賞析以數列為載體的八種創新題型

摘 要：近年來，以數列為載體的創新型試題頻繁地出現在全國各地的高考試卷中，它們或內容立意新，或情境設置新，或設問方式新，或題型結構新，不僅較好地考查了學生的創新意識、創造性思維能力以及數學運算、邏輯推理、數學建模等數學素養，而且有效地甑別了考生進入高等院校繼續學習的潛能本文結合實例談一談數學文化型、交匯整合型、規律發現型等八種數列創新題型及其求解策略.

關鍵詞：數列；創新題型；求解策略

作者簡介：蔡勇全（1980-），男，四川遂寧人，教育碩士，中學一級教師，研究方向：高中數學課堂教學與試題研究.

一、數學文化型

傳統數學文化源遠流長，是人類社會寶貴的知識與精神財富.只有通過弘揚與傳承，才能釋放其價值.數學文化型的數列創新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型.它以現時事件或歷史上一些數學名著中的某一段素材為背景，在基本不改變原意的前提下，巧妙地引出其中蘊含的數列問題，要求解題者求出該問題的結論，體現了數學的人文價值和科學價值.

例1 《九章算術》是我國古代第一部數學專著，全書收集了246個問題及解法，其中一個問題為“現有一根九節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面四節的容積之和為3升，下面三節的容積之和為4升，求中間兩節的容積各為多少？”該問題中第2節，第3節，第8節竹子的容積之和為（ ）.

A176升 B72升 C11366升 D10933升

解析 自上而下依次設各節竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意可以得到

a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4.

因為a2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，故a2+a3+a8=32+43

=176，故應選A.

變式1 我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關，欲問每朝行里數，請公仔細算相還”其意：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人每天走多少里路則此人第五天走的路程為（ ）.

A48里 B24里 C12里 D6里

變式2 中國古代數學有著很多令人驚嘆的成就.北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇中首創隙積術隙積術意即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個，寬有b個，共計ab個木桶，每一層長寬各比上一層多一個，共堆放n層，設最底層長有c個，寬有d個，則共計有木桶n6[（2a+c）b+（2c+a）d+（d-b）]個假設最上層有長2寬1共2個木桶，每一層的長寬各比上一層多一個，共堆放15層，則木桶的個數為（ ）.

A1260 B1360 C1430 D1530

評注 一般來說，數學文化型的數列創新題的難度適中，命題者會將深澀的古文譯作通俗易懂的現代文，因此解題者不必心生畏懼，只需在準確理解現代譯文的基礎上，構建相應的數列模型，運用數列知識解出需要的數據，最后再回歸實際問題即可.

二、交匯整合型

一般數列的離散、有序性以及特定數列的遞推、趨向性等特點，決定了數列與其他數學知識之間有著千絲萬縷的聯系交匯整合型的數列創新題的基本特點是：形式多樣，內涵豐富，交匯點多，常常和函數、方程、不等式、三角、復數、概率與統計、解析幾何等知識融為一體，能夠很好地實現學科內、學科間知識的交匯整合.

例2 設函數f（x）=2x-cosx，{an}是公差為π8的等差數列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a2=（ ）.

A0 B116π2 C18π2 D1316π2

解析 因為f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0.

即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0.所以[2（a1-π2）+sin（a1-π2）]+[2（a2-π2）+sin（a2-π2）]+…+[2（a5-π2）+sin（a5-π2）]=0.①

令g（x）=2x+sinx，易知g（x）為奇函數，又因g′（x）=2+cosx>0對任意x∈R恒成立，所以g（x）在R上單調遞增

再構造數列{bn}，且bn=an-π2，易知{bn}為等差數列，且①式即為（2b1+sinb1）+（2b2+sinb2）+…+（2b5+sinb5）=g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0，結合函數g（x）的圖象的對稱性可知，b3=a3-π2=0，所以a3=π2.故a1=π4，a5=3π4，[f（a3）]2-a1a2=1316π2，故應選D.

變式 已知曲線Cn∶x2-2nx+y2=0（n=1，2，…）從點P（-1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.

（Ⅰ）求數列{xn}與{yn}的通項公式；

（Ⅱ）求證：x1·x3·x5·…·x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn.

評注 在教學中，既要讓學生掌握基礎知識和基本的數學思想方法，又要著力于提高學生的創新思維能力.認真研究、探索數列知識網絡的交匯性，研究交匯點向外輻射的知識塊，不僅能增強對學科知識的整體把握能力，又能提高分析和解決創新型問題的能力.

