一道三角函數(shù)小題的多視角解法探究

摘 要：本文對一道解三角形填空題從三個不同的視角——化邊為角、化角為邊、運用重要恒等式展開探究，切入點分明，思路清晰.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；解法；多視角探究

作者簡介：朱萬江（1981-），男，江西信豐人，本科，中學(xué)高級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

一、試題呈現(xiàn)

題目 在銳角△ABC中，b2cosAcosC=accos2B，則B的取值范圍是.

題目選自高三復(fù)習(xí)模考題，考查多個知識點，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題此題的特征是找切入口容易，得出結(jié)果卻比較難解題過程中的每一個環(huán)節(jié)都有難度，并且環(huán)環(huán)相扣，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合知識運用能力.

二、解法探究

1化邊為角

通過正弦定理，把條件等式中的邊轉(zhuǎn)化為對應(yīng)角的正弦值，化簡成關(guān)于某角正切值的一元二次方程，再利用判別式法來求解.

解法1 由正弦定理，得 sin2BcosAcosB=sinAsinCcos2B.

化簡整理，得 tan2B=tanAtanC.

又因為tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB，

所以tan2B=-tanA·tanA+tanB1-tanAtanB.

化簡整理，得

tan2A+（tanB-tan3B）tanA+tan2B=0.

把上式看成是關(guān)于tanA的一元二次方程，其中tanB為常數(shù).

要使方程有意義，則必有Δ=（tanB-tan3B）2-4tan2B≥0.

化簡整理，得 （tan2B-3）（tan2B+1）≥0.

解得 tanB≥3或tanB≤-3.

因為B為銳角，所以tanB≥3.

所以π3≤B<π2故B的取值范圍是[π3，π2）.

2化角為邊

通過余弦定理，把條件等式中角的余弦值轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊的關(guān)系式，然后整體代換到所求角的余弦定理中，最后利用基本不等式來求解.

解法2 由余弦定理，得

b2·b2+c2-a22bc·a2+b2-c22ab=ac·（a2+c2-b22ac）2.

化簡整理，得a4+c4-a2b2-b2c2=0.

即b2=a4+c4a2+c2.

又由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a4+c4a2+c22ac=aca2+c2.

由基本不等式知cosB=aca2+c2≤ac2ac=12 （當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立）.

因為B為銳角，所以π3≤B<π2.

3運用重要恒等式

通過三角射影定理，對等式進(jìn)行整體代換，最后利用基本不等式來求解.

解法3 由三角射影定理知，

a=bcosC+ccosB，c=acosB+bcosA.

所以bcosC=a-CcosB，bcosA=c-acosB①

因為b2cosAcosC=accos2B，

所以（bcosA）·（bcosC）=accos2B ②

將①式代入②式可得

（c-acosB）·（a-ccosB）=accos2B.

化簡整理得 cosB=aca2+c2.

因為a2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立），

所以cosB=aca2+c2≤ac2ac=12.

因為B為銳角，所以π3≤B<π2.