隨機變量母函數(shù)在常見離散型隨機變量的應用

劉奕君

摘要：母函數(shù)是處理整值隨機變量的瑞士軍刀。本文詳細闡述了母函數(shù)的概念以及其和隨機變量數(shù)學期望及方差的聯(lián)系；并且利用隨機變量的母函數(shù)給出了幾個主要離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差。

關鍵詞：整值隨機變量；母函數(shù)；數(shù)學期望；方差

一、特殊離散型隨機變量母函數(shù)的概念及性質

（一）整值隨機變量和母函數(shù)

本小節(jié)主要介紹一種特殊的離散型隨機變量及其母函數(shù)的概念和性質。

我們稱取非負整數(shù)值的隨機變量為整值隨機變量，顯然整值隨機變量是一種離散型隨機變量。對于整值隨機變量，有一種處理方法很便于利用，這就是母函數(shù)法。

定義1 整值隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，…，對應的概率分別為p0，p1，p2…，則稱

為隨機變量ξ的母函數(shù)。

（二）隨機變量母函數(shù)和隨機變量數(shù)字特征的聯(lián)系

關于一般離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望有一個著名的統(tǒng)計學公式，由以下定理給出。

定理1（佚名統(tǒng)計學公式）若函數(shù)f （x）為連續(xù)函數(shù)，若離散型隨機變量X的可能取值為x0，x1，x2，…，對應的概率分別為p0，p1，p2…，令隨機變量Y為隨機變量X的函數(shù)，即Y= f （X ），那么隨機變量Y的數(shù)學期望為，

由佚名統(tǒng)計學公式，整值隨機變量ξ的母函數(shù)可以寫為，

整值隨機變量母函數(shù)的一個重要應用是可以建立母函數(shù)和隨機變量數(shù)字特征的聯(lián)系，進而可以通過母函數(shù)給出隨機變量的重要數(shù)字特征。

首先可以給出隨機變量ξ母函數(shù)的導函數(shù)，

隨機變量母函數(shù)的導函數(shù)在1處的導數(shù)即為該隨機變量的數(shù)學期望，

隨機變量母函數(shù)的二階導數(shù)和隨機變量的方差存在密切的聯(lián)系，首先隨機變量ξ母函數(shù)的二階導數(shù)為，

由佚名統(tǒng)計學公式，隨機變量ξ的母函數(shù)在1處的二階導數(shù)為，

因此隨機變量的方差和母函數(shù)的關系，

二、幾種整值隨機變量的母函及重要數(shù)字特征

（一）二項分布

二項分布是伯努利分布的推廣，在n重獨立重復試驗中，記某事件A出現(xiàn)的概率為p，定義隨機變量X1為某事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量X1服從二項分布，記作X1～B（n， p）.

隨機變量X1的概率分布為，

隨機變量X1的母函數(shù)為，

隨機變量X1的母函數(shù)的一階導數(shù)為，

由隨機變量X1母函數(shù)的一階導數(shù)可以給出隨機變量X1的數(shù)學期望，

隨機變量X1的母函數(shù)的二階導數(shù)為，

由隨機變量X1母函數(shù)的二階導數(shù)可以給出隨機變量X1的方差，

（二）幾何分布

進行無窮次獨立重復試驗，設每次試驗中事件B出現(xiàn)的概率為p，若將試驗進行到出現(xiàn)一次事件B為止，以隨機變量X2表示試驗進行的總次數(shù)，則稱X2服從幾何分布，記作X2～G（ p）.

幾何分布的概率分布為，

其中，k=1，2，3，….

隨機變量X2的母函數(shù)為，

隨機變量X2母函數(shù)的導數(shù)為，

隨機變量X2母函數(shù)的二階導數(shù)為，

隨機變量X2的數(shù)學期望為，

隨機變量X2的方差為，

（三）泊松分布

假設隨機變量X3的可能取值為所有自然數(shù)，并且X3的概率分布為，

其中，λ>0 為正常數(shù)，則稱隨機變量X3服從泊松分布，記作，X3～P（λ）.

隨機變量X3的母函數(shù)為，

隨機變量X3母函數(shù)的導函數(shù)為，

隨機變量X3的數(shù)學期望為，

隨機變量X3母函數(shù)的二階導函數(shù)為，

隨機變量X3的方差為，

（四）帕斯卡分布

帕斯卡分布式幾何分布的推廣，在獨立重復實驗中，設每次試驗中事件B出現(xiàn)的概率為p，若將試驗進行到出現(xiàn)r次事件B為止，以隨機變量X4表示試驗進行的總次數(shù)，則稱X4服從帕斯卡分布，記作X4～Pa（ p， r）.

帕斯卡分布的概率分布為，

隨機變量X4的母函數(shù)為，

隨機變量X4母函數(shù)的導函數(shù)為，

隨機變量X4母函數(shù)的二階導函數(shù)為，

隨機變量X4的數(shù)學期望為，

隨機變量X4的方差為，

三、小結

母函數(shù)法處理隨機變量有很大的優(yōu)勢，使計算隨機變量的數(shù)字特征變得容易，但同時也有其局限性，只有整值隨機變量才有母函數(shù)；一般的隨機變量可用隨機變量的特征函數(shù)進行處理。

參考文獻：

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