三、規律發現型

規律發現型的數列創新題的基本特點是：題目中給出某種數列的若干特殊數據或性質特征，要求歸納出該數列的一般規律、完善該數列的相應性質、類比推廣到相關數列等.

例3 如圖1，依次是按照某種規律排列的一系列圖形中的第（1）～（4）個，由此可猜測第n個圖形中共有個圓圈.

思路一 觀察圖1可以發現：它們的圓圈數依次為1，3，7，13，21，…設它們構成數列{an}，則a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=6，a5-a4=8，…，按此規律，an-an-1=2（n-1）（n∈N，n>1），所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=1+2+4+…+2（n-1）=1+（n-1）（2+2n-2）2=n2-n+1.

思路二 觀察圖1可以發現：第一個圖形只有一個中心圓圈；第二個圖形除中心圓圈外還有兩邊，每邊一個圓圈；第三個圖形除中心圓圈外還有三邊，每邊兩個圓圈；…按此規律，第n個圖形中除中心圓圈外還有n邊，每邊n-1個圓圈，故第n個圖形中圓圈的個數為n（n-1）+1=n2-n+1.

變式1 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球，第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按如圖2所示的方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，則第n堆的乒乓球總數f（n）=.

變式2 在正整數數列中，由1開始依次按如下規則，將某些數染成紅色先染1；再染兩個偶數2，4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5，7，9；再染9后面的最鄰近的4個連續偶數10，12，14，16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17，19，21，23，25按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，則在這個紅色子數列中，由1開始的第2018個數是（ ）.

A3971 B3972 C3973 D3974

評注 從例3及其變式的解答過程可以看到，解決規律發現型數列創新題需要解題者具有較強的觀察能力和快速探求規律的能力，因此在平時的教學中應注重這方面的訓練和經驗的積累.

四、現時約定型

現時約定型數列創新題的基本特點是：以已有的數列知識為基礎，現時定義一個新的概念，然后圍繞新概念設計一系列問題此類問題旨在考查學生獨立獲取、加工、理解信息和運用、遷移知識能力.

例4 已知數列{an}滿足an=logn+1（n+2）（n∈N），定義使得a1·a2·a3·…·ak為整數的正整數k叫做“契合值”，則區間（6，2018]內的契合值的個數為，該區間內所有契合值的和為.

解析 因為an=logn+1（n+2）=log2（n+2）log2（n+1）（n∈N），所以a1·a2·a3·…·ak=log23log22·log24log23·log25log24·…·log2（k+2）log2（k+1）=log2（k+2）

因為a1·a2·a3·…·ak為整數，所以可令k+2=2m（m∈N），則k=2m-2，由6<2m-2≤2018，解得4≤m≤10（m∈N），故在區間（6，2018]內的契合值有7個，它們的和為（24-2）+（25-2）+…+（210-2）=2018.

變式 把形如M=mn（m，n∈N）的正整數M表示成各項都是整數，公差為2的等差數列的前m項的和，稱為“對M的m項分劃”.例如，把9表示成9=32=1+3+5，稱為“對9的3項分劃”；把64表示成64=43=13+15+17+19，稱為“對64的4項分劃”據此，對324的18項分劃中最大的數是；若M=m3的m項分劃中第5項是281，則m的值是.

評注 例4及其變式代表了現時約定型數列創新題的兩種最常見形式，即定義新名詞性術語與定義新規則性術語.解決此類問題時，應充分理解新定義，并緊扣新定義與所學知識的關系，從而找到解題突破口.

五、數表（陣、組）型

數表（陣、組）型數列創新題的基本特點是：將一些數排成長方形、三角形、數組的形式，就形成了數表、數陣等形式，要求學生研究某行、某列、某組或所有行（列、組）所具有的特殊性質.

例5 在n行m列的方格表中每一個方格都填上一個數，使得每一行的m個數與每一列的n個數都成等差數列，如果表的四個角上的數之和等于S，則此表中所有數的和等于.

解析 題設表格的每一行、每一列都是等差數列，因此這是一個等差數表，故最上面的第一行各數的和為a11+a12+…+a1m=（a11+a1m）m2，最下面的第n行各數的和為an1+an2+…+anm=（an1+anm）m2，各列中的數的和依次為（a11+an1）n2，（a12+an2）n2，…，（a1m+anm）n2如表1所示：