習了“求一個數的幾分之幾是多少”內容，因此這種歸納無疑增加了學生對知識點的理解難度，學生在解決問題時經常將這兩類問題混淆。筆者在教學中，整體呈現問題，如（1）果園里有果樹600棵，其中桃樹占總果樹棵數的■，桃樹有多少棵？（2）果園里有桃樹360棵，占總果樹棵數的■，果樹一共有多少棵？引導學生進行比較，得到良好的教學效果。學生在比較中發現，兩道題最本質的地方相同，即“桃樹占總果樹棵數的■”，所不同的是：第一道題單位“1”的量是已知的，第二道題的單位“1”的量是未知的；第一道題的已知量在第二道題中是未知量，第一道題的未知量在第二道題中是已知量。因此，學生認為，這兩道題的基本數量關系是相同的，解題思路也是相同的。盡管第二道題單位“1”的量未知，但我們完全可以設未知數，借助列方程解應用題來解決。這樣的教學，將分數除法應用題的內容與分數乘法應用題的內容有效對接，真正實現了知識整合。在解決問題的過程中，學生的思維變得活躍了。

整體性呈現問題，將問題置于比較情境之中，有助于培養學生串式思考、網狀思維能力，有助于培育學生“舉一反三”“觸類旁通”的學習遷移能力。學生對數學問題主動辨析、比較中，體會到數學知識間的聯系，學生的數學認知獲得質的提升，思維深度得到真正開掘。

二、過程探究，培育學生“層次性思維”

在數學教學中，教師要引導學生進行過程性探究，從條件入手，對照問題展開深入分析，從而由因導果，建構解決問題的方案；或者從問題入手，層層分析解決問題所必需的條件，執果索因，建構解決問題的方案。在解決問題教學中，要引導學生有序、有理、有向思維，厘清要解決怎樣的問題，需要怎樣的條件等，避免出現“眉毛胡子一把抓”的解決問題現象。

例如：教學《三角形的內角和》這一課時，筆者引導學生分多個層次展開探索，有的學生采用“測量法”，探索出三角形的內角和為180°左右；有的學生采用“撕角法”，將三角形的三個內角拼成一個平角，探索出三角形的內角和是180°；還有的學生運用“折角法”，將三角形的三個內角折到一起，探索出三角形的內角和是180°。這時，有的學生認為三角形的內角和是180°，但也有部分學生表示懷疑，認為三角形的內角和在180°左右。為此，筆者再次引導學生展開層次性探索，一是探索特殊的三角形——直角三角形的內角和；二是探索銳角三角形和鈍角三角形的內角和。在探索直角三角形的內角和時，筆者出示了一個長方形，引導學生思考長方形和直角三角形之間的關系。有的學生發現，兩個完全相同的直角三角形可以拼成一個長方形；有的學生認為，任意一個長方形都可以沿著對角線分成兩個完全相同的直角三角形。學生由此發現，任意直角三角形的內角和都是180°。為了深化學生的數學思維，助推學生的數學思維不斷爬坡、深化，筆者出示了一個銳角三角形、一個鈍角三角形，借助輔助線將銳角三角形和鈍角三角形沿著高分成了兩個直角三角形。學生運用直角三角形的內角和是180°展開嚴密的推理發現任意一個三角形（含任意一個銳角三角形和任意一個鈍角三角形），都可以分成兩個直角三角形，每一個直角三角形的內角和都是180°。因此，銳角三角形和鈍角三角形分成的兩個直角三角形的內角和是360°。用這兩個直角三角形的內角和減去高所在的兩個直角和也就是180°，就能得到三角形的內角和是180°。學生從特殊到一般，有理有序有據，層層歸納出三角形的內角和。在整個學習過程中，歸納與演繹圓融，實驗與思想對接，思維與創造共生。

教師引導學生從自己的已有經驗出發，借助操作實驗，展開自主探究，形成準科學結論。在此基礎上，引導學生借助演繹推理推出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的內角和。最后運用完全歸納法形成結論——三角形的內角和是180°。在整個學習過程中，學生的數學思維逐步深入。

三、反思追問，培養學生“本質性思維”

數學結構化教學不僅要遵循數學知識本身的邏輯，而且要順應學生的認知規律。教學中，教師要引導學生展開反省性追問，追問數學知識點的源與流，在追問中引導學生刨根問底，培養學生的本質性思維。只有通過不斷反思、追問，學生才能洞察數學知識的來龍去脈，才能對知識點在知識結構中的節點位置、知識點之間的關系有深刻的把握，才能對知識點的動態發生、發展和融合有所領悟，才能舉一反三、融會貫通。

