“說謊”的平均數(shù)

伍麗青

樂樂老師VS嚴(yán)老師

阿瓜兩天沒去上學(xué)了，班主任打電話詢問怎么回事，他理直氣壯地說：“我太忙了，沒時間上學(xué)！”

“你在忙什么呢？”班主任耐心地問。

阿瓜解釋：“我每天睡覺8小時，8×365=2920（小時）≈122天。星期六和星期日不用上學(xué)，一年就是2×52=104（天），另外我還有60天的暑假。除此之外，我每天需要花3小時吃飯，3×365=1095（小時）≈46天。然后，我每天至少要有2小時的休閑時間，2×365=730（小時）≈30天。這樣算下來，就要花掉122+104+60+46+30=362（天），上學(xué)時間只有3天了！”

班主任聽完他的解釋，笑出了聲：“阿瓜啊，依我看，你必須趕緊回來上學(xué)，重點補習(xí)一下統(tǒng)計知識！”

阿瓜撓了撓腦袋，不明白自己的“精確計算”到底出了什么問題。

“你在統(tǒng)計時，重復(fù)計算了很多時間，如睡覺的時間、周末、暑假等，它們有很大一部分是重疊的。”班主任搖搖頭說，“統(tǒng)計錯誤是人們常犯的錯誤，其中計算平均數(shù)最容易出錯。”

阿瓜回到了學(xué)校，原以為班主任會責(zé)罵他，但是班主任不但沒有怪他，還笑瞇瞇地說道：“阿瓜，為了激發(fā)你的學(xué)習(xí)熱情，我決定給你一個特權(quán)，你可以選擇自己喜歡的數(shù)學(xué)老師。”

阿瓜聽了很高興：“太好了！”

“我們年級有兩位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)老師，樂樂老師和嚴(yán)老師。我知道你最想了解兩位老師布置的作業(yè)量。所以，我給你帶來了一份統(tǒng)計資料。”班主任掏出一份資料說，“樂樂老師的平均作業(yè)量是每天40分鐘，而嚴(yán)老師的平均作業(yè)量是每天1小時。”

“我選樂樂老師！”阿瓜心花怒放地說。

阿瓜如愿以償?shù)爻蔀榱藰窐防蠋煹膶W(xué)生。可是，學(xué)習(xí)并沒有想象中輕松，因為他每天至少要花2小時來寫數(shù)學(xué)作業(yè)。

“我明明選擇了平均作業(yè)量少的樂樂老師，可作業(yè)怎么那么多呢？”

“看你最近這么努力，我就告訴你真相吧！作業(yè)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)是真實的，但嚴(yán)老師的學(xué)生數(shù)學(xué)水平都差不多，大家完成作業(yè)需要1小時；而樂樂老師的學(xué)生數(shù)學(xué)水平參差不齊，基礎(chǔ)好的學(xué)生，可能20分鐘就完成了，但基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生，比如你，可能就需要2小時。” 班主任哈哈一笑，揭曉了答案。

阿瓜這下終于明白了。

威爾·羅杰斯現(xiàn)象

樂樂老師的名字聽起來很親切，但實際上，她可比嚴(yán)老師嚴(yán)厲多了。

這一天的課堂小測，阿瓜又考了59分。雖然他已經(jīng)很努力學(xué)習(xí)了，但是過去落下的課造成學(xué)習(xí)上的差距并沒有那么容易追上。

樂樂老師嘆了一口氣，說：“阿瓜，如果你再這樣經(jīng)常不及格，我可能要把你降級到四年級的教室上課了。這樣對大家來說都是好事。”

阿瓜辯解：“怎么會是好事呢？這樣很丟臉啊！”

“你到四年級去，五年級和四年級的數(shù)學(xué)平均成績就都上升了。”

“這怎么可能呢？”

樂樂老師娓娓道來：“你的數(shù)學(xué)水平在五年級學(xué)生中是偏差的，所以你離開后，五年級的數(shù)學(xué)平均成績將會上升；但你的數(shù)學(xué)水平又比一般的四年級學(xué)生要好，因此，你到了四年級后，將會成為拉高平均分的功臣。這個看似不可思議的現(xiàn)象，被稱為‘威爾·羅杰斯現(xiàn)象。”

“這是什么奇怪現(xiàn)象啊？”

“比如A組數(shù)據(jù)有1，2，3，6，平均數(shù)是3；B組數(shù)據(jù)有1，4，6，8，平均數(shù)是4.75。如果把B組的4移到A組去，那么A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就變成了3.2，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)變成了5。這就是威爾·羅杰斯現(xiàn)象。”樂樂老師解釋道，“不過，威爾·羅杰斯不是數(shù)學(xué)家，而是一個上世紀(jì)30年代美國家喻戶曉的喜劇演員。之所以用他的名字命名這種現(xiàn)象，是因為他曾經(jīng)說過的某句話蘊含了類似的道理。”

“看來，如果我想在數(shù)學(xué)界留名青史，還可以試著當(dāng)喜劇演員！”阿瓜樂呵呵地說道。

消失的10分

本以為是句玩笑話，沒想到阿瓜說干就干。自從有了當(dāng)喜劇演員的念頭之后，他就一直在尋找表演機會。巧的是，正好學(xué)校近期要舉辦一次相聲比賽，阿瓜立刻報名了。

比賽開始了，阿瓜第一個上場。因為緊張，阿瓜的表演不是那么完美。他懊惱地走下舞臺，但看到十位評委給出的分?jǐn)?shù)后，他樂開了花：

4 6 5 3 6 4 10 7 6 5

“有一位評委給了我滿分，10分！”

他高興得在原地跳起舞來。等所有參賽者的表演結(jié)束后，主持人公布了所有人的分?jǐn)?shù)，他看到大屏幕上出現(xiàn)了自己的分?jǐn)?shù)：

阿瓜 4 6 5 6 4 7 6 5 平均分5.375

“這個分?jǐn)?shù)有問題！明明有一位評委給了我10分，為什么那個分?jǐn)?shù)消失了？”阿瓜很生氣，覺得這對他不公平。

這時候，班主任恰好出現(xiàn)了。他拍了拍阿瓜的肩膀，說：“阿瓜，因為統(tǒng)計時要去掉一個最高分和一個最低分，這是比賽規(guī)則。”

阿瓜冷靜下來，發(fā)現(xiàn)確實如此，那個最低分3分也一起消失了：“可是，為什么會有這樣的規(guī)則呢？這樣的規(guī)則太不公平了吧！為什么要去掉評委給出的高分呢？”

班主任耐心地解釋：“去掉一個最高分和一個最低分，是為了避免個別極端分?jǐn)?shù)對平均分的影響。比如說，個別評委有時可能會因為主觀偏好，給出很高或很低的分?jǐn)?shù)，這樣的異常數(shù)值會嚴(yán)重影響最終的平均分。因此，去掉它們是合理的。”

阿瓜點點頭道：“嗯，有道理。我要好好練習(xí)，爭取下次讓所有評委都給高分！”

親愛的小讀者，數(shù)據(jù)的采集和處理不同，所得到的統(tǒng)計結(jié)果有可能會相差很大，我們可要仔細(xì)甄別。平均數(shù)之所以會“說謊”，是因為它的計算方法過于簡單，很容易受到個別異常值的影響，以致它不能準(zhǔn)確反映總體情況。你還知道哪些統(tǒng)計陷阱嗎？記得掃二維碼關(guān)注“廣西期刊傳媒集團”，和我們一起分享喲！