方程思想在初中幾何中的應用

林銳利

（西安交大陽光中學，陜西 西安）

方程思想是初中代數中一種非常重要的解題方法，它是從分析問題的數量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數量關系通過設未知數來建立方程或方程組，再通過解方程或方程組來解決問題的一種思維方式。利用方程思想來解決問題的關鍵是建立方程模型。而在初中幾何部分知識所涉及的一些線段與角的求解中，基本都具備方程的特性，若能根據題意及圖形之間的關系找出其中蘊含的等量關系，建立方程（組），把幾何問題轉化為代數問題，則會使思路更加清晰，解決過程更加簡便，達到把幾何問題簡單化的目的。

一、用方程思想求解線段長

在某些幾何題目中，已知條件有的較為復雜，讓很多學生理不清要求解的線段與已知之間的關系而無從下手。如若能根據線段之間的等量關系建立方程模型，把幾何問題轉化成方程來求解，往往會達到意想不到的解決效果。

例 1.如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BAD=∠C，點 D 在BC邊上.以AD為直徑的⊙O交AB于點E，交AC于點F。

（1）求證：BC 是⊙O 的切線；（2）已知 AB＝6，AC=8，求 AF 的長。

分析：對于第（2）問，連接 DF，

利用相似三角形對應邊相等來求解線段長，是相似三角形知識的一個常見應用，也是中考23題一個常考的考點，利用相似的比例，把幾何問題轉化為方程求解線段長，這種題目對考生來說，有一定的難度，但是學生如果能夠掌握解題方法，能從圖形中抽取出相似三角形的模型，根據比例關系轉化為方程模型，問題就會迎刃而解。

二、用方程思想求解角度

例 2.在△ABC 中，∠A+∠B=100°，∠C=2∠B，求∠A，∠B，∠C的度數。

分析：此題要求解三角形三個內角的度數，我們可以根據三角形內角和來尋求等量關系。設∠B=x，則∠C=2x，∠A=100°-x，由三角形內角和定理可列方程：100°-x+x+2x=180°，x=40°，因此，∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°。

例3.一個正多邊形的內角和是外角和的2倍，求這個正多邊形的每一個內角等于多少度？

分析：設正多邊形邊數為 n，根據題意得：（n-2）×180°=720°，解得 n=6，將n代入即可求出每個內角度數為120°。

利用三角形內角和、多邊形內外角和及余補角性質等求角度，也是一個常考的考點，關鍵之處還在于根據題意，將幾何問題轉化為方程問題進行求解。

三、用方程思想求解有關動點問題

動點問題是中考的熱點、難點問題，一般的解決思路是動中求靜，先假設運動到某時刻結論成立，從結論出發逆向推理，得到符合條件的數量關系，建立方程，即可求出變量的值，再對所求的值進行檢驗和取舍。在這種解決問題的過程中，應用方程思想仍是突破難點的關鍵。

例4.如圖，已知數軸上點A表示的數是8，點B是數軸上的一點，且AB=14。

動點P從A出發，以每秒5個單位長度的速度沿著數軸向左勻速運動，運動時間為t秒（t＞0）。（1）寫出數軸上點B表示的數___，AP=___。（2）動點Q從B出發向左以每秒3個單位長度向左勻速運動，若點P、Q同時出發，求點P運動多長時間追上點Q？

分析：此題第（2）問是一個比較簡單的動點問題，我們可以假設在C點時，點P追上點Q，如圖所示，

則此時滿足AC-BC=AB，根據這個等量關系可列出方程：5x-3x=14，解得：x=7，所以點P運動7秒時追上點Q。

由以上幾個簡單例子我們可以看出，在解決幾何相關問題的過程中，方程能夠幫助我們清晰地反映題目中的數量關系，使問題得到簡化。因此，我們在日常的教學中，一定要對學生強化方程思想的認識，通過典型例題引導學生掌握方程思想的精髓，從而提高學生分析問題及解決問題的能力。