基于量綱分析的簡單線性輪廓與多變量的測量系統能力評價

劉小娜，曹 瑜，韓正超，張 怡

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基于量綱分析的簡單線性輪廓與多變量的測量系統能力評價

劉小娜，曹 瑜，韓正超，張 怡

（昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650504）

測量系統分析是統計質量改進或控制的一項主要內容，目前，多元測量系統的分析和評價運用多元方差分析法或主成分分析法較多，在實際生產過程中，存在簡單線性輪廓與多變量質量特性的復雜多元測量系統的情況，而針對這種復雜多元測量系統能力評估的研究較少。本文提出了基于量綱分析的復雜多元測量系統能力評價方法，集成物理和統計分析，利用物理中量綱分析的方法研究產品或過程各相關變量之間的物理關系，將多元轉化為一元測量系統問題，再利用一元測量系統能力評估的統計方法及指標來對測量系統能力進行評價。最后，本文再現經典紙飛機試驗，運用所提量綱分析方法對紙飛機的測量系統進行分析和評價，驗證方法的有效性。

測量系統分析；測量系統能力評價；簡單線性輪廓；量綱分析

0 引言

測量在生產制造過程中對于產品或零件的加工是必不可少的過程和步驟，而數據就是測量的結果。測量系統是由人員、量具、測量方法和測量對象等組成的過程整體，在這個整體集合中進行過程的輸入與輸出。許多過程輸出的問題就是測量系統造成的，因此建立準確有效的測量系統是質量改進與控制的第一步。所謂測量系統分析，是指用統計學的方法來了解測量系統中的各個波動源以及它們對測量結果的影響，來分析判斷整個測量系統是否合乎要求[1]。

Eagle[2]和Grubbs[3]最早開始從統計角度進行測量系統的誤差研究。Mandal[4]于1972年首次引入測量系統的重復性與再現性概念，并同時提出了兩個測量系統能力評價指數即精度公差比（P/T%）和重復性與再現性百分比（R&R%）。除了這兩個測量系統評價指數提出后被廣泛運用外，兩個新的測量系統評價指數分辨率（DR）和信噪比（SNR）分別被Mander[5]于1999年和AIAG[6]于2010年引入后廣泛引用。這幾個能力評價指標在單變量質量特性中經常被當作是質量改進評價標準的評判。

通常情況下，通過測量一種產品或過程的質量特征指標來達到對產品質量評估的目的，但是面對現代制造產品，往往需要對一種產品多種特性進行測量。在對多元測量系統進行能力評價中，Wang和Chern[7]利用自助法對設計容差為圓形的二元測量系統中的圓形直徑建立置信區間，通過仿真研究驗證方法的有效性。Majeske[8]利用MANOVA模型估算出方差-協方差矩陣從而得出多元評價指數的估計值以評價多元測量系統。但是這種方法更多的是建立在統計理論上，由于被測的質量特性之間存在相關性，不能簡單地將多元測量系統分為多個一元測量系統進行評價。如果考慮被測質量特性之間的物理特性，就可以利用這種物理關系來降低測量產品質量的復雜程度和工作量。

而本文的簡單線性輪廓與多變量質量特性的多元測量系統是一種更為復雜的多元測量系統，目前進行這種測量系統的分析和研究較少。針對這種復雜測量系統，本文提出一種集成量綱分析（dimensional analysis, DA）的方法進行測量系統的能力評估。通過分析簡單線性輪廓與多變量之間的物理函數關系，應用量綱理論，求出各變量之間的物理關系達到降維目的，使得多元變為一元問題，再利用一元的評價方法進行評估，從而使得對復雜測量系統的評價更簡單有效。本文主要分為4個部分。首先引入對測量系統分析及其能力評估的研究，接著對前人所提出的測量系統分析的方法及指標進行研究，然后討論量綱分析方法應用到輪廓與多變量測量系統進行能力評價，最后通過一個案例驗證集成量綱分析方法進行測量系統能力評估的有效性和實用性。

1 簡單線性輪廓與多變量質量特性的測量系統能力評價

1.1 測量系統分析

目前，均值極差法和方差分析法（ANOVA）是兩種評價測量系統重復性和再現性的方法，其區別在于是否考慮零件間與操作者的交互作用；前者不考慮交互作用，后者優先考慮交互作用是否存在，所以它的精確性更高，適合實驗分析。通過方差分析，得到測量系統不同效應的方差分量，再利用這些方差分量建立評價指標。對測量系統能力的評價，一般使用評價指數精度公差比（P/T%）、重復性與再現性百分比（R&R%）和信噪比（SNR）等，其中P/T%和R&R%的公式如（1）和（2）所示：

表1 對評價指標（P/T%）和（R&R%）評判標準

Tab.1 Criteria for evaluation indicators (P/T%) and (R&R%)

標準的測量系統評價指標針對的是單一質量特性的測量系統進行分析評價，但在實際的生產制造過程中需要對多個質量特性進行測量。目前對多元測量系統的能力評價使用較多的方法是基于多元方差分析方法。Majeske認為當測量系統的評價指標由一元拓展到多元時，多元P/T%和R&R%比率是兩個體積大小的比值。在多元統計中，多元正態分布的連續密度函數曲線是以均值為中心的多維橢球體。而該方法的不足之處是當多維橢球體的分布和公差發生變化時，指標無法識別，而且，該方法沒有考慮被測特性間是否存在物理關系。

