追尋原理，挖掘本質
——巧用數形結合處理解析幾何問題

熊 杰

（江蘇省南京市文樞高級中學，江蘇 南京）

解析幾何是運用代數方法研究和處理幾何問題的知識點，學生應對解析幾何問題時總覺得運算繁瑣，因此仔細挖掘幾何意義，合理數形結合，往往能降低運算量，讓問題順利解決。

一、且算且思考，解題有技巧

例 1.已知過點 A（1，4）的直線 l與圓C： x2+y2-4x-4y+7=0交于 P，Q 兩點，且立，因

方此法斜一率：存當在直，線斜率不存在時，不成消

設去lPQ：yy，-整4=理k（得x（-1k）2+，1與）x圓2-（C2 k方2-程4k聯+4）立x+，k2-4k+7=0

設點 P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理

圖1

將 y1=k（x1-1）+4，y2=k（x2-1）+4 兩式代入（*）

化簡求解得k=-1或k=-7，所以直線方程為y=-x+5或y=-7x+11

方法一采用代數方法運算求解，容易想到，但弊端也很明顯，運算量明顯偏大，很多學生中途算錯或算不下去。如果能思考0的幾何意義，則能得到更合理的方法。

方法二：圓 C：（x-2）2+（y-2）2=1，直線 l與圓 C 交于 P，Q 兩點

當斜率不存在時，l：x=1與圓C相切，舍去。∴設直線方程l：y-4=k（x-1）

所以直線方程為y=-x+5或y=-7x+11

方法二由兩向量垂直的幾何意義，發現其幾何圖形特點，利用圓心到直線的距離來解答，過程簡易。數形結合降低了運算量，提升了正確率。因此解題時要仔細地探索思考，一個條件往往能有多種解讀，可能不只是一種結果，解題的時候切忌慌不擇路，匆“匆謀忙定忙而確后定動的”計，認劃真，往審往題不，仔是細好觀的察計，劃細，心可思能考事，倍努功力半產。生“解好題應想法”，自然事半功倍。

二、仔細審題，逐句分析

例2.如圖，為了保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區.規劃要求:新橋BC與河岸AB垂直；保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m。經測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m 處（OC為河岸），tan∠BCO=

圖2

（1）求新橋BC的長；

（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？

1.分析：本題是2014年江蘇高考應用題，求BC的長既可以看做幾何圖形的求長度問題，也可以從解析幾何中的兩點距離角度入手，關鍵在于觀察角度。，求直線l的方程。

方法一：做BD⊥OC于D，做AE⊥BD于E（圖2）

設 DC為xm，則OD=170-x，由 BD⊥DC，tan∠BCO=，BD=60，又 AB⊥BC，AE⊥BD，tan∠BAE=tan∠BCD=

方法一主要運用平面幾何的解法，學生的平面幾何還可以就沒有太大問題。本題在圖形體現了直角坐標系的特點，因此也可以用解析法。

方法二：以O為原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy.

由條件知 A（0，60），C（170，0），直線 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=

解得a=80，b=120，所以BC=150.因此新橋長度為150m.

條件中的正切值既和直角三角形有關也和斜率有關，兩種解法恰恰體現了平面幾何和解析法的特點，只要平時多去思考，這些合理的方法都不難想到。

2.分析：第二關鍵是題意的理解和方法的選擇，題目要求圓形保護區面積最大，自然等價于圓半徑最大，而保護區所在圓與直線BC相切，因此考慮到從直線和圓的位置關系入手，再結合幾何圖形的特點，運用解析法無疑是比較合理的方式。

解：設保護區的邊界圓M的半徑為rm，OM=dm（0≤d≤60）

由條件知，直線BC的方程為y=-4（x-170），即 4x+3y-680=0 3

由于圓M與直線BC相切，故點M（0，d）到直線BC的距離是r，

因為O和A到圓M上任意一點的距離均不小于80 m，

本題中的保護區和橋其實對應圓和直線兩個圖形，學生如果能從這兩個幾何圖形關系入手解題方向應該更加明確，應用題只要能正確理解題意后往往就能迎刃而解。當然在處理最值問題時看清限制條件是什么，找出變量的范圍也是關鍵的一環。

解析幾何讓幾何和代數優美地結合起來，幾何語言和代數語言的相互轉化讓解析幾何的解答變得“精彩絕倫”，數形結合的思想也貫穿著高中數學的很多內容。正如著名數學家華羅庚所言：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”依托概念本質，充分探索解法，數形結合會讓你解題游刃有余。