例如：“平行四邊形的面積”是小學階段平面圖形面積教學的重要內容，它承上（長方形面積）啟下（三角形、梯形的面積），從轉化思想的滲透來看，這是圖形面積轉化的第一堂課，具有“種子課”的意義和價值。教學中，在學生運用“割補法”推導出平行四邊形的面積后，教師要引導學生展開適度追問，提升學生的數學活動經驗，將感性的操作提煉成理性的數學思想和方法。

追問1：為什么要將平行四邊形轉化成長方形？（用數方格的方法比較麻煩，轉化成長方形就可以運用公式進行計算）

追問2：為什么要沿著高將平行四邊形分成直角梯形、直角三角形或者兩個直角梯形？（只有沿著高剪開，才能產生直角，進而將平行四邊形轉化成長方形）

追問3：在轉化的過程中，什么發生了變化？（形狀、周長等）什么沒有發生變化？（面積）

追問4：轉化后的長方形和轉化前的平行四邊形之間有著怎樣的關系？（對應的長和底、寬和高相等）

追問5：三角形、梯形可以轉化成已經學過的圖形嗎？怎樣轉化呢？（向未知數學領域延伸）

一系列追問，讓學生深刻地理解了轉化的思想、方法，讓學生的數學認知由感性上升到理性。原來，數學中的轉化往往是將未知轉化成已知，將陌生轉化成熟悉，將復雜轉化成簡單。轉化作為一種數學思想、方法，必將在不斷地反思和追問中扎根學生的心靈深處。學生在追問中思考，在思考中領悟，在領悟中真正地獲得。這樣不斷追問的過程也是學生立體反思的過程。在這個過程中，學生的思維更豐滿，思維品質得到了真正提升。

四、活化運用，培養學生“遷移性思維”

學生數學的結構化思維，不僅表現在數學知識本質的掌握上，而且表現在數學知識的靈活運用上，表現為學生在問題情境中能夠主動運用數學知識解決問題，這就是學生的數學“遷移性思維”。遷移性思維是一種主動、積極的思維，帶有一種聯想性質。教學中，教師應該立足學生立場，幫助學生顯現沉淀的經驗、連綴散落的經驗，外化內隱的經驗，形成遷移性的數學意識、能力。

例如：教學《圓柱的體積》，教師可以引導學生回憶，喚醒學生的已有知識經驗，助推學生運用已有經驗積極遷移，自主推導、建構圓柱的體積。

啟發1：圓的面積是怎樣推導的？長方形的長相當于圓的什么，長方形的寬相當于圓的什么？

啟發2（帶有遷移性質）：圓柱的體積可以怎樣推導？長方體的長相當于圓柱的什么，長方體的寬相當于圓柱的什么，長方體的底面積相當于圓柱的什么，長方體的高相當于圓柱的什么？

啟發3：圓柱還可以怎樣擺放？不同的位置擺放，其長、寬、底面積和高相同嗎？分別相當于原來圓柱的什么？

啟發4：圓柱的體積公式是什么？比較圓柱的體積公式推導過程和圓的面積公式推導過程，你獲得了怎樣的數學方法、數學思想啟示？

啟發5：學習了圓柱和長方體、正方體的體積，比較一下，它們有什么相同的地方？

在這個基礎上，學生展開剪一剪、拼一拼等動手操作活動，如研究圖形面積時可以剪一剪、拼一拼，可以將要研究的圖形轉化成已知的圖形，等等，通過對原有學習情境的回顧，將學生的活動經驗正確遷移到新的學習活動中。如果缺少了這一環節，很多學生可能無法實現原有活動經驗的順利遷移。

如何讓學生主動提取已有經驗、內隱經驗和散落經驗？如何讓學生重組自己的認知結構？一個重要的方式就是讓學生學會遷移。遷移不僅助推學生原經驗的內化，而且催發學生新經驗的生成。從這個意義上說，學習遷移的機制就是學習的機制。當學生將自己原有經驗提取并遷移到新的問題情境、新的問題研究活動中時，就意味著學生的學習創造。這是一種不斷同化與順應的過程，通過這個過程，學生不斷充實、豐富、完善自我的認知結構。

華東師范大學教育學系吳亞萍教授深刻地指出，“教學策略不同于教學原則、教學方法，教學策略立意的高遠之處在于：一是樹立整體教學思想；二是分析內在結構關系；三是對整體、結構進行謀劃……”。在數學教學中，以“結構化的教學”統馭數學“結構化的知識”，進而催生學生的“結構化思維”，讓數學學科價值最大化。這或許就是結構化數學教學的價值旨歸。

注：本文系徐州市教研室第12期課題“基于核心素養下的小學生數學思維建構的研究”（KT12060）階段研究成果之一。