1.2 量綱分析

量綱分析法（DA）又稱為因次分析法，是一種數學分析方法，也是研究物理問題的重要方法之一，它根據一切量所必須具有的形式來分析判斷事物間數量關系所遵循的一般規律。在國際單位制中，有7個基本量綱：長度、質量、時間、電流、熱力學溫度、物質的量、發光強度，其他的量綱均可由基本量綱導出。

然后再轉化成無量綱變量：

1.3 簡單線性輪廓與多變量質量特性的測量系統

復雜產品的多變量質量特性之間有時存在某種函數關系，這種函數關系稱為輪廓（profile）[10]，輪廓通常描述為一種響應變量和一種或多種解釋變量之間的關系，而最常見的輪廓關系是簡單線性輪廓。目前對輪廓的研究可以應用到許多領域，例如產品的制造、檢驗、校準等工業過程。在制造和服務業，常用輪廓這一概念來評價制造過程或服務過程隨著時間或空間性能好壞的變化。

簡單線性輪廓和多元變量的組合構成了具有相關關系的線性輪廓與多變量質量特性的多元復雜測量系統，而這種測量系統就是用來描述和測量復雜產品或過程的質量特性并對其進行測量系統能力評價。Ebadi和Shahriari[11]分別基于響應變量的實際觀測值和預測值提出兩種方法對簡單線性輪廓的測量系統的過程能力進行計算和分析。Ghartemani等[12]提出由三個元素組成的多元過程能力指數向量實現對簡單線性輪廓的測量系統進行能力評價。吳小芳[13]通過構建二維預測輪廓向量來評價輪廓測量系統的過程能力，當然，還有許多國內外學者也做了大量的有關研究。

通過構建多維統計向量，把具有相關關系的簡單線性輪廓與多元質量特性的測量系統利用輪廓參數與多元影響因子轉化為一個多維向量，這樣轉化可降低本文所要研究測量系統的難度，再利用集成 量綱方法來對測量系統進行能力評價。

1.4 集成DA簡單線性輪廓與多變量質量特性的測量系統能力評價的方法

表2 量綱矩陣

Tab.2 Dimensional matrix

所以求得無量綱變量分別是

無量綱變量之間的關系式可表示為

2 案例分析

表3 直接測量數據

Tab.3 Direct measurement data

根據公式推導，已知紙飛機產品的相關物理變量，紙飛機的飛行時間和紙飛機各項參數滿足關系式：

將此關系式用量綱矩陣表示成表4。

表4 量綱矩陣

Tab.4 Dimensional matrix

由上表可知系統中的無量綱為

假設這3個無量綱變量之間的關系式是

根據式（26）可將表4的數據轉化為紙飛機的飛行時間，得到表5。

利用方差分析對數據進行處理，得到雙因子方差分析如表6。

再由表6結果利用量綱分析得到表7和表8的測量系統能力評價指標的值。

由以上表可看出，該測量系統的R&RDA%是14.63%，P/TDA%是29.51%，兩個指標均介于10%和30%之間，所以該測量系統的能力有待提高。

表5 處理后的數據

Tab.5 Data processed

表6 包含交互作用的雙因子方差分析表

Tab.6 Double factor ANOVA with interaction

表7 量具R&R%

Tab.7 Gauge R&R%

表8 變異公差比

Tab.8 Variation tolerance ratio

3 結論

本文對簡單線性輪廓與多變量質量特性的復雜多元測量系統進行能力評價研究，并通過量綱分析的方法達到能力評價的應用目的，最后通過一個經典紙飛機的案例來展示檢驗基于量綱分析的復雜多元測量系統能力評價方法的有效性。從本文的研究過程以及案例的研究結果來看，量綱分析用于簡單線性輪廓與多變量質量特性的測量系統進行評價存在很大的優勢，通過降維的方法把復雜多元變量簡化為一元或二元質量變量特性的測量，進而對其測量能力的評價。案例分析證明了量綱分析方法對復雜多元測量系統能力評價的有效性。

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AN Analysis of Simple Linear Profile and Multivariate Measurement Mystems Integrating Dimensional Analysis

LIU Xiao-na, CAO Yu, HAN Zheng-chao, ZHANG Yi

(College of mechanical and electrical engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650504, Yunnan)

Measurement system analysis is one of the main contents of statistical quality improvement or control. At present, multivariate analysis of variance or principal component analysis methods are applied to analysis and evaluate multivariate measurement systems. In the actual production process, there are complex multivariate measurement systems with simple linear profile and multivariate quality characteristics. However, few studies have been done on the evaluation of measurement system capability for this complex multivariate quality characteristics. In this article, a method for evaluating the capability of complex multivariate measurement systems based on dimensional analysis is proposed integrating physical and statistical analysis. The method of dimensional analysis in physics is used to study the physical relationship among the related variables of products or processes. The problem of measurement system is transformed from multivariate into univariate measurement system and statistical methods and indicators are used to evaluate the capability of measurement system. Finally, the paper reproduces the classical paper aircraft test, and analyzes and evaluates the measurement system of the paper aircraft by using the proposed dimensional analysis method to verify the effectiveness of the method.

Measurement system analysis; Measurement system capability evaluation; Simple linear profile; Dimensional analysis

TP202+.1 20

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2018.11.032

劉小娜(1993-)，女，研究生，主要研究方向：質量工程與質量管理；曹瑜(1992-)，男，研究生，主要研究方向：質量工程與質量管理；韓正超(1994-)，男，研究生，主要研究方向：質量工程與質量管理；張怡(1994-)，男，研究生，主要研究方向：質量工程與質量管理。

劉小娜，曹瑜，韓正超，等.基于量綱分析的簡單線性輪廓與多變量的測量系統能力評價[J]. 軟件，2018，39（11）：145-150